APOSTILA DE TOPOGRAFIA
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APOSTILA DE TOPOGRAFIA

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Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é

necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos
mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);
Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira);
Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).
A figura 1.11 ilustra este plano.

Figura 1.11 - Plano em Topografia.

PN

PS

Eixo Y

Eixo X

Eixo Z

Plano de Projeção 90º
90º

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Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como

o alinhamento de uma rua, por exemplo (figura 1.12).

Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável.

1.3.4.1- EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA E ALTIMETRIA

A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura
1.13 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a
projeção desta distância sobre o plano topográfico.

Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância.

A diferença entre S´e S será dada por:

ΔS = S´ – S (1.3)

Calculando S e S´e substituindo na equação (1.3) tem-se:

S’ = R tg θ (1.4 )

S’A

S

B

B

R

R

θ

R: raio aproximado da Terra (6370 km)

Eixo X

Eixo Y

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S = R θ (1.5)

ΔS = R tgθ - R θ (1.6 )

ΔS = R (tg θ − θ) (1.7)

Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos:

(1.8)

(1.9)
onde θ = S/R, logo:

(1.10)

(1.11)

A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de

distâncias.

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias.
S (km) Δs

1 0,008 mm
10 8,2 mm
25 12,8 cm
50 1,03 m
70 2,81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.11.

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.

K+θ+θ+θ=θ
15
2 5

3

3
tg

⎟⎟⎠
⎞

⎜⎜⎝
⎛ θ−θ+θ=Δ

3
RS

3

3
RS

3θ=Δ

R3
SS

2

3=Δ

S’A

S

B’

B

R
R

θ
R: raio aproximado da Terra (6370 km)
Δh: diferença de nível entre os pontos B e B´,
este último projeção de B no plano topográfico.

Δh

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Através da figura 1.11 é possível perceber que:

hR
R

Δ+=θcos (1.12)
Isolando Δh na equação anterior:

⎟⎠
⎞⎜⎝

⎛ −⋅=Δ 1
cos

1
θRh (1.13)

De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que:

R
S=θ (1.14)

tem-se:

2

2Rh θ⋅=Δ (1.15)

R2
S2h ⋅=Δ (1.16)

A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias.

Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria.

S Δh
100m 0,8 mm
500m 20 mm
1 km 78 mm
10 km 7,8 m
70 km 381,6 m

Como pode ser observado através das tabelas 1.1 e 1.2, o efeito da curvatura é maior

na altimetria do que na planimetria. Durante os levantamentos altimétricos alguns cuidados
são tomados para minimizar este efeito, com será visto nos capítulos posteriores.
1.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO

Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como
direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros.
As fontes de erro poderão ser:

• Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, como
vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da
temperatura.

• Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de
equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida

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adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas
particulares de observação.

• Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma
medição, cansaço, etc.

Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser
classificados em:

• Erros grosseiros
• Erros sistemáticos
• Erros aleatórios

1.4.1 - ERROS GROSSEIROS

Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de
alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no
equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou
detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros.

Alguns exemplos de erros grosseiros:

• anotar 196 ao invés de 169;
• engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.

1.4.2 - ERROS SISTEMÁTICOS

São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo
leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser
evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a
aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho.

Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas
específicas:

• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de
distância;

• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura.

Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de
eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre
as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona
a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a
linha de visada e eixo do nível tubular.
1.4.3 - ERROS ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS

São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros
que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se
neutralizar quando o número de observações é grande.

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De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado,
os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que muito se aproxima da
distribuição normal.
1.4.3.1- PECULIARIDADE DOS ERROS ACIDENTAIS