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sites.google.com/site/profafguimaraes 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 5 Questão 1 Dois blocos, de massas m1 e m2, são interligados por uma mola de peso desprezível. Os corpos estão apoiados sobre uma mesa plana sem atrito. Após terem sido afastados e soltos, o bloco 1 adquire uma aceleração instantânea igual a 1a . No mesmo instante a aceleração do bloco 2 vale 2 13a a= . a) Obtenha a razão m1/m2; b) Se m1 = 2 kg e se 22 12a m s −= ⋅ qual seria a força exercida pela mola sobre os blocos? Resolução: a) 1 2 1 1 2 2 1 2 3. R R elásticaF F F m a m a m m = = = = b) 1 22 1 1 1; 43 2 4 8 . R elástica elástica elástica aF F F m a a m s F N −= ⇒ = = = ⋅ = ⋅ = Questão 2 Um carro possui velocidade constante de 60 km⋅h‐1 e sua massa vale 1,2 toneladas (1 tonelada = 103 kg). Num dado instante o motorista usa os freios e o carro pára após percorrer 50m. Calcule: a) O módulo da força de frenagem; b) O tempo necessário para o carro parar. Resolução: a) 2 2 0 2 2 3 2 0 16,7 2 50 2,79 1,2 10 2,79 3348 . R R v v a x a a m s F m a F N − = − ∆ = − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ∴ = b) 0 0 16,7 2,79 5,99 . v v a t t t s = − ⋅ = − ∴ = sites.google.com/site/profafguimaraes 2 Questão 3 Duas forças, F1 e F2, atuam sobre um corpo de massa m, como indica a figura. Considere m=8,0kg, F1=4,0N, F2=6,0N. Determine o vetor aceleração do corpo. Resolução: A força resultante é a soma de todas as forças que atuam em um corpo. Assim, teremos: 2 2 1 2 1 2 7, 2 . R R R F F F F F F F N = + ⇒ = + ∴ ≅ ? ? ? O vetor aceleração está na mesma direção da força resultante e possui módulo de: 2 07, 2 40,9 ; arctan 33,7 . 8 6R F m a a m s θ−= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ≅ Questão 4 Um bloco partindo do repouso no topo de um plano inclinado sem atrito, cujo comprimento é de 16m, chega à base do plano 5,0s depois. Um segundo bloco é projetado da base para cima do plano no instante em que o primeiro bloco começa a sua trajetória, de tal modo que ele retorne à base do plano simultaneamente com o primeiro bloco. a) Ache a aceleração de cada bloco no plano inclinado; b) Calcule a velocidade inicial do segundo bloco; c) Que distância ao longo do plano percorre o segundo bloco? d) Determine o ângulo que a plana forma com a horizontal. Resolução: a) Utilizando a equação do espaço, pode‐se determinar a aceleração do primeiro bloco. 2 2 0 2 516 0 2 2 1,28 . at aS v t a m s− ⋅∆ = + ⇒ = + ∴ = ⋅ b) A aceleração do segundo bloco também vale 1,28m⋅s‐2. Além disso, o tempo que o segundo bloco leva para subir será metade do tempo que o primeiro bloco leva para descer. Então: 2 02 02 1 02 0 1,28 2,5 3,2 . v v a t v v m s− = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ c) Para descer, o segundo bloco leva 2,5s. Partindo do repouso, teremos: 2 2 2 1, 28 2,5 4 . 2 2 a tS m⋅ ⋅∆ = = = m 1F ? 2F ? m 1F ? 2F ? RF ? a? θ sites.google.com/site/profafguimaraes 3 São 4m para subir e mais 4m para descer. d) Sendo um plano inclinado, vale a seguinte relação: a gsenθ= . Utilizando o valor 29,8g m s−= ⋅ , teremos: 0 1, 281,28 9,8 9,8 7,5 . sen arcsenθ θ θ = ⇒ = ≅ Questão 5 Um pára‐quedista possui massa igual a 70 kg e quando salta do avião com um pára‐quedas ele sofre uma aceleração para baixo igual a 2,0 m⋅s‐2. A massa do pára‐quedas vale 5,0 kg. a) Determine o valor da força exercida pelo ar de baixo para cima sobre o pára‐quedas; b) Ache o módulo da força exercida pelo homem sobre o pára‐quedas. Resolução: a) ( ) ( ) 75 2 75 9,8 585 . RPAR PAR AR RHOM HOM HOM PAR HOM PAR AR AR AR F T P F F P T m m a m m g F F F N ⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ + = + − ⋅ = ⋅ − ∴ = FAR PPAR T T PHOM sites.google.com/site/profafguimaraes 4 b) T=? 140 686 546 . RHOM HOMF P T T T N = − − =− ∴ = Questão 6 O eixo da roldana indicada na figura é impulsionado por uma força F de baixo para cima. Despreze o atrito do mancal e a massa da do fio e da roldana. O corpo m1 possui massa igual a 2 kg e o outro corpo amarrado na outra extremidade da roldana possui massa m2 igual a 4 kg. O corpo de massa m2 está inicialmente apoiado na horizontal. Faça um diagrama das forças sobre a roldana e sobre cada um dos blocos. Com base neste diagrama e nas leis de Newton, determine: a) O maior valor que a força F pode ter de modo que m2 permaneça em repouso sobre a superfície; b) A tensão no fio supondo F = 100N. c) A aceleração de m1 no caso “b”. Resolução: a) Previamente vamos representar as forças que atuam na roldana e em cada corpo. Roldana: Corpo 1: Corpo 2: Para que o corpo 2 permaneça em equilíbrio no apoio da horizontal, a seguinte condição deve ser satisfeita: 2P T N= + . Porém, se 0N → , a condição a ser satisfeita será: 2P T= . Assim, o máximo valor de T será: 4 9,8 39,2T N= ⋅ = , onde 29,8g m s−= ⋅ . E como 78,4 2 FT F N= ⇒ = . m1 m2 F T P1 T N P2 F T T sites.google.com/site/profafguimaraes 5 b) Como 50 . 2 FT N= = c) Utilizando o resultado do item “b”, teremos para o corpo 1: 1 1 1 2 1 2 50 19,6 15,2 . RF T P a a m s− = − ⋅ = − ∴ = ⋅ Obs.: A aceleração no corpo 1 é ascendente. Questão 7 Determine as acelerações dos corpos nos dois casos abaixo. Considere a aceleração da gravidade igual a “g”. Despreze as massas das polias. a) b) Resolução: a) Previamente, representaremos o diagrama de forças nos corpos 1, 2 e 3, bem como nas roldanas. Corpo 1: Corpos 2 e 3: 1 2 3 1 2 3 T P1 N T T Freação T/2 T T/2 P3 P2 T/2 T/2 sites.google.com/site/profafguimaraes 6 Para o corpo 1, teremos: 1 1 1 1; RN P F T m a= = = ⋅ . (7.a.1) E para os corpos 2 e 3, teremos: 2 2 2 2 22 2R T TF P m a m g= − ⇒ ⋅ = ⋅ − (7.a.2) e 3 3 3 3 32 2R T TF P m a m g= − ⇒ ⋅ = ⋅ − . (7.a.3) Teremos que fazer algumas considerações acerca da roldana suspensa. Observando a figura abaixo, podemos concluir que a aceleração da mesma é a média das acelerações dos corpos 2 e 3. 1 3 2 22 3 1 2 3 1 2 2 1; 2 2 . 2 y L y L y L y yy y a t a aa // / /∆ + −∆ + −∆ = ∆ +∆∆ = ∆ = ⋅ +∴ = (7.a.4) Agora, utilizando o resultado de (7.a.4) nas equações (7.a.2) e (7.a.3), teremos: 2 31 2 2 2 2 2 a amm a m g ⎛ ⎞+ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (7.a.5) e 2 31 3 3 3 2 2 a amm a m g ⎛ ⎞+ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ . (7.a.6) Poderemos utilizar a equação (7.a.5) para resolver 2a e em seguida substituir na equação (7.a.6) para encontrar a expressão de 3a . Logo teremos: ( ) ( ) 2 1 2 1 3 3 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 44 4 4 16 4 4 4 4 4 mm g m am a m g m a m m m m a m m a m m a g m m mm mm a m m mm mm ⎡ ⎤−⎢ ⎥= − −⎢ ⎥+⎣ ⎦ + + = + − ∴ = + − ⋅A. (7.a.7) Onde, ( ) 12 3 1 3 2 14g m m mm m m −= + +A . (7.a.8) 3 2 3 2 L ∆y3∆y2 ∆y1 sites.google.com/site/profafguimaraes 7 Agora, substituindo o resultado de (7.a.7), na equação (7.a.5), poderemos encontrar a expressão de 2a . Assim, teremos: ( )2 2 3 1 2 1 34a m m mm mm= + − ⋅A . (7.a.9) Utilizando os resultados de (7.a.4), (7.a.7) e (7.a.9), teremos: 1 2 34a m m= ⋅A . (7.a.10) b) Conforme foi feito no item “a”, previamente, representaremos o diagrama de forças nos corpos 1, 2 e 3, bem como nas roldanas. Corpo 1: Corpos 2 e 3: Para o corpo 1, teremos: ( )1 1 1 1 1 1RF m a T P T m a g= = − ⇒ = + . (7.b.1) Para os corpos 2 e 3, teremos: ( )12 2 2 2 2 2 2 12 2R mTF m a m g m a m g a g= = − ⇒ = − + (7.b.2) e ( )13 3 3 3 3 3 3 12 2R mTF m a m g m a m g a g= = − ⇒ = − + . (7.b.3) Aqui, também se aplica o resultado de (7.a.4). Assim, as equações (7.b.2) e (7.b.3) podem ser expressas por: ( )2 2 2 1 2 3 14 4 2m a m g m a a m g= − + − (7.b.4) e P1 T T T 2T P2 T P3 T/2 T/2 sites.google.com/site/profafguimaraes 8 ( )3 3 3 1 2 3 14 4 2m a m g m a a m g= − + − . (7.b.5) Utilizando a equação (7.b.4) podemos encontrar uma expressão para 2a e depois substituir na equação (7.b.5) e assim determinar 3a . Logo, teremos: ( ) ( ) 2 1 3 3 3 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 2 3 1 3 1 2 1 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 2 2 4 4 2 4 16 4 4 16 4 4 2 8 2 4 3 A. g m m m a m g m m a m g m m m m a mm a m a m m a m a m m g m m g m m g gm mm g m g a m m mm mm ⎡ ⎤−⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥+⎣ ⎦ + − + + = + − + − − ∴ = + − ⋅ (7.b.6) Onde A é dado por (7.a.8). Substituindo o resultado de (7.b.6) em (7.b.4), teremos: ( )2 2 3 2 1 1 34 3 Aa m m m m mm= + − ⋅ . (7.b.7) Logo, com o auxílio do resultado de (7.a.4), (7.b.6) e (7.b.7) poderemos encontrar 1a : ( )1 2 3 2 1 1 34 Aa m m m m mm= − − ⋅ . (7.b.8) Questão 8 Uma corrente flexível e uniforme possui comprimento L. Sua densidade linear (ou seja, seu peso por unidade de comprimento) vale λ. A corrente passa sobre uma roldana sem atrito e de massa desprezível. Ela é liberada da posição de repouso, pendendo para um lado com um comprimento x e para o outro com comprimento L – x. Determine a aceleração em função de x. Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . R L x x x L x L x x F P P m m a m m g x L x a L x x g L xa g L λ λ − − − = − + = − / /+ − = − − ⎛ ⎞− ⎟⎜∴ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Questão 9 Duas partículas de mesma massa m estão ligadas por um fio leve de comprimento 2L, conforme mostra a figura. Aplica‐ se uma força contínua F no ponto médio da corda (x = 0), perpendicularmente à posição inicial da corda. Determine a aceleração de m numa direção perpendicular à força aplicada, em função da distância x de uma das partículas à x L ‐ x Px PL‐x m m F 2L sites.google.com/site/profafguimaraes 9 linha de ação da força aplicada. Resolução: Vamos representar os diagramas de forças. Observando a figura poderemos concluir que a força resultante em cada partícula é dada por: .R TF ma T a m = = ⇒ = Assim, podemos escrever: cos cosx x Ta a a m θ θ= ⇒ = . Mas, 2 2 FF Tsen T sen θ θ= ⇒ = . Logo, teremos: cos . 2x Fa m sen θ θ= Do triângulo retângulo, temos: ( )1 22 2 cos x sen L x θ θ = − Assim, ( )1 22 22x F xa m L x = ⋅ − . Questão 10 A resistência do ar ao movimento dos corpos depende de muitos fatores, tais como: tamanho e forma do corpo, densidade e temperatura do ar, velocidade do corpo, etc. Uma hipótese aceitável, pelo menos para cálculos de ordem de grandeza, afirma que a força resistiva fR é proporcional ao módulo da velocidade do corpo. Como a força resistiva é contrária ao movimento, podemos escrever fR = ‐kv, onde k é uma constante de proporcionalidade. Denomina‐se velocidade terminal de um corpo no seio de um fluido a velocidade atingida pelo corpo quando a aceleração do movimento torna‐se nula, isto é, o corpo passa a se mover com velocidade constante no seio do fluido. a) Aplique a Segunda Lei de Newton para um corpo que cai verticalmente no ar; b) Obtenha a equação diferencial do movimento; c) Calcule a velocidade terminal; d) Obtenha a expressão da velocidade em função do tempo; e) Obtenha a expressão do espaço percorrido em função do tempo. Resolução: a) F L x Fx Fy θ T T T T (L2‐ x2)1/2 sites.google.com/site/profafguimaraes 10 .R RF mg f ma mg kv= − ⇒ = − b) dvm mg kv dt = − ou 2 2 d y dym mg k dt dt = − . c) FR = 0. Assim, .t P kv mgv k = = d) Utilizando a equação diferencial da velocidade do item “b”, teremos: ln . dv kg v dt m dv dtkg v m dv dtkg v m m kg v const t k m = − = − = − ⎛ ⎞⎟⎜− − + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ∫ ∫ Tomando as condições iniciais v = 0 quando t = 0, teremos: ( )1 .kt mtv v e−= − e) Do resultado anterior, podemos escrever: ( )1 kt mtdy v edt −= − . Assim, de forma semelhante ao item anterior, teremos: . kt m t t kt m t t ktt m t dy v dt v e dy v dt v e dt v my v t e k − − − = − = − ∴∆ = + ∫ ∫ ∫ sites.google.com/site/profafguimaraes 11 Porém, esse resultado não se mostra muito confiável, pois não atende às condições iniciais. Para 0 0t y= ⇒∆ = . Substituindo t = 0 na equação, encontramos .tv my k ∆ = O mais correto a se fazer é utilizar a constante de integração e depois determinar o valor da constante de integração impondo as condições iniciais. Assim, teremos: . kt m t t kt m t t ktt m t dy v dt v e dy v dt v e dt v my v t e const k − − − = − = − ∆ = + + ∫ ∫ ∫ Utilizando as condições iniciais, 0 0t y= ⇒∆ = , teremos: ( ) 0 0 0 . . 1 . kt tm t ktt m t v m v mv e const const k k v my v t e k − − = + + ⇒ =− ∴∆ = + −
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