Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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em 5 minutos eu certamente saio correndo da sala. Mas se um
Matema´tico me disser que a laje vai cair no tempo 5 · I := 5√−1, que fazer ?

Essa utilidade dos Reais, por corresponder a` linha do tempo (passado = nu´mero
negativo, presente = 0, futuro = nu´mero positvo), tem como oˆnus o fato que as
func¸o˜es Reais nem sempre esta˜o definidas.

Veremos duas restric¸o˜es, uma sobre quocientes e outra sobre a ra´ız quadrada.
A primeira afeta na˜o so´ os Reais, mas qualquer sistema de nu´meros. A segunda,

da Ra´ız, e´ t´ıpica dos nu´meros que podem ser ordenados.

1. Os Reais como sistema de nu´meros: na˜o dividira´s por zero !

Todo professor passa aulas e aulas repetindo que na˜o se pode dividir por zero.
E infelizmente muitos alunos de Ca´lculo dividem por zero, pois confundem o fato

de um nu´mero ser pequeno com um nu´mero ser zero !
Mas a final, por queˆ na˜o se pode dividir por zero ? No que podemos nos apoiar

para provar que na˜o existe o nu´mero 1
0
?

Nos bastara´ algumas das propriedades mais gerais dos R (por sinal compartilhadas
com outros sistemas de nu´mros, como Q ou C), que sa˜o:

• existe um elemento neutro aditivo, 0, tal que 0 + x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R existe o inverso aditivo −x tal que x+ (−x) = 0.
• existe um elemento neutro multiplicativo, 1, tal que 1 · x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R, x 6= 0, existe o inverso multiplicativo 1

x
tal que x · 1

x
= 1.

• 1 6= 0
• as operac¸o˜es de soma e produto sa˜o distributivas, associativas e comutativas.

De posse dessas propriedades, que sa˜o assumidas como verdades, posso provar :

Afirmac¸a˜o 1.1.
i) −x = −1 · x, ∀x ∈ R,

ii) 0 · x = 0, ∀x ∈ R.

iii) na˜o existe 1
0
.

Demonstrac¸a˜o.

De i):
0 = (1− 1) · x⇔ x− x = (1− 1) · x⇔

31

2. ORDEM NOS REAIS: NA˜O TIRARA´S A RAI´Z QUADRADA DE NU´MEROS
NEGATIVOS ! 32

⇔ x− x = 1 · x− 1 · x⇔ x− x = x− 1 · x⇔ −x = −1 · x.
De ii):

0 · x = 0 ⇔ (1− 1) · x = 0 ⇔
⇔ x− 1 · x = 0 ⇔ x− x = 0,

e este u´ltimo fato e´ verdade: x = x.
De iii):
Suponhamos por absurdo que exista o nu´mero 1

0
.

Enta˜o 0 · 1
0
= 1, pois o sentido de 1

x
e´ ser o inverso multiplicativo de x.

Mas o item ii) da´ que:

0 · 1
0
= 0.

Logo 0 = 1: contradic¸a˜o.
�

2. Ordem nos Reais: na˜o tirara´s a ra´ız quadrada de nu´meros negativos !

Um aspecto bonito da matema´tica e´ que, apo´s assumir a verdade de certos fatos
simples, podemos deduzir fatos novos, a`s vezes na˜o ta˜o simples.

Vamos assumir a validade dos seguinte Princ´ıpios (Axiomas):

• Princ´ıpio 0: Existe um subconjunto P dos Reais chamado de conjunto dos
nu´meros positivos. Vale para todo x ∈ R apenas uma das 3 possibilidades:
ou x ∈ P ou x = 0 ou −x ∈ P . O elemento neutro multiplicativo 1 e´ positivo.

• Princ´ıpio 1: A soma de quaisquer dois nu´meros positivos e´ um nu´mero
positivo.

• Princ´ıpio 2: o produto de um nu´mero positivo por um nu´mero positivo e´
positivo.

Um nu´mero e´ chamado na˜o-negativo se x ∈ P ∪ {0}. Denotamos os positivos
usualmente com x > 0 e os na˜o-negativos com x ≥ 0. Os negativos, por x < 0.

Podemos agora provar :

Afirmac¸a˜o 2.1.
i) (Regra de multiplicac¸a˜o de sinais) (−x) · (−x) = x · x, ∀x ∈ R.
ii) x2 := x · x ≥ 0 ∀x ∈ R.
iii)

√
x na˜o e´ um nu´mero Real, se x < 0.

Demonstrac¸a˜o.

De i):
De fato, pelo item i) da Afirmac¸a˜o 1.1 (−1) · x = −x.
Pela comutatividade e associatividade do produto:

(−x) · (−x) = (−1) · x · (−1) · x = (−1) · (−1) · x · x.

CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 33

So´ resta provar que

−1 · (−1) = 1,
ou seja, nos reduzimos a provar apenas a Regra dos Sinais para o −1. Ora,

−1 · (−1 + 1) = 0⇔ −1 · (−1)− 1 · 1 = 0⇔
⇔ −1 · (−1)− 1 = 0⇔ −1 · (−1) = 1,

como quer´ıamos.

De ii):
Se x = 0 enta˜o x · x = 0, pelo item ii) da Afirmac¸a˜o 1.1.
Se x > 0 enta˜o x · x > 0 (Pr. 2).
Se, por outro lado, x < 0 enta˜o −x > 0 (Pr. 0).
E enta˜o x · x = (−x) · (−x) > 0 (Pr. 3 e 2).

De iii):
Suponha agora por absurdo que y :=

√
x ∈ R para x < 0.

Enta˜o y2 ≥ 0 pelo item ii).
Mas enta˜o chegamos em

0 ≤ y2 = (√x)2 = x < 0,
em contradic¸a˜o com o Princ´ıpio 0.

�

3. Propriedades gerais das desigualdades

Usando os Princ´ıpios 0 , 1, 2 e a Regra de Multiplicac¸a˜o de Sinais podemos provar
as propriedades a seguir, que sa˜o fundamentais.

Alerta: se o estudante na˜o manejar bem essas propriedades tera´ problemas no
Curso.

Afirmac¸a˜o 3.1.
i) Se x ≥ y e z ≥ w enta˜o x+ z ≥ y + w, ∀x, y, z, w ∈ R.
ii) Se x > 0 e y ≥ z enta˜o x · y ≥ x · z.
iii) Se x < 0 e y ≥ z enta˜o x · y ≤ x · z.
iv) se x > 0 enta˜o 1

x
> 0

v) se x > 1 enta˜o 1
x
< 1.

vi) 0 < x1 < x2 ⇒ 0 < 1x2 < 1x1 .
vii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2 < x < 1.
viii) 1 < x ⇒ 1 < x < x2
ix) 0 < x1 < x2 < 1 ⇒ 1 < 1x2 < 1x1 .
x) 1 < x1 < x2 ⇒ 1x2 < 1x1 < 1.
xi): 0 < x < 1 ⇒ 1 < 1

x
< 1

x2
.

xii): 1 < x ⇒ 1
x2
< 1

x
< 1.

xiii): 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w enta˜o 0 ≤ x · z ≤ y · w.

3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34

Demonstrac¸a˜o.

i) Dados x, y, z, w ∈ R com
x ≥ y e z ≥ w,

podemos traduzir isso em:

(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0.
Queremos provar que

x+ z ≥ y + w,
que se traduz em

(x+ z)− (y + w) ≥ 0,
ou, o que diz o mesmo:

(x− y) + (z − w) ≥ 0.
Isso e´ o que queremos. Para termos isso, podemos usar o Princ´ıpio 1, pois enta˜o com
esse princ´ıpio:

(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0 ⇒ (x− y) + (z − w) ≥ 0.
ii) Temos que x > 0. Caso y = z enta˜o x · y = x · z. Por isso supomos que y > z,

ou seja, y − z > 0.
Queremos provar que x · y > x · z, ou seja, que

x · y − x · z > 0,
o que e´ o mesmo que dizer que

x · (y − z) > 0.
Isso e´ o que queremos. Enta˜o podemos usar o Princ´ıpio 2, que da´:

x > 0 e y − z > 0 ⇒ x · (y − z) > 0.
iii) Temos agora −x > 0 pelo Princ´ıpio 0. Caso y = z enta˜o x · y = x · z.
Por isso supomos y > z, ou seja, y − z > 0. Enta˜o o Princ´ıpio 2 da´:

(−x) · (y − z) > 0,
ou seja

−x · y + x · z > 0,
ou seja,

x · y − x · z < 0,
que e´ o que busca´vamos provar:

x · y < x · z.
iv) Temos x > 0 e suponhamos por absurdo que 1

x
< 0.

Enta˜o − 1
x
> 0 e pelo Princ´ıpio 2:

x · (−1
x
) > 0.

Mas x · (− 1
x
) = −1. Logo obtemos −1 > 0 ou seja 1 < 0, que contradiz o Princ´ıpio 0.

v) Seja x > 1. Suponhamos por absurdo que 1
x
≥ 1.

Se 1
x
= 1 enta˜o chegamos na contradic¸a˜o: 1 = x.

CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 35

Se 1
x
> 1 enta˜o multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0, temos

x · 1
x
> x · 1

(pelo item ii) ja´ provado).
Como x · 1

x
= 1 pela pro´pria definic¸a˜o de 1

x
e como x · 1 pela definic¸a˜o do neutro

1, obtemos
1 > x,

que contradiz x > 1.
Deixo para o leitor a prova das propriedades vi-xii, onde pode usar as propriedades

i) - v) que ja´ foram provadas.

Fac¸o a prova de xiii):
Como 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w enta˜o sai primeiro que 0 ≤ x · z.
Agora, para ver que x · z ≤ y · w, note que

x · z ≤ y · z,
pois 0 ≤ (y − x) · z.

Do mesmo jeito sai que:
y · z ≤ y · w,

e portanto
x · z ≤ y · w.

�

Proponho agora ao leitor o seguinte Exerc´ıcio: explicar com itens da Afirmac¸a˜o
3.1 algumas propriedades dos Gra´ficos das func¸o˜es a seguir, a saber:

• por queˆ em determinado intervalo um esta´ acima ou abaixo do outro,
• por queˆ isso se inverte ao passar de x = 1,

2

1

1,5

0,5

0

x

1,210,4 0,6 0,80,20

4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36

y = x em vermelho, y = x2 em verde, y = x3 em amarelo
e y = x4 em azul, para x ∈ [0, 1.2]

2

1

1,5

0,8

0,5

x

1,61,41,21 1,8

y = 1
x
em vermelho, y = 1

x2
em verde, para x ∈ [2

3
, 2]

4. Intervalos e suas utilidades

Um intervalo I ⊂ R e´ definido como o conjunto de todos os nu´meros Reais maiores
(ou iguais) a um certo nu´mero a e menores (ou iguais) que um certo b.1

Se impomos que sejam estritamente maiores que a e estritamente menores que b
temos um intervalo aberto

I = {x ∈ R;