Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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x2

a2
+

(Ax+ b
√
1− x2

a2
− Ax)2

b2
− 1 = 0,

que e´ uma equac¸a˜o quadra´tica em x:

(
A2

b2
+

1

a2
) · x2 + (−2A

2x

b2
+

2
√
1− x2

a2
A

b
) · x+ a

2x2

b2
− x

2

a2
= 0

(note que de fato e´ quadra´tica em x, pois A
2

b2
+ 1

a2
> 0).

O dicriminante desta func¸a˜o quadra´tica em x e´:

4(−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x2

a2
Ax− b2x2)

b2a4
,

e procuramos valores de A tais que, ∀x, anulem esse discriminante (pois isso dira´ que
para esses valores de A ha´ apenas 1 intersecc¸a˜o da reta com a elipse).

Ou seja, buscamos A que anulem o numerador

−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x

2

a2
Ax− b2x2.

Uma conta tediosa prova que:

−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
1− x

2

a2
Ax− b2x2 =

= (−a4 + a2x2) · (A+ b x
a2
√
1− x2

a2

)2

e portanto

A =
−b x

a2
√
1− x2

a2

e´ o valor de A que anula o discriminante acima, ∀x.

5. A ELIPSE E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 274

Por outro lado reconhecemos que

−bx
a2
√
1− x2

a2

= f ′(x),

onde

f(x) = b ·
√
1− x

2

a2
.

Logo a reta que so´ corta a elipse em P e´ de fato a sua reta tangente.
�

A seguinte afirmac¸a˜o explica o fato de que um raio e luz saindo de um foco da
elipse e refletindo na elipse passara´ necessariamente pelo outro foco:

Afirmac¸a˜o 5.3. As semiretas que ligam um ponto P da elipse aos dois focos F1, F2
formam os mesmos aˆngulos (na˜o-orientados) com a tangente a` elipse passando por
P .

Demonstrac¸a˜o.

Considere P na elipse e o triaˆngulo ∆F1PF2 .
Tome um aˆngulo externo α desse triaˆngulo (veja a Figura).

F2

F2 ’

F1

α

Considere a bissectriz desse aˆngulo (ou seja, uma semireta que o divide em dois
aˆngulos iguais, de valores α

2
).

Marque um ponto F ′2 no aˆngulo externo, cuja distaˆncia ate´ P seja a mesma de F2
(denote essas distaˆncias por PF2 = PF ′2). Veja a Figura:

F2

F2 ’

F1

α/2

α/2

Q

β

r

CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 275

Tome qualquer ponto Q da reta r que conte´m essa bissectriz, Q 6= P . Ja´ que o Q
na˜o esta´ alinhado com F1 e F

′
2, temos:

F1Q +QF ′2 > F1P + PF
′
2 =

= F1P + PF2.

Ja´ que a elipse e´ o lugar dos pontos P com

F1P + PF2 ≡ 2a
vemos que Q na˜o esta´ na elipse.

Ou seja que o u´nico ponto da reta r que esta´ na elipse e´ P .
A Afirmac¸a˜o 5.2 anterior garante enta˜o que r e´ a tangente por P .
Mas o aˆngulo β e´ oposto pelo ve´rtice ao aˆngulo que mede α

2
.

Ou seja que as semiretas ligando P aos focos determinam aˆngulos com reta tan-
gente que medem ambos α

2
.

�

6. A Hipe´rbole e o ana´logo da propriedade refletiva

Afirmac¸a˜o 6.1. Um ponto P = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o

x2

a2
− y

2

b2
= 1

se e somente se
|PF1 − PF2 | = 2a,

onde F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sa˜o os dois focos e b2 = c2 − a2.
Demonstrac¸a˜o.

Por exemplo suponhamos que PF1 − PF2 ≥ 0, como na Figura a seguir:.

F1 F2

P

ρ ρ

a a

Por definic¸a˜o
PF1 − PF2 = e · Pr1 − e · Pr2.

= e · r1r2
logo PF1 − PF2 ≡ C e´ constante.

6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 276

Pela Afirmac¸a˜o 2.2,

a =
eρ

e− 1 ,
ou seja 2ae− 2a = 2eρ e

2a = e · (2a− 2ρ).
Mas

2a− 2ρ = r1r2,
como se veˆ na Figura acima.

Tambe´m a Afirmac¸a˜o 2.2 e a simetria da hipe´rbole no eixo x da˜o que os focos teˆm
essas coordenadas.

�

A hipe´rbole tem uma propriedade do mesmo tipo da elipse, a saber:

Os segmentos de reta que ligam um ponto de uma hipe´rbole aos seus dois focos
ficam bissectados pela reta tangente naquele ponto.

Para provarmos isso, como fizemos no caso da elipse, primeiro provaremos o
seguinte:

Afirmac¸a˜o 6.2. Se uma reta so´ intersecta uma hiperbole de equac¸a˜o x
2

a2
− y2

b2
= 1 (

a, b > 0 ) num u´nico ponto P , enta˜o

• i) essa reta e´ reta tangente a` hiperbole em P ou
• ii) e´ uma reta paralela a` reta y = b

a
· x ou

• iii) e´ uma reta paralela a` reta y = − b
a
· x.

y

2

-2

3

1

-3

x

640-4
-1

0
2-6 -2

Figura: a hipe´rbole x
2

22
− y2 = 1 e retas paralelas

a`s retas y = 1
2
· x e y = −1

2
· x.

Demonstrac¸a˜o. (Afirmac¸a˜o 6.2)

CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 277

Considero pontos da hipe´rbole x
2

a2
− y2

b2
= 1 com coordenada y > 0, ou seja, onde

posso representar a hipe´rbole pelo gra´fico de

y = b ·
√
x2

a2
− 1.

Quero intersectar com a hipe´rbole uma reta qualquer y = A · x+B que passa por

P = (x, b ·
√
x2

a2
− 1),

ou seja, uma reta da forma:

y = A · x+ b
√
x2

a2
− 1− Ax.

Obtenho enta˜o de

x2

a2
−

(A · x+ b
√
1− x2

a2
− Ax)2

b2
− 1 = 0,

a equac¸a˜o em x:

(
1

a2
− A

2

b2
) x2 + (

2A2x

b2
−

2
√

x2

a2
− 1A
b

) x− x
2

a2
− A

2x2

b2
+

2
√

x2

a2
− 1Ax
b2

= 0.

Essa equac¸a˜o deixa de ser uma equac¸a˜o quadra´tica em x quando

1

a2
− A

2

b2
= 0.

Ou seja, as retas passando por P com coeficientes angulares

A = ± b
a

so´ cortam a hipe´rbole em P .
Quando 1

a2
− A2

b2
6= 0 e a equac¸a˜o e´ quadra´tica, para termos P como u´nica inter-

secc¸a˜o da reta e da hipe´rbole precisamos ter a anulac¸a˜o do dicriminante da func¸a˜o
quadra´tica em x. Ou seja, buscamos a condic¸a˜o:

4(−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√

x2

a2
− 1Ax+ b2x2)

b2a4
= 0,

onde procuramos por coeficientes angulares A tais que, ∀x, seja nulo esse discrimi-
nante.

Ou seja, queremos A que anule o numerador

−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2

a2
− 1Ax+ b2x2.

Mas uma conta tediosa mostra que:

−a4A2 + a2A2x2 − 2a2b
√
x2

a2
− 1Ax+ b2x2 =

6. A HIPE´RBOLE E O ANA´LOGO DA PROPRIEDADE REFLETIVA 278

= (−a4 + a2x2) · (A− b x
a2
√

x2

a2
− 1

)2

e portanto

A =
b x

a2
√

x2

a2
− 1

e´ o valor de A que anula o discriminante acima, ∀x.
Por outro lado reconhecemos que

b x

a2
√

x2

a2
− 1

= f ′(x),

onde

f(x) = b ·
√
x2

a2
− 1.

Logo, se uma reta corta a hipe´rbole em um u´nico P , enta˜o e´ a reta tangente em P
ou paralelas a y = b

a
· x ou y = − b

a
· x.

�

Afirmac¸a˜o 6.3. Quando |x| → ∞ os pontos da hiperbole x2
a2
− y2

x2
= 1 se aproximam

das reta y = b
a
· x ou da reta y = − b

a
· x (chamadas de ass´ıntotas).

Com esta Afirmac¸a˜o e a Afirmac¸a˜o 6.2 podemos dizer:

fora as tangentes, as u´nicas retas que so´ cortam a hipe´rbole em 1 ponto sa˜o as
retas paralelas a`s ass´ıntotas da hipe´rbole dada.

Demonstrac¸a˜o. (Afirmac¸a˜o 6.3)

Cada ponto da hipe´rbole x
2

a2
− y2

b2
= 1 pode ser descrito ou como ponto do gra´fico

de

f1(x) = b ·
√
x2

a2
− 1 = b

a
· √x2 − a2,

ou como ponto do gra´fico de

f2(x) = −b ·
√
x2

a2
− 1 = − b

a
· √x2 − a2.

Se vamos fazer |x| → ∞, obviamente podemos supoˆr |x| 6= 0 e escrever:

f1(x) =
b

a

√
x2(1− a

2

x2
) =

b

a
|x|
√
1− a

2

x2
,

f2(x) = − b
a

√
x2(1− a

2

x2
) = − b

a
|x|
√
1− a

2

x2
,

CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 279

e claramente:

lim
|x|→+∞

√
1− a

2

x2
= 1.

Ou seja, quando |x| → ∞ o gra´fico de f1 tende ao gra´fico de y = ba · |x| enquanto que
o de f2 tende ao de y = − ba · |x| .

Podemos ser mais detalhados:
Se x → +∞, temos o gra´fico de f1(x) se aproximando do de y = ba · x. Mas se

x→ −∞ temos f1(x) se aproximando de
y =

b

a
· (−x) = − b

a
· x.

Se x → +∞, temos o gra´fico de f2(x) se aproximando do de y = − bax. Mas se
x→ −∞ temos f2(x) se aproximando do de

y = − b
a
· (−x) = b

a
· x.

�

Afirmac¸a˜o 6.4. As semiretas que ligam um ponto P da hipe´rbole aos dois focos
F1, F2 formam os mesmos aˆngulos (na˜o-orientados) com a tangente a` hipe´rbole em
P .

Demonstrac¸a˜o.

Considere P um ponto da hipe´rbole.