Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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a < x < b}
denotado I = (a, b). Caso contra´rio surgem os intervalos semi-abertos, fechados, etc.

Um t´ıpico intervalo que vamos usar no Curso sera´ o intervalo aberto de raio � > 0
centrado num ponto x:

(−�+ x, x+ �)
onde x e´ um ponto da reta dos Reais e � > 0 e´ um nu´mero positivo fixado por no´s.

O modo como vamos usar esses intervalos centrados e´ o seguinte: (−�+ x, x+ �)
sera´ uma espe´cie de gaiola ou cercado em torno de x, delimitando pontos pro´ximos
dele (a` medida que � > 0 e´ tomado pequeno).

Explico isso em mais detalhe:

Definic¸a˜o 4.1. A distaˆncia entre dois pontos x, x da reta dos Reais e´ definida pelo
mo´dulo2 da diferenc¸a entre eles:

|x− x| = |x− x|.
1Podemos considerar a reta R toda ou uma semi-reta tambe´m como intervalos: veremos isso em

detalhe na Sec¸a˜o 4. Ao inve´s de usarmos o s´ımbolo (2,+∞) para denotar a semi-reta dos nu´meros
maiores que 2, prefiro usar o s´ımbolo R>2: o motivo e´ evitar o mal uso do s´ımbolo +∞.

2para um nu´mero Real 4, |4| := 4, se 4 ≥ 0 ou |4| := −4, se 4 < 0

CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 37

Pela definic¸a˜o de mo´dulo, |x− x| < � significa que
x− x < �, se x− x ≥ 0 ou − (x− x) < �, se x− x < 0.

E´ importante entender que:

Afirmac¸a˜o 4.1. (−�+ x, x+ �) e´ exatamente3 o conjunto dos pontos que distam de
x menos que � > 0.

Demonstrac¸a˜o.

Vamos mostrar primeiro que

(−�+ x, x+ �) ⊂ {x ∈ R; |x− x| < �}.
Tome

x ∈ (−�+ x, x+ �),
com x 6= x (caso x = x na˜o ha´ nada a provar, pois � > 0).

Ou seja x verifica:

−�+ x < x < x ou x < x < x+ �.
Que equivale (subtraindo x) a:

−� < x− x < 0 ou 0 < x− x < �.
Que equivale4 a:

0 < −(x− x) < � ou 0 < x− x < �,
ou seja, 0 < |x− x| < �, como quer´ıamos.

Agora vamos mostrar que:

{x ∈ R; |x− x| < �} ⊂ (−�+ x, x+ �).
.

Tome x ∈ {x ∈ R; |x− x| < �}.
Se 0 ≤ x− x enta˜o temos

x− x < � ⇔ x < x+ �,
e portanto x ∈ [x , x+ �).

Se x− x < 0 enta˜o
−(x− x) < � ⇔ −x+ x < � ⇔ −�+ x < x,

ou seja, x ∈ (−�+ x , x).5.
�

3Dois conjuntos X e Y sa˜o iguais se X ⊂ Y e Y ⊂ X
4Atenc¸a˜o: as desigualdade se invertem quando multiplicadas por um nu´mero negativo, por ex.,

1 < 2 < 3 mas −3 < −2 < −1
5O quadrado a` direita significa que a demonstrac¸a˜o terminou

4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38

4.1. O que e´ u´til num intervalo aberto.
Os intervalos abertos sa˜o importante no Ca´lculo, e o ponto importante e´ que um

intervalo aberto tem uma certa toleraˆncia com cada um de seus elementos. Podemos
mexer um pouquinho em cada um de seus elementos sem sair do intervalo aberto.
Mais especificamente:

Afirmac¸a˜o 4.2. Dado qualquer x ∈ (a, b) existe um pequeno intervalo aberto centrado
em x denotado Ix tal que Ix ⊆ (a, b).

Demonstrac¸a˜o.

Considere as distaˆncias de x ∈ (a, b) ate´ o extremo a e ate´ o extremo b:
|x− a| := x− a > 0, |x− b| := b− x > 0

(sa˜o dois nu´meros positivos pois (a, b) e´ intervalo aberto).
Dentre os dois agora escolho o menor, chamando-o de δ0 > 0:

δ0 := mı´nimo{ x− a, b− x }.
Fac¸a

Ix := (−δ0 + x, x+ δ0),
e vamos verificar que

(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b).
Para isso vamos supor que e´ o caso que δ0 = x − a, ou seja, que x esta´ ou no centro
do intervalo (a, b) ou um pouco mais pro´ximo de a que de b (analogamente no outro
caso). Enta˜o

(−δ0 + x, x+ δ0) = ( −(x− a) + x, x+ (x− a) ) =

= ( a, x+ (x− a) ).
Ora supusemos estar na situac¸a˜o em que x− a ≤ b− x, logo:

(a, x+ (x− a)) ⊆ (a, x+ (b− x)) = (a, b),
portanto:

(−δ0 + x, x+ δ0) ⊆ (a, b)
como quer´ıamos.

�

Observe nessa Prova que a` medida que x se aproxima de a ou de b a toleraˆncia
(medida pelo δ0) fica menor, mas sempre existe.

Ja´ no intervalo semi-aberto I = (0, 5] na˜o ha´ toleraˆncia nenhuma com seu elemento
5: ou seja, qualquer nu´mero δ > 0 que for somada a 5, ja´ faz que 5 + δ na˜o pertenc¸a
a (0, 5].

CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 39

4.2. O que e´ u´til num intervalo fechado.
Num intervalo aberto acontece de seus elementos estarem se aproximando cada

vez mais de um ponto que ele mesmo na˜o esta´ no intervalo, por assim dizer de um
fantasma. Por exemplo, os pontos 1

2
, 1
3
, . . . , 1

n
de (0, 5) esta˜o cada vez mais pro´ximos

de 0, mas mesmo assim 0 6∈ (0, 5). Isso na˜o acontece no intervalo fechado [0, 5].
Dito de outro modo, no Curso na˜o estamos apenas interessados em saber se um

certo nu´mero z pertence ou na˜o pertence a um conjunto X ⊂ R, como se fazia no
ensino Me´dio. Tambe´m vamos querer saber se desse ponto z podemos achar elementos
x ∈ X ta˜o pro´ximos quanto quisermos.

• Se I e´ um intervalo aberto, pode acontecer que z /∈ I e mesmo assim hajam
elementos de I ta˜o pro´ximos quanto quisermos.

• Se I e´ intervalo fechado, e ha´ elementos de I ta˜o pro´ximos quanto quisermos
de z, enta˜o de fato z ∈ I.

Uma informac¸a˜o extremamente importante para um cientista e´ saber se uma
func¸a˜o que lhe interessa assume ma´ximo ou mı´nimo em seu domı´nio e principal-
mente, saber onde o faz.

Somente os intervalos fechados I = [a, b] garantira˜o sempre ma´ximos e mı´nimos
globais de func¸o˜es, sena˜o pode acontecer algo como segue.

Pense em f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
. A` medida que vamos tomando os pontos

1/n ∈ (0, 5] a func¸a˜o vale
f(

1

n
) = n,

que fica ta˜o grande quanto quisermos. Note que (0, 5] na˜o e´ um intervalo fechado.

5. Metamorfoses de cu´bicas

Nesta Sec¸a˜o resolvi descrever curvas interessantes usando apenas propriedades
ba´sicas do Reais, como regra dos sinais, desigualdades, mo´dulo, etc. que ja´ justifi-
camos acima neste mesmo Cap´ıtulo.

Tudo o que vem a seguir nesta Sec¸a˜o e´ baseado em que na˜o ha´ ra´ız quadrada Real
de um nu´mero Real negativo.

Comec¸emos com o conhecido c´ırculo y2 + x2 = r2 de raio r > 0. Observe que:

• podemos tomar o gra´fico de y = √r2 − x2 para descrever o semic´ırculo su-
perior (ou tomar y = −√r2 − x2 para o inferior).

• se r2−x2 > 0 ha´ duas escolhas de ra´ızes, positiva e negativa, e quando x = r
ou x = −r essas duas escolhas colapsam numa so´, que e´ y = 0.

• Onde r2−x2 < 0 deixamos de trabalhar sobre os Reais, pois os valores asso-
ciados a y =

√
r2 − x2 passam para o terreno dos nu´meros Complexos.6Como

so´ tratamos neste Curso de func¸o˜es a valores Reais, na˜o existem pontos do
c´ırculo cuja coordenada x verifique r2 − x2 < 0.

Por u´ltimo, observe que mudando o valor de r muda o raio do c´ırculo, portanto
podemos pensar em y2 + x2 = r2 como sendo uma famı´lia de c´ırculos em que cada
elemento fica determinando pelo r. Veja a Figura:

6Ha´ uma versa˜o magn´ıfica do Ca´lculo sobre os nu´meros complexos !

5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 40

y

0,5

1

x

10 0,5

-0,5

-1
0

-1

-0,5

Bom, mas tratar de c´ırculos e´ covardia, pois temos sua imagem impressa na nossa
mente desde a infaˆncia.

Que tal tratarmos de alguma curva que na˜o tenha sua imagem impressa na nossa
mente ? E ademaias, que tal tratarmos logo de uma famı´lia delas ?

Considere a familia de curvas dada por:

y2 − x3 − r · x = 0, r 6= 0.
Vamos analisar separadamente o que acontece quando r > 0 e quando r < 0.

Caso r > 0:
Temos

y2 = x3 + r x ⇔ y2 = x · (x2 + r).
Como x2 + r ≥ r > 0, o sinal de x · (x2 + r) so´ depende do de x. Logo

• se x > 0 temos duas opc¸o˜es
y =

√
x · (x2 + r) ou y = −

√
x · (x2 + r).

Ou seja, a curva na˜o e´ um gra´fico, ela tem uma parte no eixo y > 0 e uma
parte no eixo −y. Ha´ uma simetria relativa ao eixo dos x.

• ainda se x > 0, |y| = √x3 + rx observo que fica ta˜o grande quanto quisermos.
De fato, se dou o valor 7 K >> 1:

x ≥ 3
√
K2 ⇒ x3 ≥ K2 ⇒

⇒ x3 + rx ≥ K2 ⇒ |y| =
√
x3 + rx ≥ K.

• essas duas escolhas y =√x · (x2 + r) ou y = −√x · (x2 + r) colapsam numa
so´ se x = 0, pois enta˜o y = 0.

• se x < 0 a(s) coordenada(s) y deixa de ser um nu´mero Real, ou seja, para
no´s deixa de existir.

7O sinal >> 1 quer dizer