Lista1 - inferência estatítica

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Universidade Federal do Ceara´
Departamento de Estat´ıstica e Matema´tica Aplicada
Prof. : Juveˆncio S. Nobre
CC0288 - Infereˆncia Estat´ıstica I - 2016.2
Lista de exerc´ıcios # 1: Estat´ısticas de Ordem
Distribuic¸a˜o: 22/08/2016
Entrega: 29/08/2016
1. Considere X1, . . . ,Xn
iid∼ X, com X representando uma varia´vel aleato´ria a.c. com func¸o˜es
densidade e distribuic¸a˜o, respectivamente, dadas por fx e FX . Mostre, usando o me´todo da func¸a˜o
distribuic¸a˜o acumulada, que as densidades do mı´nimo e ma´ximo amostrais (Y1 e Yn), sa˜o dadas
respectivamente por:
fY1(x) = n[1− FX(x)]n−1fX(x)1X (x)
e
fYn(x) = n[FX(x)]
n−1fX(x)1X (x).
2*. Considere X1, . . . ,Xn
iid∼ X, com X representando uma varia´vel aleato´ria a.c. com func¸o˜es
densidade e distribuic¸a˜o, respectivamente, dadas por fx e FX . Obtenha a densidade conjunta da
i-e´sima e j-e´sima estat´ısticas de ordem (i < j).
3. Considere X1,X2
iid∼ β(1, 2). Calcule a probabilidade de um item seja pelo menos duas vezes
maior que o outro.
4. Considere X1, . . . ,Xn
iid∼ U(0, 1). Mostre que X(k) = Yk ∼ β(k, n − k + 1).
5. ConsidereX1, . . . ,Xn
iid∼ U{1, . . . , N}, N ∈ N. Determine a func¸a˜o de probabilidade do mı´nimo
e ma´ximo amostrais.
6. Considere X1, . . . ,Xn
iid∼ U(0, 1). Calcule a probabilidade da amplitude amostral ser menor
que 1/2.
7. Considere X1, . . . ,X4
iid∼ exp(1). Calcule P(Y4 ≥ 4).
8. Considere X1,X2,X3
iid∼ β(2, 1).
i) Calcule a probabilidade do mı´nimo amostral ser superior a mediana da distribuic¸a˜o β(2, 1).
ii) Determine o coeficiente de correlac¸a˜o entre a mediana (Y2) e o ma´ximo (Y3) amostrais.
9. Considere um vetor aleato´rio X = (X1,X2) com func¸a˜o densidade dada por
fX(x) =
12
7
x1(x1 + x2)1(0,1)(x1)1(0,1)(x2).
Determine a distribuic¸a˜o conjunta de min{X1,X2} e max{X1,X2}.
10. Considere um vetor aleato´rio X = (X1,X2) cujas componentes sa˜o independentes, tais
que X1 ∼ β(2, 1) e X2 ∼ β(3, 1). Determine a distribuic¸a˜o conjunta de Y1 = min{X1,X2} e
Y2 = max{X1,X2}.
11. Considere X1, . . . ,Xn
iid∼ exp(1) e Y1 < Y2 < . . . < Yn as respectivas estat´ısticas de ordem.
i) Mostre que Z1 := nY1, Z2 := (n− 1)(Y2 − Y1), Z3 := (n− 2)(Y3 − Y2), . . . , Zn := Yn − Yn−1
sa˜o estocasticamente independentes e identicamente distribuidas.
ii) Demonstre que todas as func¸o˜es lineares de Y1, Y2, . . . , Yn da forma
∑n
i=1 aiYi podem ser
expressas como func¸o˜es lineares de varia´veis aleato´rias estocasticamente independentes.
12. No programa de avaliac¸a˜o e revisa˜o te´cnica estamos interessados no tempo total para com-
pletar um projeto que e´ composto por um grande nu´mero de subprojetos. Para ilustrac¸a˜o, sejam
X1,X2,X3 as VAs que representam os treˆs tempos aleatoriamente independentes de execuc¸a˜o
dos subprojetos. Se esses subprojetos sa˜o em se´rie (o primeiro deve ser completado antes do
in´ıcio do segundo e assim por diante), enta˜o estamos interessados na soma Y =
∑3
i=1Xi. Se
eles esta˜o em paralelo (podem ser realizados simultaneamente), enta˜o estamos interessados em
Z = max{X1,X2,X3}. No caso de X1,X2,X3 iid∼ U(0, 1), determine:
i) A fdp de Y .
ii) A fdp de Z.
13. Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 estat´ısticas de ordem de uma amostra aleato´ria de tamanho
5 de uma distribuic¸a˜o U(0, θ), θ > 0.
i) Determine E[2Y3].
ii) Determine a fdp do vetor (Y3, Y5).
iii) Encontre a esperanc¸a condicional φ(Y5) = E[2Y3|Y5].
iv) Compare as variaˆncias de 2Y3 e φ(Y5).
14. Seja Y1 < Y2 as estat´ısticas de ordem de uma amostra de tamanho 2 de uma distribuic¸a˜o
N (0, σ2).
i) Mostre que E[Y1] = −σ/
√
pi.
Sugesta˜o: Obtenha E[Y1] atrave´s da distribuic¸a˜o conjunta de (Y1, Y2) integrando primeira-
mente com relac¸a˜o a Y1.
ii) Calcule Cov(Y1, Y2).
15*. Considere X1, . . . ,Xn
iid∼ X, em que X e´ uma V.A. qualquer. Uma medida de dis-
persa˜o/desigualdade bastante utilizada e´ a diferenc¸a me´dia de Gini, definida por
G :=
n∑
j=2
j−1∑
i=1
|Xi −Xj |/
(
n
2
)
.
i) Se n = 10, encontre a1, . . . , a10 tais que G =
n∑
i=1
aiYi, em que Y1, . . . , Y10 representam as
estat´ısticas de ordem da amostra.
ii) Mostre que E[G] = 2σ/
√
pi, se X ∼ N (µ, σ2).