resolução Munem 1

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Capítulo 1 
Conjunto de Problemas 1 
Nos problemas 1 a 6, determine o limite e trace o gráfico de cada função para 
ilustrar o limite envolvido. 
 
1 ) 
4
lim
x
 
)(xf
= 3 * x 
4
lim
x
)(xf
= 3 * 2 
4
lim
x
)(xf
= 6 
 
2 ) 
1
lim
x
(3x – 26) 
)(xf
= (3x – 6) 
 
 
1
lim
x
)(xf
= 3 * 1 – 6 
1
lim
x
)(xf
= - 3 
 
3 ) 
2
lim
x
(2 – 3x) 
)(xf
= 2 – 3x 
 
2
lim
x
)(xf
= 2 – 3(-2) 
2
lim
x
)(xf
= 8 
 
4 ) 
5
lim
x x
2
 
)(xf
= 
x
2
 
 
5
lim
x
)(xf
= 
5
2
 
 
5 ) 
2/1
lim
x
x21
 
)(xf
= 
x21
 
2/1
lim
x
)(xf
= 
2/1*21 x
 
 
2/1
lim
x
)(xf
= 0 
 
6 ) 
3
lim
x 3
9²


x
x
 
)(xf
= 
3
9²


x
x
 
3
lim
x
)(xf
= 
33
9²3


 
3
lim
x
)(xf
= 
0
0
 Forma indeterminada 
 
Fazendo 
)3(
)3)(3(
)(



x
xx
xf
 
)(xf
= x+3 
3
lim
x
)(xf
= 3 + 3 
3
lim
x
)(xf
= 6 
 
 
Nos problemas 7 a 12, determine cada limite. (Tente simplificar fatorando e 
cancelando se possível). 
 
7 ) 
2
lim
x
 
2
65²


x
xx
 
)(xf
= 
2
65²


x
xx
 
 
x² - 5x + 6 = 0 

= 25 – 24 
 
= 1 
x’= 
2
15 
 x’= 3 
x”= 
2
15 
 x”= 2 
 
)(xf
= 
2
)2)(3(


x
xx
 
)(xf
= x – 3 
 
2
lim
x
)(xf
= 2 – 3 
2
lim
x
)(xf
= - 1 
 
 
8 ) 
0
lim
t
 
5
12²


t
tt
 
5
12²
)(



t
tt
tf
 
0
lim
t
)(tf
= 
50
100


 
 
0
lim
t
 
)(tf
= 
5
1
 
 
9 ) 
1
lim
x
 
1²
1³


x
x
 
)(xf
= 
1²
1³


x
x
 
 
1
lim
x
)(xf
= 
1²1
1³1


 
1
lim
x
)(xf
= 
0
0
 
 
Se para x= 1 , x³ - 1= 0 e x² - 1= 0, 1 é raiz das duas funções 
)(xg
= x³ - 1 , e 
)(xh
= x² - 1 , onde 
)(xf
= 
)(
)(
xh
xg
. Logo, 
)(xg
 e 
)(xh
 pode ser divididos por 
(x – 1). 
 
Pelo dispositivo prático de Briot-Rufinni: 
x³ - 1 x - 1 
-x³ - x² x² + x +1 
x² - 1 
-x² + x 
x – 1 
-x +1 
0 
 
Assim 
)(xg
= (x³ - 1) 
)(xg
= (x – 1)(x² + x +1) e 
)(xh
= x² - 1 
)(xh
= (x – 1)(x + 1) 
 
)(xf
= 
)(
)(
xh
xg
 
)(xf
= 
)1)(1(
)1²)(1(


xx
xxx
 
)(xf
= 
1
1²


x
xx
 
 
1
lim
x
)(xf
= 
11
11²1


 
1
lim
x
)(xf
= 
2
3
 
 
10 ) 
2
lim
x
 
2
4²


x
x
 
)(xf
= 
2
4²


x
x
 
x² - 4 é o produto da soma pela diferença. Extraindo as raízes dos extremos. 
  4²4²  xx
= (x + 2)(x – 2) 
)(xf
= 
2
)2)(2²(


x
xx
 
)(xf
= x – 2 
2
lim
x
)(xf
= - 2 – 2 
2
lim
x
)(xf
= - 4 
 
11 ) 
1
lim
x
 
1
12²


x
xx
 
)(xf
= 
1
12²


x
xx
 
X² - 2x + 1 é o quadrado da diferença. Extraindo as raízes dos extremos. 
 21² x
= (x – 1)² 
)(xf
= 
1
)²1(


x
x
 
)(xf
= x – 1 
1
lim
x
)(xf
= 1 – 1 
1
lim
x
)(xf
= 0 
 
12 ) 
3
lim
x
 
3
32²


x
xx
 
)(xf
= 
3
32²


x
xx
 Determinando as raízes de x² 
 
x² - 2x – 3 
x² - 2x – 3= 0 

= 4 + 12 
 
= 16 
x’= 
2
42 
 x’= 3 
x”= 
2
42 
 x”= - 1 
 
Conjunto de Problemas 3 
 
Nos problemas 1 e 2, represente o ponto M no plano cartesiano e dê as 
coordenadas N, R e S tal que: 
a ) o segmento de reta 
NM
é perpendicular ao eixo x e dividido ao meio por 
este. 
b ) o segmento de reta 
RM
é perpendicular ao eixo y e é dividido ao meio por 
este. 
c ) o segmento de reta 
SM
é dividido ao meio pela origem. 
 
 1 ) M = (3,2) 
Se 
NM
é perpendicular ao eixo x, então as coordenadas x de M e N são as 
mesmas. E se x divide 
NM
ao meio, a distância de M ao eixo x é igual a 
distância de N ao eixo x. Logo, N (3,-2). 
Se 
RM
é perpendicular ao eixo t, então as coordenadas y de M e R são iguais. 
E se y divide 
RM
ao meio, a distância de M ao eixo y é igual a distância de N 
ao eixo y. Logo, R (-3,2). 
Se 
SM
é dividido ao meio pela origem, então como M está no 1º quadrante, S 
está no 3º quadrante e logo, sua abscissa e ordenada são simétricos a M em 
relação à origem. Logo, S (-3,-2). 
 
 
2 ) 
 
Nos problemas 3 a 7, ache a distância entre os dois pontos dados. 
3 ) A = (-3,-4) e B = (-5,-7) 
d
AB
= 
)]²4(7[)]²3(5[ 
 
d
AB
= 
)²3()²2( 
 
d
AB
= 
94 
 
d
AB
= 
13
 
Teorema de pitágoras 
 
 
4 ) C = (-1,7) e D = (2,11) 
d
DC
= 
]²711[)]²1(2[ 
 
d
DC
= 
169 
 
d
DC
= 
25
 
d
DC
= 5 
 
5 ) E = (7,-1) e F = (7,3) 
d
EF
= 
)]²1(3[]²77[ 
 
d
EF
= 
²4²0 
 
d
EF
= 
²4
 
d
EF
= 4 
 
6 ) G = (0,4) e H = (-4,0) 
d
GH
= 
]²40[]²04[ 
 
d
GH
= 
1616
 
d
GH
= 
32
 
d
GH
= 4
2
 
 
7 ) I = (0,0) e J = (-8,-6) 
d
IJ
= 
]²06[]²08[ 
 
d
IJ
= 
3664
 
d
IJ
= 
100
 
d
IJ
= 10 
 
8 ) Verifique a validade da fórmula da distância para o caso em que um ponto 
está no 3º e outro no 2º quadrante. 
Fazendo: A= (-1,1) (A pertence ao 2º quadrante) 
 B= (-4,-3) (B pertence ao 3º quadrante) 
d
AB
= 
]²13[)]²1(4[ 
 
d
AB
= 
]²4[]²3[ 
 
d
AB
= 
169 
 
d
AB
= 
25
 
d
AB
= 5 
 
 
Nos problemas 9 até 12, utilize a fórmula da distância e a aplicação do 
Teorema de Pitágoras para mostrar que o triângulo com os vértices dados é 
um triângulo retângulo. 
9 ) A= (1,-1) , B= (5,1) e C= (5,7) 
Verificando as distâncias: 
d
 AB
= 
]²11[]²15[ 
 d
 AB
= 
²0²4 
 d
 AB
= 4 
d
 AC
=
]²17[]²15[ 
 d
 AC
=
²6²4 
 d
 AC
=
3616
 d
 AC
=
52
 
d
 BC
= 
]²17[]²55[ 
 d
 BC
= 
²6²0 
 d
 BC
= 
36
 d
 BC
= 6 
Sendo 
AC
a maior medida, A e C são vértices da hipotenusa. Pelo Teorema de 
Pitágoras: 
d
 AC
² = d
 AB
² + d
 BC
² 
 52
² = 4² + 6² 52 = 16 +36 52 = 52 
Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo. 
 
10 ) D= (0,0) , E= (-3,3) e F= (2,2) 
Verificando as distâncias: 
d
 DE
= 
]²03[]²03[ 
 d
 DE
= 
99 
 d
 DE
= 3
2
 
d
 DF
= 
]²02[]²02[ 
 d
 DF
= 
44
 d
 DF
= 2
2
 
d
 EF
= 
]²32[)]²3(2[ 
 d
 EF
= 
]²1[]²5[ 
 d
 EF
= 
26
 
Sendo d
 EF
 a maior medida, E e F são vértices da hipotenusa. Pelo Teorema 
de Pitágoras: 
d
 EF
² = d
 DE
² + d
 DF
² 
 26
² = 
 23
² + 
 22
² 26 = 18 + 8 26 = 26 
Trata-se de um triânguloretângulo. 
 
11 ) G= (-1,-2) , H= (3,-2) e I= (-1,-7) 
d
 GH
= 
)]²2(2[)]²1(3[ 
 
d
 GH
= 
016
 d
 GH
= 4 
d
 GI
= 
)]²2(1[)]²1(1[ 
 
d
 GI
= 
)]²5(0 
 d
 GI
= 
25
 d
 GI
= 5 
d
 HI
= 
)]²2(7[]²31[ 
 d
 HI
= 
]²5[]²4[ 
 
d
 HI
= 
2516
 d
 HI
= 
41
 
Sendo d
 HI
 a maior medida, est é a hipotenusa. Ficando: 
d
 HI
² = d
 GI
² + d
 GH
² 
 41
² = 
 5
² + 
 4
² 41 = 25 + 16 41 = 41 
Os pontos G, H e I formam um triângulo retângulo. 
 
12 ) J= (-4,-4) , K= (0,0) e L= (5,-5) 
d
 JK
= 
)]²4(0[)]²4(0[ 
 d
 JK
= 
]²4[]²4[ 
 
d
 JK
= 
1616
 d
 JK
= 4
2
 
d
 JL
= 
)]²4(5[)]²4(5[ 
 d
 JL
= 
]²1[]²9[ 
 
d
 JL
= 
181
 d
 JL
= 
82
 
d
 KL
= 
]²05[]²05[ 
 d
 KL
= 
2525
 d
 KL
= 5
2
 
Como d
 JL
 é a maior das medidas, esta é a hipotenusa. Pelo Teorema de 
Pitágoras: 
d
 JL
= d
 JK
² + d
 KL
² 
 82
²= 
 24
² + 
 25
² 82 = 32 + 50 82 = 82 
Trata-se de um triângulo retângulo. 
 
13 ) Mostre que a distância entre os pontos (x1 ; y1) e (x2 ; y2) é igual à distância 
entre o ponto (x1-x2 ; y1-y2) e a origem. Fazendo A = (x1 ; y2) , B = ( x2 ; y2) e C = 
(x1-x2 ; y1-y2). 
D = (0;0) (origem) 
d
 AB
= 
)²()²( 1212 yyxx 
 
d
 CD
= 
)]²(0[)]²(0[ 2121 yyxx 
 
d
 CD
= 
]²[]²[ 2121 yyxx 
 d
 CD
= 
]²[]²[ 1212 yyxx 
 
Logo, d
 AB
 = d
 CD
. 
 
14 ) Se P1, P2 e P3 são três pontos no plano, então P2 pertence ao segmento de 
reta estabelecido por P1 e P3, se, e somente se, 
31PP
= 
21PP
 + 
32PP
. Ilustre 
geometricamente este fato com diagramas. 
 
 
Nos problemas 15 a 17, determine se P2 pertencerá ao segmento de reta 
estabelecido por P1 e P3, verificando se 
31PP
= 
21PP
 + 
32PP
. 
15 ) P1= (1;2) , P2= (0;5/2) e P3= (-1;3) 
31PP
= 
]²23[]²11[ 
 
31PP
= 
]²1[]²2[ 
 
31PP
= 
5
 
21PP
= 
]²22/5[]²10[ 
 
21PP
= 2
2
45
]²1[ 




 

 
21PP
= 
4
1
1
 
21PP
= 
4
5
 
21PP
= 
2
5
 
32PP
= 2
2
5
3]²01[ 






 
32PP
= 2
2
56
]²1[ 




 

 
32PP
= 
4
1
1
 
32PP
= 
4
5
 
32PP
= 
2
5 
31PP
= 
21PP
 + 
32PP
 
5
= 
2
5 + 
2
5 5 = 5 
Logo, P2
31PP
. 
 
16 ) P1 = (-7/2;0) , P2= (-1;5) e P3= (2;11) 
31PP
= 
]²011[)]²2/7(2[ 
 
31PP
= 
)²11()²2/74( 
 
31PP
= 
1214/121 
 
31PP
= 
5
2
11
 
21PP
= 
]²05[)]²2/7(1[ 
 
21PP
= 
²5]²2/5[ 
 
21PP
= 
254/25 
 
21PP
= 
5
2
5
 
32PP
= 
]²511[)]²1(2[ 
 
32PP
= 
²6²3 
 
32PP
= 
25
 
32PP
= 5 
31PP
= 
21PP
 + 
32PP
 
5
2
11
= 
5
2
5
 + 5 
5
2
11
 - 
5
2
5
 = 5 3
5
= 5 
Como a condição 
31PP
= 
21PP
 + 
32PP
, não foi satisfeita, P2
31PP
. 
 
17 ) P1 = (2;3 , P2= (3;-3) e P3= (-1;-1) 
31PP
= 
]²31[]²21[ 
 
31PP
= 
)²4()²3( 
 
31PP
= 
169 
 
31PP
= 
25
 
31PP
= 5 
21PP
= 
]²33[]²23[ 
 
21PP
= 
)²6(²1 
 
21PP
= 
37
 
32PP
= 
)]²3(1[]²31[ 
 
32PP
= 
]²2[]²4[ 
 
32PP
= 
416
 
32PP
= 
20
 
32PP
= 2
5
 
31PP
= 
21PP
 + 
32PP
 5 = 
37
+ 2
5
 
Como a igualdade não foi satisfeita, P2  
31PP
. 
 
Nos problemas 18 a 19, use a fórmula da distância para determinar se o 
triângulo ABC é ou não isósceles. 
18 ) A= (-5;1) , B= (-6;5) e C= (-2;4) 
Para que o triângulo formado pelos pontos A, B e C seja isósceles , pelo menos 
duas das medidas dos lados deste triângulo devem ser iguais. Calculando as 
medidas: 
d
 AB
= 
]²15[)]²5(6[ 
 d
 AB
= 
]²4[]²1[ 
 
d
 AB
= 
161
 d
 AB
= 
17
 
d
 AC
= 
]²14[)]²5(2[ 
 d
 AC
= 
]²3[]²3[ 
 
d
 AC
= 
99 
 d
 AC
= 3
2
 
d
 BC
= 
]²54[)]²6(2[ 
 d
 BC
= 
]²1[]²4[ 
 
d
 BC
= 
116
 d
 BC
= 
17
 
Como 
AB
= 
BC
, o triângulo ABC é isósceles. 
 
19 ) A= (6;-13) , B= (8;-2) e C= (21;-5) 
Seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior. 
d
 AB
= 
)]²13(2[]²68[ 
 d
 AB
= 
]²11[]²2[ 
 
d
 AB
= 
1214
 d
 AB
= 
125
 d
 AB
= 5
5
 
d
 AC
= 
)]²13(5[]²621[ 
 d
 AC
= 
]²8[]²15[ 
 
d
 AC
= 
64225
 d
 AC
= 
289
 d
 AC
= 17 
d
 BC
= 
)]²2(5[]²821[ 
 d
 BC
= 
]²3[]²13[ 
 
d
 BC
= 
9169
 d
 BC
= 
178
 
Como, 
AB  BC  CA
, o triângulo ABC não é isósceles. 
Obs: Todo triângulo equilátero é isósceles. 
 
20 ) O ponto P= (x;y) pertence à reta passando por P1= (-3;5) e P2= (-1;2) e P 
satisfaz 
1PP
= 4
21PP
. Utilize a fórmula da distância para achar as coordenadas 
de P. (Há duas soluções) 
Fazendo 
1PP
, 
 1PP
= 
]²5[5]²3[ yx 
 
E 4
21PP
, 
4
21PP
= 4
]²52[)]²3(1[ 
 4
21PP
= 4
]²3[]²2[ 
 
4
21PP
= 4
94 
 4
21PP
= 
)94(16 
 4
21PP
= 
14464
 
Igualando 
1PP
 a 4
21PP
 
]²5[5]²3[ yx 
 = 
14464
 
Comparando, teremos: 
(3-x)² = 64 3-x = 


64
 3-x = 


8 x= 3


8 x’= 11 e x”= -5 
(5-y)² = 144 5-y = 


144
 5-y = 


12 y= 5


12 y’= 17 e y”= -7 
 
Conjunto de Problemas 4 
Nos problemas de 1 a 6, determine a inclinação da reta que contém os dois 
pontos dados: 
Sendo a inclinação dada pela razão entre a variação de y sobre a variação de 
x: m= 
12
12
xx
yy


 
1 ) (6;2) e (3;7) 
m= 
36
72


 m= -
3
5
 
2 ) (3;-2) e (5;-6) 
m= 
53
)6(2


 m= 
2
4

 m= - 2 
3 ) (14;7) e (2;1) 
m= 
214
17


 m= 
12
6
 m= 
2
1
 
4 ) (2;2) e (-4;-1) 
m= 
)4(2
)1(2


 m= 
6
3
 m= 
2
1
 
 
 
5 ) (-5;3) e (6;8) 
m= 
65
83


 m= 
11
5


 m= 
11
5
 
6 ) (1;3) e (-1;-1) 
m= 
)1(1
)1(3


 m= 
2
4
 m= 2 
 
Nos problemas de 7 a 10, determine a equação da reta com coeficiente angular 
m e contendo (x1;y1). Esboce os gráficos das retas. 
7 ) m= 2 e (x1;y1)= (5;4) 
• Considerando um ponto genérico (x;y) e calculando m a partir de (x;y). 
Teremos m= 
1
1
xx
yy


. 
2= 
5
4


x
y
 y-4= 2 (x-5) y= 2x – 10 + 4 y= 2x – 6 
 
8 ) m= -4 e (x1;y1)= (6;1) 
-4= 
6
1


x
y
 y-1= -4 (x-6) y= -4x + 25 + 1 y= -4x + 26 
 
9 ) m= 
4
1
 e (x1;y1)= (3;2) 
4
1
= 
3
2


x
y
 y-2= 
4
3x
 y= 
4
3x
+ 2 y= 
4
83 x
 y= 
4
5x
 
 
 
10) m= 0 e (x1;y1)= (-5;-1) 
0= 
)5(
)1(

x
y
 0= 
5
1


x
y
 y +1= 0 y= -1 
Nos problemas de 11 a 13, determine o coeficiente angular da reta que passa 
pelos dois pontos dados e a equação da reta sob a forma para este coeficiente 
angular. Esboce o gráfico. 
11 ) (x1;y1)= (3;-5) e (x2;y2)= (6;8) 
m= 
36
)5(8


 m= 
3
13
 
[ y- (-5)]= 
3
13
 (x-3) y + 5= 
3
13
(x - 3) 
 
12 ) (x1;y1)= (7;11) e (x2;y2)= (-1;1) 
m= 
71
111


 m= 
8
10


 m= 
2
5
 
(y – 11)= 
2
5
(x - 7) 
 
13 ) (x1;y1)= (3;2) e (x2;y2)= (4;8) 
m= 
34
28


 m= 6 
(y - 2) = 6 (x – 3) 
 
14 ) Mostre que x1  x2, a equação da reta contendo os dois pontos (x1;y1) e 
(x2;y2) é 
y= 
12
12
xx
yy


x + 
12
2112
xx
yxyx


 
Sendo y= ax +b, a equação reduzida da reta, onde a é o coeficiente angular, a= 
12
12
xx
yy


, e b é o coeficiente linear b. 
Então, y= 








12
12
xx
yy x + b 
Atribuindo um valor arbitrário, P1= (x1;y1): 
Y1= 








12
12
xx
yy x1 + b y1 (x2 - x1)= x1(y2 - y1) + b(x2 - x1) 
y1x2 – y1x1 – x1(y2 – y1)= b(x2 – x1) y1x2 – y1x1 – x1y2 + x1y1 = b(x2 – x1) 
b= 
12
2121
xx
yxxy


 
Ficando a equação da reta: 
y= 
12
12
xx
yy


 x + 
12
2112
xx
yxyx


 
 
15 ) Uma agência de publicidade afirma que as vendas de uma loja de móveis 
aumentarão em R$20,00 por mês por real adicional gasto em publicidade. A 
venda média mensal é de R$140.000,00 com uma despesa de R$100,00 por 
mês para publicidade. Determine a equação que descreve a venda média 
mensal “y” em relação ao total gasto “x” em publicidade. Determine o valor de y 
se o gerente da loja decide gastar R$400,00 por mês em publicidade. 
Se para cada R$100,00 gasto em publicidade, tem-se um aumento de R$20,00 
nas vendas.Se foram gastos R$100,00 em publicidade, este gasto rendeu 
20x100= R$2.000,00 com uma venda média mensal de R$ 140.000,00, sem 
investimento em publicidade o valor das vendas seria R$140.000,00 – 
R$2.000,00= R$138.000,00. Esta é a média de venda sem publicidade. 
Então, a venda média mensal com publicidade, Y, é dada pelo valor gasto em 
publicidade, X, vezes R$20,00 adicionado à média mensal de R$138.000,00 
y= x * 20 + 138.000,00 
Se foram gastos R$400,00 em publicidade: 
y= 400 * 20 + 138.000 
y= 8.000 + 138.000 
y= 146.000,00 
A venda média é de R$146.000,00. 
 
16 ) Prove que (
2
21 xx 
 ; 
2
21 yy 
) é o ponto médio do segmento de reta entre 
(x1;y1) e (x2;y2). 
Fazendo A= (x1;y1) ; B= (x2;y2) e C= (
2
21 xx 
;
2
21 yy 
). 
Se C é o ponto médio de 
AB , AC está contido em AB e d  AC = d  CB 
d
 AC = )²2/()²2/( 121121 yyyxxx  
d
 AC
= 
)²2/2()²2/2( 121121 yyyxxx 
 
d
 AC
= 
)2/()²2/( 1212 yyxx 
 
d
 CB
= 
)]²2/([)]²2/([ 212212 yyyxxx 
 
d
 CB
= 
)²2/2()²2/2( 212212 yyyxxx 
 
d
 CB
= 
)2/()²2/( 1212 yyxx 
 
Logo, d
 CB
 = d
 AC
, e C é o ponto médio de 
AB
. 
 
17 ) Use o resultado do problema 16 para determinar o ponto médio dos 
segmentos de reta entre dois pontos dados. 
a ) (8 ; 1) e (7 ; 3) 
Pméd= 





 
2
31
;
2
78
 Pméd= (7,5 ; 2) 
b ) (9 ; 3) e (-5 ; 7) 
Pméd= 





 
2
73
;
2
59
 Pméd= (2 ; 5) 
c ) (-1 ; 1) e (5 ; 3) 
Pméd= 





 
2
31
;
2
51
 Pméd= (2 ; 2) 
d ) (1 ; -3) e (5 ; 8) 
Pméd= 





 
2
83
;
2
51
 Pméd= (3 ; 2,5) 
 
18 ) Se o ponto A= (tx1 + (1 – t)x2 ; ty1 + (1 – t)y2) pertence a reta r definida 
pelos pontos B= (x1 ; y1) e C= (x2 ; y2), A é regido pela equação da reta r. 
Determinando a equação da reta r, conforme já visto no exercício nº 14, temos: 
y= 
12
2112
12
12
xx
yxyx
x
xx
yy





 
 
19 ) Como a reta corta o eixo x quando t vale 0. A chamada de raiz da 
equação. Portanto, teremos: 
a ) 3x – 2y= 6 
3x – 2(0) = 6 
x= 
3
6
 x= 2 
b ) y= 3x + 9 0= 3x + 9 3x= -9 x= -
3
9
 
c ) y= 
3
2
x – 1 
3
2
x = 1 x= 1* 
2
3
 x= 
2
3
 
d ) y= mx + b (m

 0) 
0= mx + b mx= -b x= -
m
b
 
 
20 ) Se a é a abscissa à origem, este ponto é dado por P1= (a ; 0) e se a 
ordenada à origem é dada por b, este ponto é dado por P2= (0 ; b). 
Determinando a equação da reta com P1 e P2. 
y= 
a
ba
x
a
b





0
*0*0
0
0
 
y= 
a
ab
a
bx





 y= 
b
a
bx


 
y + 
a
bx
= b dividindo ambos os lados por b 
b
b
ba
bx
y
1
*
1
* 






 
1
a
x
b
y
 
b ) Fazendo P1= (3 ; 0) e P2= (0 ; 8). Como em P1 y= 0, P1 é a abscissa à 
origem. Então, P1= (a ; 0), onde a= 3. E em P2 x= 0, P2 é a ordenada à origem. 
Então, P2= (0 ; b), onde b= 8. 
Substituindo em 
1
b
y
a
x
 
1
83

xx
 equação segmentar 
Para que duas retas sejam concorrentes, seus coeficientes angulares devem 
ser diferentes (m1 m2), uma vez que é o coeficiente angular quem define o 
ângulo de inclinação de uma reta. Desta forma, se os ângulos de inclinação de 
duas retas têm os mesmos valores, estes retas não se interceptam, portanto, 
são paralelas. Porém, se 
Capítulo 2 
Conjunto de Problemas 2 
Nos problemas de 1 a 6, calcule 
)(' xf
diretamente de definição de derivada. 
Sendo a função dada por 
)(xf
, 
)(' xf
 sendo sua derivada, 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xfxxf )()(
 
 
1 ) 
)(xf
= x² + 4x 
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxx ]4²[)(4)²(
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxxxx 4²44²2²
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxx 42²
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxx )42(
 
)(' xf
= 
0
lim
x
 42  xx
 
)(' xf
= 0 + 2x + 4 
)(' xf
= 2x + 4 
 
2 ) 
)(xf
= (2x³ - 1) 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxx )1³2(1)³(2
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxxx )1³21³)²3²3³(2
 
)(' xf
=
0
lim
x 






x
xxxxxxx ³2³2²6²6³2
 
)(' xf
=
0
lim
x 






x
xxxxx ²2²6²6(
 
)(' xf
=
0
lim
x
 ²2²6²6 xxxx 
 
)(' xf
= 6x² + 6x*0 + 2*0² 
)(' xf
= 6x² 
 
3 ) 
)(xf
= 2x³ - 4x 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxx )4³2()(4)³(2
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxxxxxx )4³244³)²3²3³(2
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxxxxxx 4³244³2²6²6³2
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxx 4²2²6²6(
 
)(' xf
= 
0
lim
x
 4²26²6  xxxx
 
)(' xf
= 6x² + 6x*0 + 2*0² - 4 
)(' xf
= 6x² - 4 
4 ) 
)(xf
= 
2
3
2
² xx

 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxx 2/)3²(2/)(3)²(
 
)(' xf
= 
0
lim
x 





x
xxxxxxxx
2
3²33²2²
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxx
2
32(
 
)(' xf
= 
0
lim
x 



 
2
32 xx
 
)(' xf
= 
2
302 x
 
)(' xf
= x + 
2
3
 
 
5 ) 
)(xf
= 
x
2
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxx /2/2
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxx /)(22
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






)1(
222
xxx
xxx
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






)
2
xx
 
)(' xf
= 
0
2


x
 
)(' xf
= 
x
2
 
 
6 ) 
)(xf
= 
3
7


x
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxx )3/7(3)/(7
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






x
xxxxxx )3)(3/()31(7)3/(7
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






)3)(3(
2177217
xxxx
xxx
 
)(' xf
= 
0
lim
x 






)3)(3(
7
xxxx
x
 
)(' xf
= 
0
lim
x 




 )3)(3(
7
xxx
 
)(' xf
= 
)3)(30(
7
 xx
 
)(' xf
= 
)3)(3(
7
 xx
 
)(' xf
= 
)²3(
7
x
 
 
Nos problemas de 7 a 12, calcule a derivada pedida diretamente da definição. 
7 ) S= 
1
3
t
 , 
dt
ds
= ? 
dt
ds
= 
0
lim
t
 








t
ttt 1/31)/(3
 
dt
ds
= 
0
lim
t 






t
tttttt )1)(1/()1(3)1(3
 
dt
ds
= 
0
lim
t 






)1)(1(
33333
tttt
ttt
 
dt
ds
= 
0
lim
t 






)1)(1(
3
tttt
t
 
dt
ds
= 
0
lim
t 






)1)(1(
3
ttt
 
dt
ds
= 
)1)(10(
3


tt
 
dt
ds
= 
)1)(1(
3


tt
 
dt
ds
= 
)²1(
3


t
 
 
8 ) S= 
1t
t
 , DtS= ? 
DtS= 
0
lim
t 






t
tttttt 1/1)/()(
 
DtS= 
0
lim
t 






t
ttttttttt )1)(1/()1()1)((
 
DtS= 
0
lim
t 






)1)(1(
²)1(²
tttt
tttttttt
 
DtS= 
0
lim
t 






)1)(1(
)1(
tttt
ttt
 
DtS= 
0
lim
t 




 )1)(11(
1
ttt
 
DtS= 
)1)(10(
1
 tt
 DtS= 
)²1(
1
t
 
9 ) 
 vf
= 
1v
 , 
 vf '
= ? 
 vf '
= 
0
lim
v 









v
vvv 11)( 
Neste ponto, temos a necessidade de descrevermos uma forma mais ampla 
para o cálculo da derivada. Considerando: 
 xf
= x 
R
 
Usando algumas propriedades de logarítmos, 
 xf
= 
ce log
x

 (lembrando que alog a b= b e que logeb= 
 xf
= 
e
α/nx (lembrando que logab
c= c logab) 
Fazendo α/nx= t, temos que: 
 tf
= et 
)(' tf
= et (mais adiante tal definição será justificada) 
t= α/nx t’= α*
x
1
 (se g(x)= /nx , g’(x)= 
x
1
, também será justificado) 
f’(x)= 
)(' xf
*
)(' tf
 
 
10 ) 
 
11 ) y= 
1
2
x
 ; Dxy= ? 
Dxy= 
0
lim
x 






x
xxx /21)/(2
 
Dxy= 
0
lim
x 






x
xxxxxx )()1/()1(2)(2
 
Dxy= 
0
lim
x 






))(1(
22222
xxxx
xxx
 
Dxy= 
0
lim
x 






))(1(
2
xxxx
x
 
Dxy= 
0
lim
x  






))(1
2
xxx
 
Dxy= 
xx )10(
2


 
Dxy= 
xx )1(
2


 
 
Nos problemas 13 a 16, calcule 
)(' 1xf
para o valor dado de x1 pelo cálculo 
direto do 
0
lim
x 






x
xfxxf )()( 11
 
)(' 1xf
= 
0
lim
x 






x
xfxxf )()( 11
 
 
13 ) 
)(xf
= 1 – 2x² ; x1= -1 
)1(' f
= 
0
lim
x 






x
x )²1(21()²1(21
 
)1(' f
= 
0
lim
x 






x
xx 21)12²(21
 
)1(' f
= 
0
lim
x 






x
xx 12)14²21
 
)1(' f
= 
0
lim
x 






x
xx )42(
 
)1(' f
= 
0
lim
x
 42  x
 
)1(' f
= 4 
 
14 ) 
)(xf
= 7x³ ; x1= -2 
)2(' f
= 
0
lim
x 






x
x )³2(7)³2(7
 
)2(' f
= 
0
lim
x 






x
xxx 56³)2²232*²3³(7
 
)2(' f
= 
0
lim
x 






x
xxx 565684²42³7
 
)2(' f
= 
0
lim
x 






x
xxx 8442²7(
 
)2(' f
= 
0
lim
x
 8442²7  xx
 
)2(' f
= 84 
 
15 ) 
)(xf
= 
12
7
x
 ; x1= 3 
)3('f
= 
0
lim
x 






x
x 1)3(2/71)3(2/7
 
)3('f
= 
0
lim
x 






x
x 5/7152/7
 
)3('f
= 
0
lim
x 






xx
x
)52(5
)52(75*7
 
)3('f
= 
0
lim
x 






xx
x
)2510(
351435
 
)3('f
= 
0
lim
x 






)3510(
14
xx
x
 
)3('f
= 
0
lim
x 






3510
14
x
 
)3('f
= 
35
14
 
)3('f
= 
5
2
 
 
Conjunto de Problemas 3 
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para 
diferenciação. 
1) 
1³3)( 5  xxxf
 
 
1²95)(' 4  xxxf
 
 
2) 
46 9
6
5
)( xxxf 
 
 
³365)('³4.96.
6
5
)(' 55 xxxfxxxf 
 
 
3) 
6
52
)(
510

xx
xf
 
 
5
6
5)('
5
6
2
10)('
5
10
510 x
xxf
xx
xf 
 
 
4) 
1
3
³
4
)(
4

xx
xf
 
 
³0
3
³3
4
4
)(' 4
4
xx
xx
xf 
 
 
5) 
132)( 78  ttttf
 
 
3148)('032.78)(' 6767  tttftttf
 
 
6) 
177²3)(  tttf
 
 
76)('073.2)('  ttfttf
 
 
7) 
xx
xf
4
²
3
)( 
 
 
2312 4.13.2)('43)('   xxxfxxxf
 
 
²
4
³
6
)('
xx
xf 


 
 
8) 
1
²2
1
³3
1
)( 
tt
tf
 
 
0
2
2
3
3
)('1
2
1
3
1
)('
34
23 



 tttftttf
 
 
³
11
)('
4 tt
tf 


 
 
9) 
yy
yf
255
)(
5

 
 
²
2525
)('255.5)('2555)('
6
261
yy
yfyyyfyyyf 

 
 
 
10) 
²
31
)(
uu
uf 
 
 
³
6
²
1
63)( 3221
uudu
df
uu
du
df
uuuf 

 
 
 
11) 
673)( 12   xxxg
 
 
²
7
³
2
072 23
xxdx
dg
xx
dx
dg


 
 
 
12) 
11
2
1
3
1
)( 23   xxxG
 
 
44
34 130
2
1
2
3
1
3
xx
GDxxGD xx 













 
 
 
13) 
³3
22
²5
2
²3
2
5
2
)(
xx
fD
xx
xf x 


 
 
14) 
 xxxf  ³3)(
 
 
 
3²33.3³.3)(  x
dx
df
xxxf
 
 
15) 
 1³3²)(  xxxF
 
 
xxdx
df
xxxF 215²3)( 45 
 
 
16) 
  5³21²)(  xxxf
 
 
     0²61²5³502)('  xxxxxf
 
 
xxxxfxxxxxf 10²610)('²66104)(' 444 
 
 
17) 
  9³3²)(  xxxxG
 
 
     0²33²9³32  xxxxxGDx
 
 
³9327³3182 44 xxxxxGDx 
 
 
2718³125 4  xxxGDx
 
 
18) 
  4³3²3)(  xxxxg
 
 
     0²9²34³323  xxxxx
dx
dg
 
 
128³54159³278612³27 444  xxx
dx
dg
xxxxx
dx
dg
 
 
19) 
  7²412)(  yyyf
 
 
    yyyyyf 8127²42)(' 
 
 
yyyyfyyyyyf 6²16³8)('8²1614³8)(' 
 
 
 
20) 
 ²7²6)(  ttf
 
 Regra da cadeia 
 
       tttftttf 1214²12'0127²62)(' 
 
 
tttf 168³144)(' 
 
 
21) 
  





 1
2
8³)(
x
xxf
 
 
    













 0
²
2
8³1
2
²3)('
x
x
x
xxf
 
 
²
16
4²3)('
²
16
2²36)('
x
xxxf
x
xxxxf 
 
 
²
16³43
)('
4
x
xx
xf


 
 
22) 












 7
2
3
1
)(
xx
xf
 
 





 

















 

²
2
3
12
²
1
xxxxdx
df
 
 
²
13
³
4
²
6
³
2
²
7
³
2
xxdx
df
xxxxdx
df





 
 
³
413
x
x
dx
df 

 
 
23) 












 x
xx
xg
³
2
3
²
1
)(
 
 

























 
 1
3
3
²
1
³
2
³
2
)('
4xx
x
xx
xg
 
 
3
9
²
13
²
24
)('
466



xxxxx
xg
 
 
6
46
46
7²93
)('3
²
197
)('
x
xxx
xg
xxx
xg




 
 
 
24) 













³
11
²)(
u
u
u
uug
 
 

























4
3
.1
1
²
³
1
²
1
2)('
uu
u
u
u
u
uug
 
 





 





 





 







4
44 31³
³
1
²
³2
)('
u
u
u
u
u
u
u
u
ug
 
 





 





 

5
7
5
47 3³31³22
)('
u
uu
u
uuu
ug
 
 
5
47 4³23
)('
u
uuu
xg


 
 
25) 
13
72
)(



x
x
xf
 
 Regra do quociente 
 
    
   ²13
21626
)('
²13
372132
)('






x
xx
xf
x
xx
xf
 
 
 ²13
23
)('



x
xf
 
 
26) 
2
²3
)(


x
x
xf
 
 
)²2(
)1²(3)2(6



x
xxx
dx
df
 
 
)²2(
12²3



x
xx
dx
df
 
 
27) 
23²
1²2
)(



xx
xx
xg
 
 
     
 ²23²
321²223²14
)('



xx
xxxxxx
xg
 
 
)²23²(
33²62²2³423²8²12³8
)('



xx
xxxxxxxxxx
xg
 
 
)²23²(
56²7³4
)('



xx
xxx
xg
 
28) 
52
³
)(
4 

t
t
tG
 
 
24
626
24
4
)52(
8156
)52(
³)8³)(()52²(3






t
ttt
GD
t
tttt
GD tt
 
 
)²542(
²152 6



t
tt
GDt
 
 
29) 
1²
7²3
)(



t
t
tF
 
 
     
)²1²(
14³66³6
)²1²(
27²31²6






t
tttt
dt
dF
t
tttt
dt
dF
 
 
)²1²(
20



t
t
dt
dF
 
 
30) 
19²
19²
)(



x
x
xf
 
 
     
)²19²(
219²19²2
)('



x
xxxx
xf
 
 
0)('
)²19²(
38³238³2
)(' 


 xf
x
xxxx
xf
 
 
31) 
 7
2
13
)( 







 x
x
x
xf
 
 Usando a regra do produto e a regra do quociente 
     
    
















2
13
17
)²2(
11323
)('
x
x
x
x
xx
xf
 
 
  
















2
13
7
)²2(
1363
)('
x
x
x
x
xx
xf
 
 
      
)²2(
132497
)('
)2(
13
)²2(
77
)('









x
xxx
xf
x
x
x
x
xf
 
 
)²2(
47²3
)('
)²2(
26²3497
)('






x
x
xf
x
xxxx
xf
 
 
 
32) Suponha que f e g são funções diferenciáveis. Define h por h(x)=f(x) – 
g(x). Mostre que h’(x)=f’(x) – g’(x). 
 
 
 
33 ) Calcule 
)2('f
em casa caso. 
a ) 
)(xf
= 
3
1
x³ - 1 
)(' xf
= 3 * 
3
1
x² - 0 
)(' xf
= x² 
)2('f
= 2² 
)2('f
= 4 
b ) 
)(xf
= 
³
1
x
- 1 
)(' xf
= - 3 
4
1
x
- 0 
)(' xf
= 
4
3
x

 
)2('f
= 
42
3
 
)2('f
= 
16
3
 
 
c ) 
)(xf
= (x² + 1)(1 – x) 
)(' xf
= (2x + 0)(1 – x) + (x² + 1)(0 – 1) 
)(' xf
= 2x (1 – x) – (x² + 1) 
)2('f
= 2*2 (1 – 2) – (2² + 1) 
)2('f
= - 4 – 5 
)2('f
= - 9 
 
d ) 
)(xf
= 












 1
3
2
1
xx
 
)(' xf
= 


























 0
²
3
2
1
1
3
0
²
1
xxxx
 
)(' xf
= 











 











 
2
1
²
3
1
3
²
1
xxxx
 
)2('f
= 











 











 
2
2
1
²2
3
1
2
3
²2
1
 
)2('f
= 











 











 
2
5
4
3
2
1
4
1
 
)2('f
= 
8
15
8
1


 
)2('f
= 
8
16
 
)2('f
= -2 
 
e ) 
)(xf
= 
2² x
x
 
)(' xf
= 
)²2²(
)2()2²(1


x
xxx
 
)(' xf
= 
)²2²(
²22²


x
xx
 
)(' xf
= 
)²2²(
2²


x
x
 
)2('f
= 
)²2²2(
2²2


 
)2('f
= 
36
2
 
)2('f
= 
18
1
 
 
f ) 
)(xf
= 
7²
²2
x
x
 
)(' xf
= 
)²7(
)1²)(2()7(4


x
xxx
 
)(' xf
= 
)²7(
228²4


x
xxx
 
)(' xf
= 
)²7(
28²2


x
xx
 
)2('f
= 
)²72(
)2(28)²2(2


 
)2('f
= 
81
568 
 
)2('f
= 
81
64
 
 
34 ) Suponha que 
gf ,
e 
h
são funções diferenciáveis. Seja 
k
uma função 
definida por 
)().().()( xhxgxfxk 
. Use a regra do produto para mostar que 
).().().(')().(').()(').().()(' xhxgxfxhxgxfxhxgxfxk 
 
Sendo 
)().().()( xhxgxfxk 
 e fazendo 
)().()( xgxfxi 
, 
)().()( xhxixH 
. Pela 
regra do produto, 
)().(')().(')(' xixhxhxixk 
e 
)().(')().(')(' xfxgxgxfxi 
. 
Subtituindo 
)(xi
e 
)(' xi
em 
)(' xk: 
)]().().[(')()].().(')().('[)(' xgxfxhxhxfxgxgxfxk 
 
 
 
35 ) Use o resultado do problema 34 para difenrenciar as seguintes funções: 
a ) 
)(xf
= (2x - 5)(x + 2)(x² - 1) 
)(' xf
= 2(x + 2)(x² - 1) + 1(2x – 5)(x² - 1) + 2x(2x – 5)(x + 2) 
)(').().()().(')()().().(')(' xhxgxfxhxgxfxhxgxfxk 
)(' xf
= 2[x³ + x + 2x² - 2] + 2x³ - 2x – 5x² + 5 + 2x(2x² + 4x – 5x – 10) 
)(' xf
= 2x³ + 4x² + 2x – 4 + 2x³ - 5x² - 2x + 5 + 4x³ + 8x² - 10x² - 20x 
)(' xf
= 8x³ - 3x² - 20x + 1 
 
b ) 
)(xf
= (1 –x)²(2x + 5) 
)(xf
= (1 – 3x)(1 – 3x)(2x + 5) 
)(' xf
= - 3(1 – 3x)(2x + 5) – 3(1 – 3x)(2x + 5) + 2(1 – 3x)(1 – 3x) 
)(' xf
= - 6(2x + 5 -6x² - 15x) + 2[1 -6x + 9x²] 
)(' xf
= - 12x – 30 + 36x² + 90x + 2 – 12x + 18x² 
)(' xf
= 54x² + 66x – 28 
 
c ) 
)(xf
= 






1
²
1
x
(2x -1)(x² - 3x) 
)(' xf
= 
³
2
x

(2x – 1)(x² - 3x) + 2






1
²
1
x
(x² - 3x) + (2x – 3) 






1
²
1
x
(2x – 1) 
)(' xf
= 
²
2
x

(2x³ - 6x² - x² + 3x)+2





 
²
³33² 4
x
xxxx
+ (4x² - 2x – 6x + 3) 





 
²
²1
x
x
 
)(' xf
= 
²
²3³8438²46²2³626²14³4 44
x
xxxxxxxxxxxx 
 
)(' xf
= 
²
312²23³186 4
x
xxxx 
 
 
d ) 
)(xf
= (2x² + 7)³ 
)(xf
= (2x² + 7)(2x² + 7)(2x² + 7) 
)(' xf
= 4x (2x² + 7) + 4x (2x² + 7) + 4x (2x² + 7) 
)(' xf
= 3 (8x³ + 28x) 
)(' xf
= 24x³ + 84x 
 
36 ) Seja 
)(tf
= t² + t e 
)(tg
= t² - 1. Calcule 
 )(3/2)(2/1 tgtfDt 
. 
)(tf
= t² + t 
)(tg
= t² - 1 






 )(
3
2
)(
2
1
tgtfDt
 = 





 


3
)1²(2
2
² ttt
Dt
 





 
6
4²43²3 ttt
Dt
 = 





 
6
43² tt
Dt
 = 
6
2t
+ 
6
3
= 
2
1
3

 t
 
 
37 ) Sejam 
f
e 
g
funções diferenciáveis para o número 1 e seja 
)1(f
= 1 , 
)1('f
= 2 , 
)1(g
= 
2
1
 e 
)1('g
= - 3. Use as regras de diferenciação para calcular: 
)1(f
= 1 , 
)1('f
= 2 , 
)1(g
= 
2
1
 , 
)1('g
= - 3 
a ) 
)'( gf 
( 1 ) = 2 – 3 = - 1 
b ) 
)'( gf 
( 1 ) = 2 – (- 3) = 5 
c ) 
)'32( gf 
( 1 ) = 2 ( 2 ) + 3 (- 3)= 4 – 9 = - 5 
d ) 
)'( fg
( 1 )= 
)1('f )1(g
+
)1(f )1('g
= 2 
2
1
 + 1 ( - 3)= 1 – 3= - 2 
e ) '






g
f ( 1 )= 
)²1(
)1(')1()1()1('
g
gfgf 
 = 
)²2/1(
))3(1)2/1(2 
 = 
4/1
31
= 16 
f ) '






f
g ( 1 )= 
)²1(
)1(')1()1()1('
f
fgfg 
= 
²1
)2)(2/1()1(3 
= 
1
13 
= - 4 
 
38 ) Suponde que 
f
, 
g
e 
h
sejam funções diferenciáveis no número 2 e seja 
)2(f
= - 2 , 
)2('f
= 3 , 
)2(g
= - 5 , 
)2('g
= 1 , 
)2(h
= 2 e 
)2('h
= 4. Use as regras 
de diferenciação para calcular: 
)2(f
= - 2 , 
)2('f
= 3 , 
)2(g
= - 5 , 
)2('g
= 1 , 
)2(h
= 2 e 
)2('h
= 4 
a ) 
)2()'( hgf 
= 3 + 1 + 4= 8 
b ) 
)2()'32( hgf 
= 2 ( 3 ) – 1 + 3 ( 4 )= 6 – 1 – 12= 17 
c ) 
)2()'( fgh
= 
)2('f
*
)2(g
*
)2(h
+
)2(f
*
)2('g
*
)2(h
+
)2(f
*
)2(g
*
)2('h
 
5640420)4(*)5(*)2()2(*)1(*)2()2(*)5(*)2( 
 
d ) '






h
fg ( 2 )= 
)²2(
)2(')2()2()]2(')2()2()2('[
h
hgfgfgf 
 
4
67
4
40215
²2
)4)(5)(2()]1)(2()5(3[ 




 
 
39 ) Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 
f
 no 
ponto cuja a coordenada x é 4. 
a ) 
1²4³)(  xxxf
 x= 4 
xxxf 8²3)(' 
 equação de reta tangente 
No ponto x= 4 
16)4('3248)4(')4(8)²4(3)4('  fff
 
O coeficiente angular é 16. 
b ) 
24
3
)(


x
xf
 x= 4 
)²24(
12
)('
)²24(
)4(3)24(0
)('






x
xf
x
x
xf
 
196
12
)4('
²14
12
)4('
)²2)4(4(
12
)4('






 fff
 
 
40 ) Determine a taxa de variação do volume em relação ao raio ( a ) de uma 
esfera e ( b ) de um cilindro circular reto com altura constante h. 
a ) Sendo 
³
3
4
RV 
 
²4²
3
4
3 R
dR
dV
R
dR
dV  
 
b ) 
hRV *²
 
Rh
dR
dV
2
 
 
41 ) Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 
2
³
)( 
x
x
xf
no ponto (1 ; - 1). 
2³
)(


x
x
xf
 P= (1 ; - 1) 
)²2³(
²32³
)('
)²2³(
)1²)(3()2³(1
)(






x
xx
xf
x
xx
xf
 
4)1('
1
321
)1('
)²2³1(
)²1(32³1
)1(' 




 fff
 
 
42 ) Para uma lente fina de comprimento local constante p, a distância do 
objeto x e a distância da imagem y estão relacioandas pela fórmula 
pyx
111

. 
yxp
111

 
p= comprimento local ; x= distância do objeto ; y= distância da imagem 
a ) Resolva para y em termos de x e p. 
 
b ) Calcule a taxa de variação de y em relação a x. 
)²(
)1()(1111
py
pypyp
dy
dx
py
py
x
py
py
xypx 






 
)²(
²
)²(
²
py
p
dy
dx
py
pyppy
dy
dx





 
 
43 ) Um objeto está se movendo ao longo de uma linha reta de tal maneira que, 
ao final de t segundos, sua distância em metros do seu ponto de partida é dada 
por 
t
ts
2
8 
, com t > 0. Determine a velocidade do objeto no instante em que 
t= 2 segundos. 
t
ts
2
8 
 , t > 0 
A velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo. 
sm
dt
ds
dt
ds
dt
ds
tdt
ds
/5,7
2
1
8
²2
2
8
²
2
8 
 
 
44 ) A fórmula 
1)(  nnx nxxD
, que vale para valores inteiros de n, sugere que 
talvez 
)2(
1
2
1
)(
2/1
1)2/1(2/1
x
xxDx 

; ou seja, 
 
x
xDx
2
1

. Use a definição de 
derivada (como um limite de um quociente diferencial) para mostar que isso é 
verdadeiro para x > 0. 
1)(  nnx nxxD
 
x
nx
xD
n
n
x )(
 
 
45 ) Critique os seguintes argumentos errados: Desejamos computar o valor da 
derivada de 
13²2)(  xxxf
 para x= 2. Para este fim, colocamos x= 2 e 
temos 
131)2(3)²2(2)2( f
. Mas 
0)13( xD
, então 
0)2(' f
. 
13²2)(  xxxf
 
O correto é 
11)2('3)2(4)2('34)('  ffxxf
 
 
46 ) Mostre que a regra a inversa aritmética é um caso particular da regra do 
quociente quando o numerador é a função constante 
1)( xf
. 
)(
)(
)(
xg
xf
xh 
 , 
1)( xf
 
)²(
)('1)(*0
)²(
)(')()()('
xg
xgxg
dx
dh
xg
xgxfxgxf
dx
dh 



 
)²(
)('
xg
xg
dx
dh 

 
 
47 ) Seja m um inteiro dado. Se possível, calcule uma constante c e um inteiro 
n tal que 
mn
x xcxD )(
, pelo menos para 
0x
. Para que valor (ou valores) de 
m isso não é possível? 
mn
x xcxD )(
 
c – c + e , 
Zn
 
mnnn
x xncxncxcxD 
 11)(
 
Então, nc= 1 , c= 
n
1
 , n – 1= m 
1 mn
 
Logo, 
)1(
1


m
c
. Mas, 
1,01  mm
 
 
48 ) Suponha que a, b, c e d são constantes; que ambas c e d não são zero; e 
que o valor de 
dcx
bax


 é independente do valor de x ( desde que 
0 dcx
). 
Prove que ad = bc. 
dcx
bax


 
Fazendo 
)(xf
= 
dcx
bax


 
)²(
)('
)²(
)('
)²(
)()(
)('
daxbcad
xf
dcx
bcacxadacx
xf
dcx
baxcdcxa
xf









 
Se 
)(xf
 independe de x, a derivada 
)(' xf
 é igual a zero 
)(' xf
= 0 ad – bc= 0 ad= bc 
 
49 ) Use a regra do produto para provar que 
)]([*)(2)]²([ xfDxfxfD xx 
. 
)]([*)(2)]²([ xfDxfxfD xx 
 
)]([)(2)]([)()]([*)()]()([ xfDxfxfDxfxfDxfxfxfD xxxx 
 
 
50 ) Use a regra do produto para provar que 
)]([*)]²([3)]³([ xfDxfxfD xx 
. 
)]([*)]²([3)]³([ xfDxfxfD xx 
 
)]([*)(*)()(*)]([*)(
)(*)(*)]([)](*)(*)([
xfDxfxfxfxfDxf
xfxfxfDxfxfxfD
xx
xx

 
)]([*)]²([3)]³([ xfDxfxfD xx 
. 
 
51 ) Seja 
xxf )(
 e 
1)( xg
. Mostre que: 
a ) A derivada do produto 
gf *
não é o produto das derivadas de 
f
 e 
g
. 
)(*)]([)(*)]([)](*)([ xfxgDxgxfDxgxfD xxx 
 
xxgxfDx *01*1)](*)([ 
 
1)](*)([ xgxfDx
 
0*1)]([*)]([ xgDxfD xx
 
0)]([*)]([ xgDxfD xx
 
)](*)([ xgxfDx )]([*)]([ xgDxfD xx
 
b ) A derivada do quociente 
g
f
não é o quociente das derivadas de 
f
 e 
g
. 
)²(
)(*)]([)(*)]([
)(
)(
xg
xfxgDxgxfD
xg
xf
D xxx







 
1
²1
*01*1
)(
)(







 x
xg
xf
Dx
 

0
1
)]([
)([
xgD
xfD
x
x
 
)]([
)]([
)(
)(
xgD
xfD
xg
xf
D
x
x
x 





 
 
Conjunto de problemas 5 
 Nos problemas 1 a 8, use a notação de Leibniz e a regra da 
função para achar o valor de dx/dy quando y tem o valor a. 
1) a= 1, y= x5 
5
5
1
/
1
,5 yx
xdy
dx
dxdydy
dx
x
dx
dy

 
5
1
15
1
5
1
55

dy
dx
dy
dx
ydy
dx
 
2) a= 64, y= x6, x > 0 
66
5
5 ,0/
6
1
6 yxxpyx
xdy
dx
x
dx
dy

 
    192
1
2.6
1
646
1
6
1
55
6
5
6

dy
dx
dy
dx
dy
dx
ydy
dx
 
3) a= 4, y= x²+2x+1, x > -1 
012²  yxx
 
  yyy 4444144  
yx
y
x
y
x 



 1
2
22
2
42
 
yxxse  1,1
 
  212
1
22
1
22




ydy
dx
xdy
dx
x
dx
dy
 
4
1
42
1
0,
2
1
222
1







dy
dx
dy
dx
y
ydy
dx
ydy
dx
 
 
1
32
,34



x
x
ya
 
  322332
1
32



 yyxyxxyxyyx
x
x
y 
2
3
2
3






y
y
x
y
y
x 
    
     ²1
5
²1
3222
²1
13212








xdx
dy
x
xx
dx
dy
x
xx
dx
dy
 
 
5
2
23
5
1
2
3
5
²1
22























y
yy
dy
dxy
y
dy
dxx
dy
dx
 
    5
1
²23
5
²2
5
5
1
.
2
5
2















dy
dx
dy
dx
ydy
dx
ydy
dx
 
 
72
27
,15



x
x
ya 
  277227722772
72
27



 yyxyxxyxyxy
x
x
y 
   
   ²72
4144914
²72
272727
72
27









x
xx
dy
dx
x
xx
dx
dy
y
y
x 
 
    
5
2
45
²712
45
72
²72
45
2









dy
dx
dy
dxx
dy
dx
xdy
dx
 
 
 






 xxsen
dx
d
queAssumaxsenxya cos
22
,,
2
1
6

 
22
,,
2
1 


 xxsenya
 
 ysencax 
 
 xdy
dx
x
dx
dy
cos
1
cos 
 
 
 
1,
1²
,3
3
2
7 

 x
x
x
ya
 
 
1²
²
²1²²0²²²²
1²
²
²
1² 





y
y
xyyxxyxy
x
x
y
x
x
y
 
1²
01²1/
1² 




y
y
xyyxp
y
y
x 
      
   ²1²
1²
²
1²
²1²
21²
2
1
1²1
2/1








x
x
x
x
dx
dy
x
xxxx
dx
dy
 
     ³1²(
1
²1²1²
1
²1²
1²
²1²










xdx
dy
xxdx
dy
x
x
xx
dx
dy
 
   ³1²x
dy
dx
 
333
3
2
1²
1
1²
1²²
1
1²
1
1² 




















































ydy
dx
y
yy
dy
dx
y
y
dy
dx
y
y
dy
dx
 
8- a é arbitrário, y=mx+b, m≠0 
mdy
dx
m
dx
dy
bmxy
1

 
 
 Nos problemas 9 a 26, determine a derivada de cada função. 
(Use a regra da raiz e a regra da potência racional juntamente com as regras 
básicas para diferenciação.) 
 
5)(9 xxf 
 
5
5/3
15/22/5
³5
2
)('
5
2
)('1.
5
2
)(')(
x
xf
x
xfxxfxxf 


 
 
7 ²)(10 xxf 
 
7
7/517/27/2
57
2
)('
7
2
)('
7
2
)(')(
x
xfxxfxxfxxf  
 
 
9/436)(11  xxg
 
9 13
19/4 16)('
9
436
)('
x
xgxxg



 
 
 
7/2521)(12 xx 
 
7
17/5
²
15
)('21
7
5
)('
x
xfxxf  
 
 
  3/21)(13  tth
 
     
 
5
3
3/513/2
13
2
)('1
3
2
)('11
3
2
)('
t
thtthtth



 
5 4
1
)(14
x
xf 
 
5
4
)('
5
4
)(')(
4
14/55/4 xxfxxfxxf  
 
 
²9
²9
)(15
s
s
sg



 
    
 ²²9
2²9²92
²9
²9
)(
s
ssss
du
s
s
uuug






 
   ²²9
36
²²9
³218³218
s
s
du
s
ssss
du






 
   
u
du
ugduuug
2
'
2
1
' 2/1  
 
 
 ²²9
36
'
s
s
sg



 
 
 
4/3
2
1)(16 






u
uf
 
    dwwwf
u
wwwf 14/34/3
4
3
'
2
1 
 
  dw
u
dw
w
dw
wf
²
2
4
3
'
4


 
 
44
2
²2
3
)('
2
1
1
²
2
4
3
'
u
u
u
uf
u
u
uf









 

 
 
4/13/12/1)(17   xxxxg 
14/113/112/1
4
1
3
1
2
1
)('   xxxxg
 
4/53/42/3
432
)('


xxx
xg
 
 
43)(18 xxxxf 
 
14/113/112/14/13/12/1
4
1
3
1
2
1
)(')(   xxxxfxxxxf
 
4/33/22/1
432
)('


xxx
xf
 
 
5 4³)(19 tttf 
 
14/145
4
1
²3³)(  ttduttuuuf
 
4
²12
4
²3
4/34/3  

tt
du
t
tdu
 
5
.4
)('
5
1
)('
5/4
15/1 duufduuuf

 
 
   
  5/4³20
²12
)('
4
²12
³
5
1
)9'
4
4/34/3
5/4
4
tt
tt
tf
tt
tttf







 
34)()20 yyyyg  
13/134
3
1
1³4)(  yyduyyyuuyg
 
3/2
3/2
3/2 3
13²12
3
1
1³4
y
yy
du
y
ydu


 
 





 

3/2
3/234
3
13²12
2
)('
2
1
)('
y
yyyyy
ygduuyg
 
  
3
334
²6
1²3²12
)('
y
yyyyy
yg


 
 
10
1
)()21


x
x
xg
 
     
 ²1111
1
)( 10





x
xx
du
x
x
uuug
 
   ²1
1
²1
1





x
du
x
xx
du
 
 ²1
1
110
1
)('
10
1
)('
10/9
10/9











xx
x
xgduuug
 
 ²110
11
)('
10/9






 

xx
x
xg
 
 
  xxxxxf 2)()22  
    

















  2/12/12/1
2
1
212
2
1
1)(' xxxxxxxf
 
      2/112
2
12
)('








 
 xxxxx
x
x
xf
 
   







 







 

x
x
xxxx
x
xf
1
2
12
)('
 
     
x
xxx
x
xx
xf
1
2
212
)('




 
     
x
xxxxxx
xf
12212
)('


 
 
    xxxxh /14/3 121)()23   
  vuvuh .,  
     
  4/7
4/74/3
14
3
11
4
3
1
x
duxduxu


 
     
12
1
212
2
1
12
2/12/1



x
dvxdvxv 
 
 
 
  4/34/7 1
1
12
1
12.
14
3
)(';'
xx
x
x
xhdvuduvvuh




 
    4/34/7 112
1
14
123
)('
xxx
x
xh




 
 
 
²36
)24
t
t
tf


 
²
);(');(
v
udvduv
vuf
v
u
vuf


 
1 dutu
 
   ttdvtv 2²36
2
1
²36
2/1

 
²36 t
t
dv


 
 
   ³²236
²²36
)('
²²36
²36
.
²361
)('
t
tt
tf
t
t
tt
t
tf







 
 ²36
²236
)('
t
t
tf



 
 
  54 52)25  tttf 
vuvuf .);( 
 
   
  4/3
4/34
24
1
12
4
1
2



t
dutdutu
 
   
  5/4
5/45
55
1
15
5
1
5



t
dvtdvtv
 
dvuduvvuf );('
 
   
  4/1
5/45/1
2
55
1
24
1
)(' 



 t
tt
tf
 
       
    5/44/3
4/34/15/45/1
525.4
224555
)('



tt
tttt
tf
 
   
    5/44/3 5220
2455
)('



tt
tt
tf
 
 
   xxxg 21)26 3  
 
Nos problemas 27 à 30, determine a derivada da função dada. Suponha as 
derivadas das funções trigonométricas como dadas no problema 41 do 
Conjunto de Problemas 4. 
27) 
5)( senttf  
 
28) 
7 3cos)( xxg 
 
 
29) g(x)=cos3/4x 
 
30) h(t)=sen5/7(4t-1) 
 
31) Calcule  :4 xDx ? 
32) 
 
 
Conjunto de Problemas 6 
Nos problemas 1 a 10, encontre as equações das retas tangente e normal ao 
gráfico da função dada no ponto indicado. Ilustre graficamente nos problemas 
de 1 até 5. 
1) F(x)= 2x²-7 em (2;1) 
 f’(x)=4x como f’(x) é o coeficiente angular da reta tangente no ponto (2;1), 
f’(2)-8. E o coeficiente angular é dado pela variação de f(x) dividida pela 
variação de x 
1581168
2
1
88
1
1 





 xyxy
x
y
xx
yy
 
Eq. reta tangente 
 
Por sua vez, o coeficiente angular da reta normal é: 
8
1
)('
1 


dy
dx
xf 
1
8
2
8
1
2
1
8
1
1
1 










 x
y
x
y
xx
yy
 
8
10
8
82 



x
y
x
y 
Eq. reta normal 
 
2) F(x)= 5+2x-x² (0;5) 
F’(x)= 2-2x F’(0)= 2 
 
 
eq. reta tangente 
 
Reta normal 
52
5
2
0
5
)0(' 




 xy
x
y
x
y
F
2
10
5
22
15 





 x
y
x
y
x
y
 
Eq. reta normal 
 
3) g(x)= x²+x+1 em (1;3) 
1
3
2
1
3
)1('2)1('12)('






x
y
x
y
ggxxg
 
Y= 2x-2+3 => y= 2x+1 
 
4) 
)0;1(,1)( 4 emxxG 
 
 
 4
4/3
³14
1
)('1)1(
4
1
)('

 
x
xGxxG
 
Como (x-1)³>0, pois o radical é par e a raiz é o denominador; x-1>0=>x>1. 
Logo, G(x) não é diferenciável em (1;0), não existindo reta tangente e, com 
isso, nem reta normal. 
 
5) 
  )2;8(,3 emxxh 
 
   
33
3/2
³83
1
)8('
²3
1
)('1
3
1
'   h
x
xhxxh
 
2
12
8
8
2
12
1
8
2
)8('
12
1
)8(' 








x
y
x
y
x
y
hh
 
 
Reta tangente 
12
16
12
248 



x
y
x
y
 
Eq. reta normal 
 
 
 
6) 
)12;8(,3)( 3/2 emxxH  
1)8('
8
2
)8('
2
)(')1(3.
3
2
)('
33
3/2  HH
x
xHxxh
 
4128
8
12
1
8
12
)8(' 





 xyxy
x
y
x
y
H
 
Eq. reta tangente 
 
Reta normal 
1028
8
2
1 


 xyxy
x
y
 
Eq. reta normal 
 
7) 
)3;0(²4
2
3
)( 4 emxxf 
 
   
²42
3
)('2²4
2
1
.
2
3
)('
2/1
x
x
xfxxxf




 
0)0('
2
0
)0('
²042
0.3
)0(' 


 fff
 
3
3
0
0
3
)0(' 




 y
x
y
x
y
f
 
Eq. reta tangente 
 
3
9
3
3
3
30
3
3
1 








 x
y
x
yy
x
x
y
 
Eq. de reta normal 
 
8) F(x)=x³-8x²+9x+20 em (4;-8) 
F’(x)= 3x²-16x+9+0 => F’(x)= 3x²-16x+9 => F’(4)= 3(4)²-16(4)+9 
981229612
8
2
12 


 xyxy
x
y
F’(4)= 48-64+9 => F’(4)= -5 
8205
4
8
5
4
)8(
)4(' 





 yx
x
y
x
y
F
 
Y= -5x+12 eq. reta tangente 
 
5
36
8
5
4
4
8
5
1
4
)8(
5
1 











 x
yy
x
x
y
x
y
 
Eq. reta normal 
 
9) 
)0;1(
1²
1²
)( em
x
x
xg



 
)²1²(
4
)('
)²1²(
2³22³2
)('
)²1²(
)2)(1²()1²(2
)('








x
x
xg
x
xxxx
xg
x
xxxx
xg
 
2)1('
2
4
)1('
)²1²1(
)1(4
)1(' 

 ggg
 
22
1
0
2
1
0
)1(' 





 xy
x
y
x
y
g
 
Eq. da reta tangente 
 
2
1
1
0
2
1 




 x
y
x
y
 
Eq. da reta normal 
 
10) G(x)= ax²+bx+c em (0,c) 
bGbaGbaxxG  )0(')0.(2)0('2)('
 
cbxy
x
cy
b
x
cy
G 





0
)0('
 
Eq. da reta tangente 
 
b
bcx
yc
b
x
ycy
b
x
x
cy
b










0
1
 
Eq. reta normal 
 
11) Determine o ponto onde a normal af(x)=2/x no ponto (1,2) corta (a) o eixo x 
e (b) o eixo y. 
)2,1(
2
)( em
x
xf 
 
2)1('
²1
2
)1('
²
2
)(' 



 ff
x
xf
 
Coeficiente angular da reta tangente a f(x) no ponto (1;2) 
 
2
11
2
11







mm 
Coeficiente angular da reta normal a f(x) no ponto (1;2) 
a) A intersecção de 2
3

x
y
com o eixo das abscissas se dá quando y=0. 
Logo, 
3
2
3
0 

 x
x
 
P=(-3;0) 
 
b) Já a intersecção com o eixo das ordenadas se dá quando x=0. Assim: 
2/3
2
30


 yy
 
P=(0;3/2) 
 
 
12) Determine as interseções x e y da tangente a y=2√x no ponto (1,2). 
x
yxyxy
1
'
2
1
.2'2 2/1  
 em (1,2) x
yy
1
'
1
1
' 
 
Coeficiente angular da reta tangente à y=2√2, no ponto (1;2) 
121
1
2
1'
1
1 




 xyyx
x
y
xx
yy
y
 
A intersecção com x é dada quando y=0 
0=x+1=>x=-1=> P=(-1;0) 
A intersecção com y é dada quando x=0 
Y=0+1=>y=1=> P=(0;1) 
 
13) Em que ponto da curva y=x²+8 o coeficiente da tangente é 16? Escreva a 
equação dessa reta tangente. 
y=x²+8 
Y’= 2x => y’=16 => 2x=16 => x=8 (este ponto pertence a y=x²+8 
Y=(8)²+8 => y=72 P=(8;72) 
561672128167212816
8
72
16 


 xyxyyx
x
y
 
 
14) Determine um valor da constante b para que o gráfico de y=x²+bx+17 tenha 
uma tangente horizontal no ponto (2,21+2b). 
y=x²+bx+17 (2,21+2b) 
Se a tangente é horizontal, a reta é constante em y, ou seja, a reta é dada por 
y=c, onde c é uma constante. E ainda o coeficiente angular da reta é 0 
(tan(0)=0). 
2
022'
b
xbxbxy


 
No ponto (2,21,6) 
4
2
2 

 b
b
 
 
15) Em que ponto na curva y=3x²+5x+6 a tangente é paralela ao eixo x? 
y=3x²+5x+6 
Y’=6x+5 
Se a reta é paralela com o eixo x, seu coeficiente angular é 0. Assim: 
0=6x+5 => x=-5/6 substituindo em y=3x²+5x+6: 
)12/47;6/5(12/476
6
5
5
6
5
3
2





 





 
 Pyy
 
 
16) Para que valores de x a tangente à curva y= ax³+bx²+cx+d no ponto(x,y) é 
paralela ao eixo x? 
y= ax³+bx²+cx+d 
Y’= 3ax²+2bx+c. 
Se a paralela ao eixo x, a reta tangente tem coeficiente angular igual a zero. 
3ax²+2bx+c=0 => 
∆=4b²-12ac 
Como ser tangente é ter apenas um ponto em comum, há apenas um valor 
para x (por vez). 
Para isso, ∆=0. 
4b²-12ac= Q => b²=3ac e 
a
b
x
a
b
x
3)3(2
)2( 



 
c
b
aacb
²
33² 
 
Substituindo em x=-b/3a. 
b
c
x
c
b
b
x




² 
Subs. 
c
b
bc
b
c
ay 
2
²
²
3
 
Y= 3ac²-2cb²+cb² 
Nos problemas 17 a 21, determine um ponto no gráfico da função dada onde a 
tangente (ou normal) satisfaz à condição estipulada, e então escreva a 
equação dessa tangente (ou normal). 
17) A tangente a f(x)= x-x² é paralela à reta x+y-2=0 
f(x)= x-x² 
f’(x)= 1-2x (coeficiente angular da reta tangente no ponto x e abscissa x) 
S: x+y-2=0 – Para que r//s (reta r paralela à reta s) devem ter o mesmo 
coeficiente angular. 
S: y= 2-x (coeficiente angular: -1) 
r: coeficiente angular -1=> f’(x)=-1 => 1-2x=-1 => -2x=-2 => x=1 
O ponto pertence a f(x) 
f(1)=1-(1)² => f(1)=0 P=(1;0) 
 
18) A tangente a f(x)= 2x²-x² é paralela à reta 4x-y+3=0. 
f(x)= 2x³-x² 
f’(x)=6x²+2x (coeficiente angular da reta r no ponto de abscissa x) 
s: 4x-y+3=0 – Para que r//s (reta r paralela à reta s) devem ter o mesmo 
coeficiente angular) 
Em s: 4x-y+3=0 => a: y=4x+3 (coeficiente angular:4) 
r: coeficiente angular 4 => f’(x)=4 => 6x²+2x=4 => 6x²+2x-4=0 => 3x²+x-2=0 => 
3
2
'
6
51
'25241 

 xx
 
 
1"
6
51
" 

 xx
 
x’ e x” pertencem a f(x) 
27/4)3/2(
3
2
3
2
2)3/2(
23












 ff
 
P=(2/3;4/27) 
f(-1)= 2(-1)³- (-1)² => f(-1)= -3 P=(-1;-3) 
f(x) possui dois pontos de tangência para o mesmo coeficiente angular. 
 
19) A normal a f(x)= x-1/x é paralela à reta x+2y-3=0. 
x
xxf
1
)( 
 
0,
²
1²
)('
²
1
1)(' 

 x
x
x
xf
x
xf
 
f’(x) – (coeficiente angular da reta r no ponto de abscissa x) 
Se s é normal a f(x), ms= -1/mr. 
S é paralela a t (t: x+2y-3=0) ms=mt 
2/12/1;
2
3
: 

 st mm
x
yt
 
 
2
²
1²
)('2
2/1
1






x
x
mxfmm rrr 
X²+1=2x² => x²=1 => x’=1 e x”=-1 
(x’ e x”) є f(x) 
)0;1(;0)1(
1
1
1)1(  Pff
 
 
)2;1(;2)1(
1
1
1)1( 

 Pff
 
 
20) A normal a f(x)= √4x-3 é perpendicular à reta 3x-2y+3=0 
34)(  xxf
 
    4/3,
34
2
)('434
2
1
)('
2/1




x
x
xfxxf
 
f’(x)= é o coeficiente angular da reta r no ponto de abscissa x. 
Se r é tangente a f(x), e s perpendicular a f(x): mr= -1/ms. 
Se s é perpendicular a t (t: 3x-2y+3=0): ms= -1/mt. 
mt, ms e mr (coeficientes angulares das respectivas retas). 
2/3
2
33
0323: 

 tm
x
yyxt
 
3
2
2/3
1 


 ss mm
 
  2
3
34
2
)('
2
3
3/2
1






x
mxfmm rrr 
 
4
3
9
16
3/4343/4344343
2







 xxxxmr
 
9
16
)36/43(3
36
43
4)36/43();(;
36
43






 ffxfxx
 
)3/4;36/43(;
3
4
)36/43(  Pf
 
 
21) A tangente a f(x)=5+x² intercepta o eixo x no ponto (2,0). 
f(x)= 5+x² 
f’(x)= 2x (coeficiente angular da reta r no ponto da abscissa x) 
Se r intersepta x em (2,0) – (2,0) є r 
1
1)('
xx
yy
xf



 
(y1, x1) um ponto arbitrário de r 
xxy
x
y
x
x
y
xf 4²2
2
2
2
0
)(' 





 
No ponto de intercecção, f(x)=2x²-4x 
5+x²=2x²-4x => x²-4x-5=0 => ∆=16+20 => ∆= 36 
1'
2
64
' 

 xx
 
5"
2
64
" 

 xx
 
(x’ e x”) є f(x) 
f(-1)= 5+(-1)² => f(-1)=6 P=(-1;6) 
f(5)= 5+(5)² => f(5)= 30 P= (5;30) 
 
Capítulo 3 
Aplicações da derivada 
 Evidentemente, f é contínuo em [0,3] e diferençável em (3,0). 
Além disso, f(0) = f(3) = o, então as hipóteses do teorema de Rolle estão 
verificadas. (Note que f não é diferençável em 0; de fato, o gráfico de f tem uma 
tangente vertical na origem. Entretanto, a diferenciabilidade de f nos extremos 
de [a, b] é necessária no teorema de Rolle). Resolvendo a equação f’(c) = 1/3 
c-2/3 (4c – 3) =0 para c (entre 0 e 3) obtemos c=3/4 (Fig. 12). 
(fazer o gráfico do xerox aqui) 
Fig. 12 
O teorema de Rolle não é apenas um caso particular do teorema do valor 
médio, mas também é possível provar o teorema do valor médio com base no 
teorema de Rolle (problema 31). De fato, num curso rigoroso em análise, o 
teorema de Rolle deve ser provado primeiro e, consequentemente, o teorema 
do valor médio é obtido usando o teorema de Rolle. 
 
Conjunto de problemas 1 
 Nos problemas 1 a 4, use o teorema do valor intermediário 
para verificar que cada função f possui um zero (isto é, uma raiz) no intervalo 
indicado. 
1) f(x) = x² - 2 entre 1, 4 e 1, 5 
f(1,4) = 1,4² - 2 

f(1,4) = 1,96 – 2 => f(1,4) = 4,04 
f(1,5) = 1,5² - 2 => f(1,5) = 2,25 - 2 => f(1,5) = 0,25 
Se para x = 1,4, y < 0 e para x = 1,5 y > 0. E sendo f(x) contínua, existe pelo 
menos um x = c onde y = 0, 1,5 < c < 2,5. 
 
2) f(x) = x³ + 3x – 6 entre 1 e 2 
f(1) = 1³ + 3(1) – 6 => f(1) = 1 + 3 – 6 => f(1) = -2 
f(2)= 2³ + 3(2) -6 => f(2)= 8 + 6 – 6 => f(2)= 8 
Como f(1) < 0 e f(2) > 8 existe f(c) = 0 1< c < 2 
 
3) f (x) = 2x³ - x² +x -3 entre 1 e 2 
f(1) = 2(1)³ - 1² + 1 – 3 => f(1) = 2 – 1 + 1 – 3 => f(10 = -1 
f(2) = 2(2)³ - 2² + 2 – 3 => f(2) = 16 – 4 + 2 – 3 => f(2) = 11 
f(1) < 0 f(2) > 0 f(c) = 0 1 < c < 2 
 
4) f (x) = 2x³ - x² + x – 3 entre 1,1 e 1,2 
f(1,1) = 2(1,1)³ - (1,1)² + 1,1 – 3 => f(1,1) = 2,662 – 1,21 + 1,1 – 3 
f(1,1) = 3,762 – 4,21 
f(2,1) = 2(2,1)³ - (2,1)² + 2,1 - 3 
 
5) Seja f uma função definida pela equação 
4²
1
)(



x
x
xf
. Certifique-se de que 
f(0) = -1/4 e que entre 0 e 3 tal que f(c)= 0. Explique por que isto não contradiz 
o teorema do valor intermediário. 
4²
1
)(



x
x
xf
 
4
1
)0(
4²0
10
)0( 


 ff
 
5
4
)3(49
4
)3(
4²3
13
)3( 




 fff
 
Como x está no denominador, deve ser verificado a condição da existência C.E 
da função 
C. E. x² - 4 ≠ 0 x² ≠ 4 x ≠ 

 
4
 x ≠ 
2
 
Como o intervalo considerado está entre 0 e 3 pela C .E. x ≠ 0, a função é 
descontínua no intervalo [0, 3]. Logo, apesar de f(c) = 0 não existir para 0 < c < 
3, isto não contradiz o Teorema do valor intermediário. 
 
6) Seja f uma função contínua em todo ponto de R, mas que só pode assumir 
valores inteiros. Use o teorema do valor intermediário para concluir que F é 
necessariamente uma função constante. 
 
 Nos problemas de 7 a 12, verifique as hipóteses do teorema do 
valor médio para cada função no intervalo indicado [a, b]. Então, ache um valor 
numérico explícito de c no intervalo (a, b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) f’(c). 
7) f(x) = 2x³, [a; b] = [0; 2] 
f(a) = f(0) = 2.0³ => f(0) = 0 
f(b) = f(2) = 2.2³ => f(2) = 16 
f’(x) = 6x² 
f’(c) = 
)(
)()(
ab
afbf


 => f’(c) = 
02
016


 => f’(c) = 8 
f’(c) = 6.c² => 6c² = 8 => c = 
6
8

 => c = 
3
1
 
c = 
3
32

 
 
8) f(x) = 
x
, [a;b] = [1;4] 
f(1) = 
1
=> f(1) = 1 f(4) = 
4
=> f(4) = 2 
f’(x) = 

x2
1
f’(c) = 
14
12


 => f’(c) = 
3
2
 
f’(c) = 
16
9
4
3
2
1
3
2
2
1
 cc
cc
 
 
9) f(x) = 
1
1


x
x
, [a;b] = [0;3] 
f(0) = 
1)0(
10
10



f
 
f(3) = 
2
1)3(
13
13



f
 
     
     ²1
2
)('
²1
11
)('
²1
1111
)('








x
xf
x
xx
xf
x
xx
xf
 
  6
1
²1
2
6
1
)('
03
12
1
)(' 




x
cfcf
 
 
 
 
10) f(x) = 
1x
, [a;b] = [3;8] 
2)3(13)3(  ff
 
3)8(18)8(  ff
 
5
1
)('
38
23
)('
12
1
)(' 




 cfcf
x
xf
 
4
21
1
4
25
4
25
1
2
5
1
5
1
12
1


cccc
c
 
 
11) f(x) = 
²25 x
, [a;b] = [-3;4] 
    3)4(²425)4(4)3(²325)3(  ffff
 
  13211212²1  CCC
  7
1
)('
)3(4
43
)('
²252
)('
²252
21
)('









 cfcf
x
x
xf
x
x
xf
 
²25²49
49
1
²25
²
7
1
²252
cc
c
c
c
c







 
2
2
2
1
2
1
²
50
25
²25²50  ccccc
 
 
12) f(x) = 
4
32²


x
xx
, [a;b] = [-1;3] 
   
     
   
   
 
464
2
4628
23³.2184058²0
²4
58²
0)('
13
00
)('
²4
58²
)('
²4
32²828²2
)('
²4
132²422
)('
0)3(
43
3)3(2²3
)3(
0)1(
41
312²1
)1(



























cc
cc
c
cc
cfcf
x
xx
xf
x
xxxxx
xf
x
xxxx
xf
ff
ff
 
Considerando o valor de c, onde a < c < b 
464 c
 
 
 Nos problemas 13 a 16, encontre um valor numérico explícito 
de c tal que c< c< b e que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c 
f(c)) seja paralela à secante entre os pontos (a f(a) e (b f(b)). Esboce o gráfico 
de f e mostre a tangente e a secante. 
13) F(x) = x², a= 2, b= 4 
16)4(²4)4()(
4)2(²2)2()(


ffbf
ffaf
 
A reta que contém os pontos (a;f(a) e (b;f(b), (2;4) e (4;16) respectivamente tem 
coeficiente angular m=
6
24
416



m
. O coeficiente angular da reta que 
contém c, também terá coeficiente angular m=6, pois as retas são paralelas. 
 )(,
)(
cfcmes
cx
cfy
m 



 pertence a f(x), logo 
cx
cfy
m



)(
 e f(c) em c. f(c)= 
f’(c), pois a reta que contém c é tangente a f(x). 
cyxcycx
cx
cy
cx
cy
m 46266
2
6
2







 
 
14) 
9,4,)(  baxxf
 
4
25
2
5
5
1
2
1
5
1
)('
49
23
)('
2
1
)('
2
1
)('
3)9(9)9()(2)4(4)4()(






cc
c
cfcf
c
cf
x
xf
ffbfffaf
 
 
15) 
3,1³,)(  baxxf
 
313,31313²3
13
127
²3
²3)('²3)('
27)3(³3)3()(1)1(³1)1()(






cbcaparaccc
ccfxxf
ffbfffaf
 
 
 
 
 
16) 
6,1,5,1
1
1
)( 

 ba
x
xf
 
4,1)6,1(
16,1
1
)6,1()(2)5,1(
15,1
1
)5,1()( 



 ffbfffaf 
    
     
   
  1
6
6
6111²16
²1
1
1,0
6,0
²1
1
5,16,1
24,1
²1
1
)('
²1
1
)('
²1
1110
)('




















ccc
cc
c
cf
x
xf
x
x
xf
 
Para a < c < b, 
1
6
6
c
 
Nos problemas 17 à 20, a conclusão do Teorema do valor médio falha no 
intervalo indicado. Faça o gráfico da função e determine quais as hipóteses, do 
teorema do valor médio, que falham.
 
 
17) 
 1,1,)(  xxf
 
c
cf
x
xf
2
1
)('
2
1
)(' 
 
abc
ab
afbf
c



 ,0
)()(
2
1
 
 
18)  3;1
2
3
)(


x
xg 
    
     ²2
3
)('
²2
3
)('
²2
3120
)('









c
cg
x
xg
x
x
xg
 
 
  abcc
ab
cfbf
c






20²2
)()(
²2
3
 
Pelo Teorema, 
2
2
13


 cc
 mas c≠2. 
 
19)  









1,3
3;0;1,1²
)(
xx
xx
xf
 
A função f(x) é descontínua no trecho [0; 3], mas precisamente em 1. 
Fazer o gráfico do rascunho 
20) G(x) = x – [x], [-1,1] 
 
21) As funções cujos gráficos são mostrados na Fig. 13 não satisfazem as 
hipóteses do teorema do valor médio no intervalo de a até b. Em cada caso, 
determine qual a hipótese que falha. 
 
Fig. 13 
 
22) Seja f uma função diferenciável (portanto contínua) em cada ponto x, em 
qualquer intervalo aberto, e suponha que 
)(' xf 1
seja válido para cada x. Use 
o teorema do valor médio para mostrar que 
)()( afbf  ab 
 para quaisquer 
dois números a e b do intervalo aberto. 
abafbf
ab
afbf
xfse
ab
afbf
xf
ab
afbf
xfse
xf











)()(1
)()(
1)('
)()(
)('
)()(
)('
1)('
 
 
23) Sejam x e y duas variáveis, com y=f(x), onde f é uma função diferenciável. 
Se x1 e x2 são dois valores diferentes de x, mostre que existe um valor x0 entre 
x1 e x2 tal que a taxa de variação instantânea de y em relação a x quando x=x0 
é a mesma que a razão média da variação de y em relação a x no intervalo 
entre x1 e x2. 
12
12
0 )('
xx
yy
xf



 
 
24) Explique por que você não pode dirigir da cidade A para a cidade B numa 
velocidade média de 55 quilômetros por hora a não ser que, em algum instante 
ao longo do caminho você esteja exatamente a 55 quilômetros por hora. (Veja 
problema 23). 
Se a velocidade média é 55 km/h. O intervalo a,b, onde a representa a menor 
velocidade no percurso, e b a menor velocidade, a < 55 < b, sendo a 
velocidade instantânea a derivada do espaço em função do tempo, e sendo a 
função diferenciável no intervalo [a; b], tal função é contínua coexistindo um 
valor igual a 55 km/h. 
 
Nos problemas 25 a 29, verifique as hipóteses do teorema de Rolle para cada 
função