APOSTILA DE TOPOGRAFIA
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APOSTILA DE TOPOGRAFIA

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determinado pelo terno cartesiano
(x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o relacionamento entre
os dois sistemas obtido pelo vetor posicional:

⎥⎥
⎥
⎦

⎤

⎢⎢
⎢
⎣

⎡
=

⎥⎥
⎥
⎦

⎤

⎢⎢
⎢
⎣

⎡

β
αβ
αβ

sen
sencos
coscos

r
z
y
x

 (1.1)

Figura 1.5 – Sistema de coordenadas esféricas.
1.3 - SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA

Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua
representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real
para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais
complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os
cálculos sobre esta superfície.
1.3.1 - MODELO ESFÉRICO

Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da
Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e

O

R (r, α, β)
r

β

α

Z

Y

X

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longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e
longitude astronômicas. A figura 1.6 ilustra estas coordenadas.

- Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até o
ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no
hemisfério Sul.
 - Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de
origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia
de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.

Figura 1.6 – Terra esférica - coordenadas astronômicas.
1.3.2 - MODELO ELIPSOIDAL

A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura 1.7). O elipsóide de
revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz)
em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um
elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos
de Geodésia no mundo.

Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a
(maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo
maior a e o achatamento f, expresso pela equação (1.2).

a
baf −= (1.2)

 a: semi-eixo maior da elipse
 b: semi-eixo menor da elipse

Figura 1.7 - Elipsóide de revolução.

a
b

a
a

b

PS

Λ

Φ

G
P

Q’Q

PN

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As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim
definidas (figura 1.8):

Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do
equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.

Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de

Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.
A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.

Figura 1.8 - Coordenadas Elipsóidicas.

No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de
Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global
Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são:
a = 6.378.137,000 m
f = 1/298,257222101
1.3.3 - MODELO GEOIDAL

O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido
teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos
continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura 1.9
são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide.

Figura 1.9 - Superfície física da Terra, elipsóide e geóide.

Superfície
Física

Geóide

Elipsóide

Q

λ
φ

G

P

P’

h

h = altitude
geométrica (PP’ )

normal

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O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de
nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre
a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.

As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a
essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um
teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em
inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e
também é chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra este conceito.

Figura 1.10 - Vertical.

1.3.4 - MODELO PLANO

Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada
pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os
cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas
dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20
a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até
aproximadamente 80 km.

Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em
Topografia são:
a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de

projeção localizado no infinito.
b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície

terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o
referido datum vertical brasileiro.

c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração
atmosférica têm as seguintes aproximadas:

Δl (mm) = - 0,001 l3 (km)

Linha de força
ou linha vertical

P

g : direção do vetor gravidade do ponto P
 (vertical)

Superfície equipotencial ou
superfície de nível S

Superfície equipotencial ou
superfície de nível S´

.

.
P´

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Δh (mm) = +78,1 l2 (km)
Δh´(mm) = +67 l2 (km)
onde:
Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm.
Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm.
Δh´ = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da
refração atmosférica, em mm.
l = distância considerada no terreno, em km.

d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de

maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não
ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta
dimensão.

e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de
projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem
coincide com a do levantamento topográfico;

f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do
levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou
para uma direção notável do terreno, julgada como importante.