Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 41

Uma Figura compat´ıvel8 com essa descric¸a˜o e´:

y

2

-2

3

1

-1

0

-3

x

1,61,20,80,40

Caso r < 0
Agora

y2 = x · (x2 + r),
e (x2 + r) pode ser positivo, negativo ou positivo. Por isso o estudo do sinal de

x · (x2 + r)
e´ mais delicado.

Note que

x2 + r > 0 ⇔ x2 > −r > 0 ⇔
√
x2 >

√−r.
So´ que √

x2 = |x|
e portanto temos

x2 + r > 0 ⇔ |x| > √−r.
Se x > 0, |x| > √−r quer dizer x > √−r mas se x < 0 isso quer dizer −x > √−r,
ou seja x < −√−r.

Em suma:
x2 + r > 0 ⇔ x < −√−r ou x > √−r.

Enta˜o

• se x > 0
x · (x2 + r) ≥ 0 ⇔ x ≥ √−r,

e teremos duas opc¸o˜es de ra´ızes para determinar y. Que colapsam para y = 0
se x =

√−r.
• se x ≤ 0, so´ teremos x · (x2 + r) ≥ 0 se (x2 + r) ≤ 0. Ou seja,

−√−r ≤ x ≤ 0.
Nessa faixa de valores de x teremos duas opc¸o˜es de y, que colapsam em y = 0
se x = 0 ou x = −√−r.

8Na Figura trac¸ada ha´ mais informac¸a˜o do que a que justificamos. Somente na Sec¸a˜o 5 do
Cap´ıtulo 15 e´ que teremos esses dados.

5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 42

Uma Figura compat´ıvel com essa descric¸a˜o e´ (r = −1).

y

1

2

0

-2

-1

x

21,50,50 1-1 -0,5

Por u´ltimo, note que se |r| vai ficando pequeno, enta˜o os pontos

(−√−r, 0), (0, 0) e (√−r, 0)

va˜o se aproximando. Note que as ovais da parte negativa va˜o diminuindo de tamanho
quando |r| vai diminuindo.

Imagine r vindo de valores positivos, que va˜o ficando bem pro´ximos de zero, pulam
o valor zero, e passam a assumir enta˜o valores negativos.

E´ como se de um continente fosse expelida uma ilhota, que vai ficando maior e
mais distante do continente: as quatro figuras a seguir tentam mostrar isso.

y

2

-2

3

1

-1

0

-3

x

1,61,20,80,40

CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 43

Figura: A curva y2 − x3 − x = 0.

y

2

-2

3

1

-1

0

-3

x

21,510,50

Figura: A curva y2 − x3 − 0.4 x = 0.

y

1

2

0

-2

-1

x

21,50,50-0,5 1

Figura: A curva y2 − x3 + 0.3 x = 0.

y

1

2

0

-2

-1

x

21,50,50 1-1 -0,5

Figura: A curva y2 − x3 + x = 0.

5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 44

5.1. Suavizac¸a˜o do caso r = 0.
Ha´ uma pergunta natural: o que acontece na curva y2 − x3 − 0 x = y2 − x3 = 0 ?
Ja´ aviso: os programas gra´ficos ficam bem perdidos para trac¸ar essa curva, se a

coordenada x fica pro´xima de 0.
Por isso vou proceder como em muitos ramos da cieˆncia, vou tentar inferir qual

o formato dessa curva tomando curvas que entendamos e que estejam cada vez mais
pro´ximas dela.

Num sentido que ficara´ claro mais tarde, essas curvas pro´ximas sa˜o suaves ou
na˜o-singulares (ver Definic¸a˜o 4.1 na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 32).

Na Figura a seguir trac¸o a curva y2 − x3 = 0 so´ que estabelec¸o x ≥ 0.4, deixando
a regia˜o em torno de x = 0 como um miste´rio.

y

2

-2

3

1

-1

0

-3

x

1,61,20,80,40

A curva y2 − x3 = 0, so´ que x ≥ 0.4.
Como quero ter mais luz sobre esse objeto y2−x3 = 0 na˜o vou deforma´-lo de novo

na famı´lia y2 − x3 − r x = 0, mas sim noutra famı´lia:
y2 − x3 + s = 0, s ∈ R>0.

Observo que a relac¸a˜o

y2 = x3 − s
permite tirar ra´ızes quadradas desde que x3 − s ≥ 0. Portanto ha´ duas opc¸o˜es de
x > 3

√
s ou apenas y = 0 se x = 3

√
s.

Ou seja:

• a curva y2 = x3 − s so´ tem trac¸o no plano Real se x ≥ 3√s e
• a partir de x > 3√s a curva e´ sime´trica em relac¸a˜o ao eixo x, ja´ que temos
duas opc¸o˜es diferentes: y =

√
x3 − s e y = −√x3 − s.

Ademais note que se x > 3
√
s, enta˜o

y =
√
x3 − s <

√
x3

e

y = −
√
x3 − s >

√
x3.

ou seja:

CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 45

• dado x > 0, o trac¸o da curva y2 = x3 + s que tem y > 0 fica sempre abaixo
do de y =

√
x3.

• dado x > 0, o trac¸o da curva y2 = x3 + s que tem y < 0 fica sempre acima
do de y = −√x3.

A Figura a seguir ilustra isso para y2 − x3 + 8 = 0:

y

2

4

x

0
2,51,5 21

-4

-2

0,5

A curva y2 − x3 = 0, so´ que x ≥ 0.4, e a curva y2 − x3 − 8 = 0.
As Figuras a seguir ilustram curvas cada vez mais pro´ximas:

y

2

4

x

0
2,51,5 2

-4

-2

0,5 1

A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0 e y2 − x3 + 1 = 0.

6. EXERCI´CIOS 46

y

2

4

x

0
2,51,5 2

-4

-2

0,5 1

A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0, y2 − x3 + 1 = 0 e y2 − x3 + 0.5 = 0.
Sera´ que agora o leitor consegue inferir a forma de y2 − x3 = 0 ?

6. Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Prove, ao inve´s de apenas assumir, que vale:

x · x = (−x) · (−x), ∀x ∈ R.
Exerc´ıcio 6.2. (resolvido)

Para quais valores de x:
i) −3x+ 2 > 0 ?
ii) x2 − x > 0 ?
iii) 3x2 − 2x− 1 > 0 ?
iii) 3x+ 2 > 2x− 8 ?
iv) |x− 6| < 2 ?
v) |x+ 7| < 1 ?

Exerc´ıcio 6.3. (resolvido)
Prove que para quaisquer nu´meros Reais � e 4:

|�+4| ≤ |�|+ |4|.
Exerc´ıcio 6.4. Como sa˜o os gra´fico das func¸o˜es (com domı´nio ∀x ∈ R):

i) y = |x|,
ii) y = −| x|,
iii) y = |x− 5|,
iv) y = |x|+ |x− 1|+ |x− 2| ?

CAP´ıTULO 4

Sequeˆncias e seus limites

1. Sequeˆncias

Neste Curso sera´ importante a situac¸a˜o em que o domı´nio de uma func¸a˜o sera´ o
conjunto dos nu´meros Naturais N = {1, 2, 3, ...}. Nesse caso

f : N→ R

e´ chamada de sequeˆncia.
A imagem de uma tal f e´ uma lista de nu´meros Reais. Como cada ponto de sua

imagem e´ do tipo f(n) e´ comum denota´-lo por xn e a sequeˆncia toda por (xn)n.

Exemplo 0: f : N → R dada por f(n) = K e´ a sequeˆncia mais boba de todas,
pois sua imagem e´ somente o conjunto {K} - chama-se sequeˆncia constante.

Exemplo 1: Uma sequeˆncia na˜o ta˜o boba e´ f : N→ R dada por f(n) = 2n, cuja
imagem sa˜o os nu´meros Pares.

Exemplo 2:
Uma sequeˆncia fundamental para todo o Curso e´

f : N→ R, f(n) = 1
n
.

No que segue, dizer que N e´ um conjunto ilimitado em R e´ dizer que sempre ha´
um nu´mero Natural maior que qualquer nu´mero Real que for dado.

Afirmac¸a˜o 1.1. O fato de que os nu´meros naturais N formam um conjunto ilimitado
nos R e´ equivalente ao fato de que os valores de f : N → R, f(n) = 1/n ficam ta˜o
pro´ximos quanto quisermos de 0, desde que n seja suficientemente grande.

Demonstrac¸a˜o.

Uma equivaleˆncia e´ uma implicac¸a˜o em dois sentidos: ⇔.
Prova do sentido ⇒: Obviamente 1/n nunca e´ igual a 0: caso pensa´ssemos o

contra´rio para algum n0, obter´ıamos de
1
n0

= 0 e multiplicando por n0 obtemos que
0 = 1: absurdo.

A distaˆncia entre f(n) = 1/n e 0 e´ dada por |1/n− 0| = 1/n. Suponha que nos
foi dado um nu´mero positivo muito pequeno �0 > 0. Queremos confirmar que

1/n < �0

47

2. LIMITES DE SEQUEˆNCIAS 48

a partir de um certo n, ou seja se n ≥ n� (onde uso a notac¸a˜o n� para destacar que
esse n depende do �, quanto menor o � maior o n�). Mas negar o anterior seria dizer:

∀n ∈ N, �0 ≤ 1
n
.

Mas isso equivale (multiplicando por n
�0
> 0):

∀n ∈ N, n ≤ 1
�0

Concluir´ıamos enta˜o que o nu´mero 1
�0

e´ maior que todos os nu´meros naturais, con-
tradizendo a hipo´tese.

Prova do sentido ⇐:
Se existe um nu´mero K ∈ R tal que ∀n ∈ N tenhamos n ≤ K enta˜o ∀n ∈ N

ter´ıamos 1
K
≤ 1

n
. Logo a sequeˆncia 1

n
na˜o se aproxima de 0 mais que 1

K
. Contradic¸a˜o.

�

Observac¸a˜o: E´ poss´ıvel se colocar um Axioma sobre os nu´meros Reais - chamado
Axioma de Completamento - que implica a propriedade de N ser ilimitado em R.

Para no´s, neste Curso, o fato dos Naturais serem ilimitados e´ tomado como um
Axioma.

Podemos tambe´m dizer o conteu´do da Afirmac¸a˜o anterior de outro modo: dada
uma cerca (−� + 0, 0 + �), se tomamos um n� suficientemente grande, enta˜o ∀n ≥ n�
teremos 1/n ∈ (−�+ 0, 0+ �). Ou seja, esperando o tempo suficiente n�, a partir dali
a sequeˆncia 1/n na˜o sai mais da gaiola (−�+ 0, 0 + �). Simbolicamente escreveremos

lim
n→+∞

1

n
= 0,