Provas de EDO Professora Kashimoto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
1a PROVA DE MAT 021 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
NOME: MATR:
CURSO: DATA: 14/04/15
Observac¸a˜o: na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos e justificativas.
1a Questa˜o - 35pt. Resolva as equac¸o˜es diferenciais:
(i)(x+ 3y2) + 2xy
dy
dx
= 0
(ii)
dy
dx
= 1 + (x− y)2
2a Questa˜o - 25pt. Resolva a equac¸a˜o diferencial:
(x+ 4y + 3) + (−2x+ y + 3)dy
dx
= 0.
3a Questa˜o - 20pt. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial 2x
dy
dx
− 3y = 4x2y−1
y(1) = 2
e determine o domı´nio da soluc¸a˜o. Justifique!
4a Questa˜o - 20pt. Um tanque, com uma capacidade de 30 galo˜es, conte´m inicialmente 15 galo˜es
de uma soluc¸a˜o de a´gua com 6 libras de sal. Uma soluc¸a˜o de a´gua contendo 1 libra de sal por
gala˜o entra no tanque a uma taxa de 5 galo˜es por minuto, e a soluc¸a˜o misturada no tanque flui
para fora a uma taxa de 2 galo˜es por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque quando ele
estiver cheio.
Sugesta˜o: Seja Q(t) a quantidade de sal em libras no tanque num instante qualquer t. Para
problemas deste tipo temos:
dQ
dt
=taxa de entrada de sal - taxa de sa´ıda de sal = T1 − T2,
onde T1 = [(∗)gal/min][(∗)libras/gal] e T2 = [(∗)gal/min]
[
Q(t)
V (t)
libras/gal
]
, sendo (*) dados do
problema e gal = gala˜o/galo˜es.
V (t)= Volume inicial +(re − rs)t
re = taxa de entrada da soluc¸a˜o
rs= taxa de sa´ıda da soluc¸a˜o
FORMULA´RIO
(1) h(x) = My(x,y)−Nx(x,y)
N(x,y)
(2) h(y) = Nx(x,y)−My(x,y)
M(x,y)
(3) y′ + p(t)y = g(t) µ(t) = e
∫
p(t)dt.