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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´ DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O 2a PROVA DE MAT 021 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I NOME: MATR: CURSO: DATA: 03/11/14 Observac¸a˜o: na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos e justificativas. 1a Questa˜o - 20pt. Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para resolver o problema de valor inicial y′′ + 9y = 2sec(3t) −pi 6 < t < pi 6 y(0) = 0, y′(0) = 1 2a Questa˜o - 20pt. Sabendo que y1 = e t e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ty′′ − (t + 1)y′ + y = 0, no intervalo (0,∞), use o me´todo de reduc¸a˜o da ordem para encontrar uma outra soluc¸a˜o y2 dessa equac¸a˜o, tal que {y1, y2} seja um conjunto linearmente independente em (0,∞) e encontre a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o diferencial. 3a Questa˜o - 15pt. Use a substituic¸a˜o x = lnt, t > 0, para obter a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial 2t2 d2y dt2 + t dy dt − 3y = 0, t ∈ (0,∞). 4a Questa˜o - 35pt. Encontre a soluc¸a˜o geral de cada equac¸a˜o diferencial abaixo: (i) y(4) − 4y′′′ + 10y′′ − 12y′ + 5y = 0 (ii) y(4) − 4y′′ = t2 + et 5a Questa˜o - 10pt. Suponha que f e g sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0 num intervalo aberto I, onde p e q sa˜o cont´ınuas em I. Suponha que o wronskiano de f e g, W (f, g)(t) na˜o se anule em I. Sejam a < b, com a e b no intervalo I, dois zeros consecutivos de g, isto e´, g(a) = 0 e g(b) = 0 e para todo t em (a, b), g(t) 6= 0. Prove que existe c no intervalo (a,b) tal que f(c) = 0.
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