ProjCartog_aula_04_04.11.2013

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PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS 
GAC012 
2013-II 
AULA 03 
Profª Dra. Luziane Ribeiro 
luziane@ig.ufu.br 
Universidade Federal de Uberlândia 
Campus Monte Carmelo 
Engenharia de Agrimensura e Cartográfica 
ESCALAS 
PARTICULARES 
 
- FATORES DE DEFORMAÇÃO – 
HTTP://WWW.UFSCAR.BR/~DEBE/GEO/PAGINAS/TUTORIAIS/PDF/CARTOGRAFIA/CARTOGRAFIA%20GERAL.PDF 
Fator de deformação ao longo dos meridianos (h) 
Fator de deformação ao longo dos paralelos (k) 
Fator de deformação ao longo de qualquer arco que passe por A 
ds 
h 
k D 
A 
B 
EXERCÍCIO 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
• A formulação desta projeção (lei de projeção) é a seguinte: 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
1. Observa-se que as deformações crescem na direção dos pólos, 
tendendo para o infinito. 
2. Isso acontece porque esta projeção não é definida para latitude de 
90º. 
3. A deformação angular máxima é igual a Zero, o que era de se 
esperar, uma vez que a projeção é conforme e os ângulos, neste 
caso, são preservados. 
4. Nota-se ainda, que uma área localizada na latitude de 75º, sofre 
uma ampliação da ordem de 14,93 vezes. 
5. Se por projeto for estabelecida uma tolerância de 4% em termos 
de deformação linear, só a região compreendida entre os 
meridianos de 15º N e 15º S terá a sua área mapeada por esta 
projeção. 
Teorema de Tissot 
Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot 
Uma circunferência na superfície da esfera, infinitamente pequena, 
quando é transformada para o plano da projeção, sofre deformação 
e assume a forma elíptica. Esta elipse recebe o nome de Elipse das 
Distorções ou Indicatriz de Tissot. 
Teorema de Tissot 
Sobre qualquer ponto de uma projeção existem duas direções 
perpendiculares entre si, que ao serem transformadas, embora 
existindo deformação angular, permanecem perpendiculares entre 
si. 
Teorema de Tissot 
As direções I e II são conhecidas como direções principais e é sobre elas que 
ocorrem as deformações máxima e mínima (a e b). 
Na esfera os paralelos se cruzam num ângulo de 90º, porém esse valor é alterado 
pela distorção. 
Pode-se demonstrar que: 
 
 
onde ’ é o ângulo reto na superfície da 
esfera modelo após ser deformado 
Fator de deformação máximo (a) e mínimo (b) 
As seguintes relações podem ser deduzidas a partir do conceito de 
elipse das distorções: 
Fator de deformação de área (p) 
Fator de deformação angular máximo () 
Logo... 
Secantes 
Tangentes 
Propriedades especiais das projeções 
Observa-se que ao longo do 
Equador e do meridiano de 
Grrenwich as Indicatrizes de 
Tissot são circunferências 
de mesmo tamanho, o que 
indica que estas linhas são 
linhas de distorção zero. 
Fora delas observa-se um 
estiramento na medida em 
que se aproxima do Pólo 
Norte. 
A figura mostra as deformações sofridas 
pela Projeção Sinusoidal ou Projeção de 
Sansom-Flamsteed. Esta projeção 
classificada como equivalente pertence 
às pseudocilíndricas. 
Análise de uma projeção 
sob a ótica da Teoria das 
Distorções 
• As projeções são classificadas quanto às propriedades em 
conformes, equidistantes, equivalentes e afiláticas. 
 
• Dependendo da formulação (lei da projeção) mesmo a 
propriedade sendo igual, não se tem o mesmo resultado. 
 
• É necessário se fazer um estudo sob a luz da teoria das distorções 
antes de se optar por esta ou aquela projeção. 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
• A formulação desta projeção (lei de projeção) é a seguinte: 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
Exemplo - Projeção Cilíndrica Conforme de 
Mercator 
1. Observa-se que as deformações crescem na direção dos pólos, 
tendendo para o infinito. 
2. Isso acontece porque esta projeção não é definida para latitude de 
90º. 
3. A deformação angular máxima é igual a Zero, o que era de se 
esperar, uma vez que a projeção é conforme e os ângulos, neste 
caso, são preservados. 
4. Nota-se ainda, que uma área localizada na latitude de 75º, sofre 
uma ampliação da ordem de 14,93 vezes. 
5. Se por projeto for estabelecida uma tolerância de 4% em termos 
de deformação linear, só a região compreendida entre os 
meridianos de 15º N e 15º S terá a sua área mapeada por esta 
projeção. 
Exercício – Fazer a análise das tabelas de 
deformação 
Exercício – Fazer a análise das tabelas de 
deformação 
Exercício – Fazer a análise das tabelas de 
deformação