Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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enquanto seu domı´nio R e´ feito de um
so´ pedac¸o, sua imagem f(R) = R≤0∪R≥4 e´ feito de dois pedac¸os: a func¸a˜o rasga seu
domı´nio em dois pedac¸os.

Esses gra´ficos sa˜o u´teis para modelar matematicamente comportamentos explo-
sivos : uma explosa˜o qu´ımica, o comportamento de um animal a` medida que aumenta
o stress, etc. Mas em cursos de Ca´lculo veremos gra´ficos que na˜o tem essas variac¸o˜es
drama´ticas de valores.

6. Func¸a˜o positiva, negativa e zeros ou ra´ızes

Uma func¸a˜o f : I → R e´ positiva (negativa)3 se sua imagem esta´ contida nos
Reais positivos (negativos).

Muito importante para um te´cnico ou cientista e´ determinar os pontos do domı´nio
onde a func¸a˜o se anula (ou, como se diz, onde corta o eixo dos x, que e´ dado por
y = 0). Ou seja, e´ importante resolver uma equac¸a˜o f(x) = 0.

No caso de polinoˆmios esses pontos sa˜o as chamadas ra´ızes. Aconselho o leitor a ler
o Teorema 7.1 no Cap´ıtulo 6, que prova a relac¸a˜o entre ra´ızes e fatores de polinoˆmios.

3Para evitar escrever duas frases onde so´ trocaria uma palavra, ponho em pareˆnteses a modi-
ficac¸a˜o a ser feita na frase

7. FUNC¸A˜O CRESCENTE OU DECRESCENTE 26

Mais adiante, no Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 6.1 explicaremos em termos do Ca´lculo
qual o significado das ra´ızes mu´ltiplas.

4

6

0

-4

2

-2

-6

x

21-1 0-2

Figura: Um gra´fico de polinoˆmio com 3 ra´ızes

7. Func¸a˜o crescente ou decrescente

Definic¸a˜o 7.1. Uma func¸a˜o f : I → R e´ estritamente crescente exatamente quando

∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

E dizemos que e´ apenas crescente exatamente quando

∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

Analogamente se define estritamente decrescente, trocando f(x1) < f(x2) por
f(x1) > f(x2).

0,6

1

0,2

0,8

0,4

0

x

32,521 1,5

CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 27

Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) crescente.

1

0,8

0,6

0,4

0,2

x

32,5210,50 1,5

Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) decrescente.

Claro que ha´ func¸o˜es que na˜o sa˜o nem crescentes nem decrescentes, ou sejam, que
oscilam.

1

0,6

0,8

0,4

0

0,2

x

0,4-0,4-0,6 0,2 0,6-0,2 0

Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) que oscila.

Uma observac¸a˜o simples mas u´til:
Se uma func¸a˜o f e´ estritamente crescente (ou estritamente decrescente) enta˜o f

e´ injetiva.
De fato, se tomo quaisquer x1, x2 diferentes de seu domı´nio, posso sempre me

perguntar qual deles e´ menor, por exemplo, x1 < x2. Como a f e´ estritamente
crescente (ou estritamente decrescente), temos f(x1) < f(x2) (ou f(x1) > f(x2)),
mas de qualquer forma f(x1) 6= f(x2). Logo e´ injetiva.

Um exemplo importante e´ o que ja´ demos de uma func¸a˜o f que mede a A´rea
sob um gra´fico de uma outra func¸a˜o positiva. E´ natural que f seja uma func¸a˜o
estritamente crescente, pois a` medida que vamos para a direita no eixo x ha´ mais
a´rea sob o gra´fico. Logo e´ natural que seja injetiva e tenha enta˜o uma inversa f−1.
Volto nesse ponto, com f o Logaritmo Natural e f−1 a Exponencial.

8. MA´XIMOS E MI´NIMOS 28

Saber que uma func¸a˜o e´ crescente pode ser um fato extremamente relevante do
ponto de vista cient´ıfico: por exemplo, um dos princ´ıpios f´ısicos mais fundamentais
e´ que a func¸a˜o Entropia e´ uma func¸a˜o crescente, ou seja, que as coisas teˆm uma
tendeˆncia a se desorganizar. E´ essa Entropia crecente que esta´ na base da nossa
distinc¸a˜o entre passado, presente e futuro.

Por outro lado um exemplo marcante de func¸a˜o decrescente e´ a func¸a˜o y = f(x)
que da´a quantidade de uma substaˆncia radioativa no tempo x. Uma descoberta
cient´ıfica fundamental foi a de descrever de modo quantitativamente preciso como e´
essa func¸a˜o para cada substaˆncia radioativa.

E´ fundamental neste curso estabelecermos um crite´rio para determinar se uma
func¸a˜o e´ crescente (ou e´ decrescente).

De prefereˆncia um crite´rio que consista em entender uma func¸a˜o que seja mais
simples que a func¸a˜o f ela mesma ! Se na˜o na˜o adiantaria muito. Isso veremos no
Cap´ıtulo 10, que e´ muito importante.

8. Ma´ximos e mı´nimos

Uma das grandes utilidades do Ca´lculo e´ encontrar pontos onde uma func¸a˜o atinge
seu ma´ximo ou mı´nimo. Ou seja, o Ca´lculo serve para minimar ou maximizar: rendi-
mento de um processo, custos, gastos, etc, desde que o problema seja formulado
matematicamente.

Vamos definir um ma´ximo local (analogamente um mı´nimo local).

Definic¸a˜o 8.1. Seja f : I → R e x ∈ I. Dizemos que x e´ ma´ximo local se existe
algum intervalo

(−�+ x, x+ �)
centrado em x, tal que

∀x ∈ I ∩ (−�+ x, x+ �), f(x) ≤ f(x).
Ja´ x e´ dito ser um ma´ximo global de f : I → R se

∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x).

E´ a mesma diferenc¸a que ha´ entre ser o cara que corre mais ra´pido no clube do
bairro e ser o cara que corre mais ra´pido no mundo !

x

0,60,4

4

0,20

3,6

-0,4

4,2

3,8

3,4

3

3,2

-0,2-0,6

CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 29

Figura: Func¸a˜o com um mı´nimo global, um ma´ximo local e um mı´nimo local.

Chamo a atenc¸a˜o de que ha´ func¸o˜es que simplesmente na˜o tem ma´ximo, como ja´
vimos no caso de f : (0, 5]→ R, f(x) = 1

x
.

E existem as que na˜o tem mı´nimo: por ex. f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.

De fato, se tomo n ∈ R≥1, temos f(n) = 1
n
, que ja´ sabemos fica ta˜o pro´ximo

quanto quisermos de 0, sem nunca atingir zero. Isso diz que f vai sempre diminuindo
um valor, na˜o tendo portanto um ponto de seu domı´nio onde um valor mı´nimo fosse
atingido.

Da´ vontade de dizer algo sobre o papel do 0 neste exemplo f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.

O 0 realmente nunca e´ atingido pela func¸a˜o mas de certo modo demarca, delimita o
conjunto imagem

f(R≥1) = (0, 1].

0 e´ o que se costuma chamar uma cota inferior do conjunto imagem f(R≥1), isto e´,

∀y ∈ f(R≥1), 0 ≤ y.
E mais ainda, qualquer nu´mero maior que zero na˜o e´ cota inferior de f(R≥1), pois
1
n
∈ f(R≥1) se aproxima o que quisermos de zero. Portanto 0 e´ a maior cota inferior

de f(R≥1), que se chama o I´nfimo desse conjunto.

9. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 9.1. Determine em que intervalos as func¸o˜es a seguir sa˜o negativas ou
positivas e onde esta˜o seus zeros:

vi) x2 − x
vii) x2 − 5x+ 6
viii) x3 − x2

Exerc´ıcio 9.2. Deˆ exemplos de frases do dia a dia que sa˜o verdade, mas cujas
rec´ıprocas na˜o sa˜o verdade.

Exerc´ıcio 9.3. Negue as seguintes frases:
i) dado qualquer pol´ıtico, existe um valor de suborno tal que por esse valor ele se

corrompe.
ii) dada uma distaˆncia qualquer, existe um tempo tal que a partir daquele tempo

o astero´ide dista da terra menos que a distaˆncia dada.

Exerc´ıcio 9.4. Imagine alguns exemplos, qualitativamente, sem precisar dar explici-
tamente a regra f(x), de func¸o˜es:

i) positivas e crescentes,
ii) negativas e crescentes,
iii) negativas e decrescentes,
iv) negativas e decrescentes,
v) com mı´nimo local, mas sem mı´nimo global
vi) com ma´ximo local e ma´ximo global diferentes.

9. EXERCI´CIOS 30

Exerc´ıcio 9.5. Fac¸a as composic¸o˜es f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f , onde:
i) f = 1

x3
, g = sin(x) h = x+ 5

ii) f = x2, g = 1
x
, h = sin(x).

iv) Imagine algum exemplo onde acontec¸a f ◦ g ◦ h = h ◦ g ◦ f (o que e´ raro !).
Exerc´ıcio 9.6. (resolvido)

Determine explicitamente as func¸o˜es inversas f−1 das func¸o˜es f(x) a seguir. Teste
sua resposta verificando que x = f−1(f(x)).

i) f : R→ R, f(x) = x3
ii) f : R→ R, f(x) = x3 + 1
iii) f : R→ R, f(x) = (x− 1)3
iv): f : R→ R, f(x) = −5 · x3 + 10.
v): f : (0, 1)→ R, f(x) = x

1−x2 . Dica: o mais dif´ıcil neste item e´ na˜o se equivocar
com os sinais.

CAP´ıTULO 3

Propriedade ba´sicas dos nu´meros Reais

As func¸o˜es definidas nos Reais e tomando valores Reais sa˜o importantes pelas
aplicac¸o˜es ao mundo f´ısico. Por exemplo, se um Engenheiro me diz que a laje da pec¸a
onde estou vai cair