Lista- Limites

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Universidade Federal de Campina Grande - Campus de Cuité
Centro de Educação e Saúde
Unidade Acadêmica de Educação
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof.a Maria de Jesus R. da Silva
Lista de Exercícios III - Unidade I
1. Usando propriedades de limite, calcule.
a) lim
x!�7
(2x+ 5) b) lim
y!2
y + 2
y2 + 5y + 6
c) lim
h!0
3p
3h+ 1 + 1
d) lim
t!�5
t2 + 3t� 10
t+ 5
e) lim
x!�2
�2x� 4
x3 + 2x2
f) lim
y!1
y � 1p
y + 3� 2
g) lim
x!7
x2 � 49
x� 7 h) limx!� 3
2
4x2 � 9
2x+ 3
i) lim
y!�2
y3 + 8
y + 2
j) lim
x!1
p
x� 1
x� 1 k) limx!0
p
x+ 2�p2
x
l) lim
x!2
x
p
x�p2
3x� 4
m) lim
x!�
2
(2 sen x� cosx+ cotg x) n) lim
x!4
(ex + 4x)
2. Sendo 1� x
4
4
� u(x) � 1 + x
2
2
para qualquer x 6= 0, procure lim
x!0
u(x).
3. Sejam f e g funções de…nidas em D, tais que lim
x!a
f(x) = 0 e jg(x)j � M , 8x 2 D,
sendo M uma constante positiva. Use o teorema do Confronto para mostrar que
lim
x!a
[f(x):g(x)] = 0:
4. Nos exercícios abaixo, faça um esboço do grá…co e ache o limite indicado, se existir, e
justi…que.
I) f(x) =
8<:
2; se x < 1
�1; se x = 1
�3; se 1 < x
a) lim
x!1+
f(x) b) lim
x!1�
f(x) c) lim
x!1
f(x):
II) f(x) =
� �2; se x < 0
2; se x � 0 a) limx!0+ f(x) b) limx!0� f(x) c) limx!0 f(x):
III)f(t) =
�
t+ 4; se t � �4
4� t; se � 4 < t a) limt!�4+ f(t) b) limt!�4� f(t) c) limt!�4 f(t):
IV)f(x) =
�
x2; se x � 2
8� 2x; se 2 < x a) limx!2+ f(x) b) limx!2� f(x) c) limx!2 f(x):
1
V) f(x) = jx� 5j a) lim
x!5+
f(x) b) lim
x!5�
f(x) c) lim
x!5
f(x):
VI) f(x) =
jxj
x
; x 6= 0 a) lim
x!0+
f(x) b) lim
x!0�
f(x) c) lim
x!0
f(x):
VII)g(x) =
8<: jx� 3jx� 3 ; se x 6= 30; se x = 3 a) limx!3+ g(x) b) limx!3� g(x) c) limx!3 g(x):
5. Dada f(x) =
�
3x+ 2 se x < 4
5x+ k se 4 � x : Ache o valor de k para o qual o limx!4 f(x) existe.
6. Dada f(x) =
8<:
x2; se x � �2
ax+ b; se � 2 < x < 2
2x� 6; se 2 � x
: Ache os valores de a e b, tais que : lim
x!�2
f(x)
e lim
x!2
f(x) ambos existam.
7. Se f(x) =
3x+ jxj
7x� 5jxj ; calcule: a) limx!+1 f(x) b) limx!�1 f(x).
8. Se f(x) =
1
(x+ 2)2
, calcule: a) lim
x!�2
f(x) b) lim
x!+1
f(x).
9. Calcule os limites
a) lim
x!+1
(3x3 + 4x2 � 1) b) lim
x!+1
�
2� 1
x
+
4
x2
�
c) lim
t!+1
�
t+ 1
t2 + 1
�
d) lim
t!+1
t2 � 2t+ 3
2t2 + 5t� 3 e) limx!+1
2x5 � 3x3 + 2
�x2 + 7 f) limx!�1
3x5 � x2 + 7
2� x2
g) lim
x!+1
x2 + 3x+ 1
x
h) lim
x!+1
x
p
x+ 3x� 10
x3
i) lim
t!+1
t2 � 1
t� 4
j) lim
x!+1
x(2x� 7 cos x)
3x2 � 5senx+ 1 k) limx!+1
p
x2 + 1
x+ 1
l) lim
x!�1
p
x2 + 1
x+ 1
m) lim
x!+1
(
p
x2 + 1�px2 � 1) n) lim
x!+1
x(
p
x2 � 1� x) o) lim
x!+1
(
p
3x2 + 2x+ 1�p2x)
p) lim
x!�1
x3 � 2x+ 1
x2 � 1 q) limx!3+
x
x� 3 r) limx!3�
x
x� 3
s) lim
x!2+
x
x2 � 4 t) limx!2�
x
x2 � 4 u) limy!6+
y + 6
y2 � 36
v) lim
y!6�
y + 6
y2 � 36 w) limx!4+
3� x
x2 � 2x� 8 x) limx!3�
1
jx� 3j
2
10. Determinar as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções:
a)f(x) =
4
x� 4 b)f(x) =
�3
x+ 2
c)f(x) =
4
x2 � 3x+ 2
d)f(x) =
�1
(x� 3)(x+ 4) e)f(x) =
1p
x+ 4
f)f(x) = � 2p
x� 3
g)f(x) =
2x2p
x2 � 16 h)f(x) =
xp
x2 + x� 12 i)f(x) = e
1
x
j)f(x) = ex � 1 k)f(x) = lnx l)f(x) = tgx
11. Usando os limites fundamentais, calcule.
a) lim
x!0
sen 9x
x
b) lim
x!0
sen 4x
3x
c) lim
x!0
sen 10x
sen 7x
d) lim
x!0
sen ax
sen bx
; b 6= 0
e) lim
x!0
tg ax
x
f) lim
x!0
1� cosx
x
g) lim
x!0
1� cosx
x2
h) lim
x!0
2
tg2 x
x2
12. Investigue a continuidade nos pontos indicados:
a)f(x) =
( sen x
x
; se x 6= 0
0; se x = 0
em x = 0: b)f(x) = x� jxj em x = 0:
c)f(x) =
8<: x
3 � 8
x2 � 4 ; se x 6= 2
3; se x = 2
em x = 2: d)f(x) =
1
sen 1
x
em x = 2:
e)f(x) =
�
x2 sen 1
x
; se x 6= 0
0; se x = 0
em x = 0: f)f(x) =
8<:
1� x2; se x < 1
1� jxj; se x > 1
1; se x = 1
em x = 1:
g)f(x) =
8<: x
2 � 4
x� 2 ; se x 6= 2
0; se x = 2
em x = 2: h)f(x) =
�
x2; se x � �1
1� jxj; se x < �1 em x = �1:
i)f(x) =
x2 � 3x+ 7
x2 + 1
em x = 2: j)f(x) =
2
3x2 + x3 � x� 3 em x = �3:
13. Determine, se existirem, os valores de x 2 D(f), nos quais f(x) não é contínua.
3
a)f(x) =
( x
x2 � 1 ; se x
2 6= 1
0; se x = �1
b)f(x) =
1 + cos x
3 + senx
c)f(x) =
x� jxj
x
d)f(x) =
� p
x2 + 5x+ 6; se x < �3 e x > �2
�1; se � 3 � x � �2
e)f(x) =
�
1� cosx; se x < 0
x2 + 1; se x � 0 f)f(x) =
2
ex � e�x
g)f(x) =
8<: x
2 � 3x+ 4
x� 1 ; se x 6= 1
1; se x = 1
h)f(x) = cos
x
x+ �
14. Construa o grá…co e analise a continuidade das seguintes funções.
a)f(x) =
�
0; se x � 0
x; se x > 0
b)f(x) =
8<: x
2 � 4
x+ 2
; se x 6= �2
1; se x = �2
c)f(x) =
( x
jxj ; se x 6= 0
�1; se x = 0
d)f(x) =
�
ln(x+ 1); se x � 0
�x; se x < 0
e)f(x) =
x3 + 3x2 � x� 3
x2 + 4x+ 3
15. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
a) f(x) =
�
x2 + px+ 2; se x 6= 3
3; se x = 3
b) f(x) =
�
x+ 2p; se x � �1
p2; se x > �1
c) f(x) =
�
e2x; se x 6= 0
p3 � 7; se x = 0
16. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
a)f(x) =
x
(x� 3)(x+ 7) b)f(x) =
p
(3� x)(6� x)
c)f(x) =
1
1 + 2 sen x
d)f(x) =
x3 + 3x� 1
x2 � 6x+ 10
17. Prove que se f(x) e g(x) são contínuas em x0 = 3, também o são f + g e f:g:
18. Sejam f; g e h funções tais que, para todos x, f(x) � g(x) � h(x). Se f e g são
contínuas no ponto x = a e f(a) = g(a) = h(a), prove que g é contínua no ponto a.
19. Sejam a 2 R e f : R ! R uma função de…nida no ponto a, Se lim
x!a
f(x)� f(a)
x� a = m,
prove que f é contínua no ponto a.
Estudem!
4