Unidade 3 Bioestatistica

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BIOESTATÍSTICA
BIOESTATÍSTICA
Graduação
BIOESTATÍSTICA
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A
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Estudaremos aqui três tipos de medidas de tendência central: média
aritmética, moda e mediana. Essas medidas servem para visualizarmos a
distribuição de freqüências no eixo de variação da variável estudada.
OBJETIVOS DA UNIDADE:
Compreender as medidas de tendência central e calculá-las para dados
não agrupados e dados agrupados em classes de freqüências.
PLANO DA UNIDADE:
• Média Aritmética.
• Moda.
• Mediana.
Bons estudos!
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As Medidas de Posição ou Tendência Central são denominadas dessa
forma devido aos dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em
torno dos valores centrais. As outras medidas de posição são as
separatrizes, que englobam a própria mediana, os decis, os quartis e os
percentis.
MÉDIA ARITMÉTICA
A Média Aritmética ( ) é a medida de posição que possui maior
estabilidade e é igual ao quociente entre a soma dos valores da variável e o
número total de observações. Veja, abaixo, a fórmula:
Em que xi são os valores da variável e n o número de observações.
Para dados não agrupados a Média Aritmética Simples ( ) é calculada
da seguinte forma:
EXEMPLIFICANDO
Ex.: Um aluno de determinada instituição de ensino tirou as
seguintes notas em estatística: 7, 10 e 6. Sabendo-se que a
nota final desse aluno é calculada através da média
aritmética das três avaliações feitas no período, temos como
média final do aluno:
x1 = 7; x2 = 10 e x3 = 6
Em relação aos dados agrupados sem intervalos de classe,
consideremos a distribuição relativa a 38 crianças pacientes de uma clínica
pediátrica com idades entre 0 e 4 anos.
As freqüências representam quantas vezes ocorreu determinada idade,
por exemplo, ao invés de escrevermos 0,0,1,1,1,1,1,1 etc., atribuímos a
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freqüência, logo, a idade 0 (zero) ocorre duas vezes; a idade 1 ocorre seis
vezes e assim por diante. As freqüências funcionam como fatores de
ponderação. A média aritmética, nesse caso, é a média aritmética
ponderada, ou seja, em vez de somarmos o número 0 duas vezes, o número
1 seis vezes, o número 2 doze vezes e assim por diante, ponderamos os
valores da variável com suas respectivas freqüências. Esta ponderação é
dada pela fórmula:
Obs.: = n, ou seja, a soma das freqüências é igual a n.
= 38, n = 38.
A idade média das crianças atendidas na clínica será .
Agora, vejamos os dados agrupados com intervalos de classe.
Observe a seguir as notas de 50 alunos de uma turma de estatística:
Neste caso não temos como saber se os sete alunos da primeira classe
tiveram notas, por exemplo, zero ou 1,9. Então, para diminuirmos o erro
cometido com o agrupamento, utilizamos como valor representativo de cada
intervalo o seu ponto médio (xi). Utilizamos, então, a mesma fórmula, sendo
que xi agora não é mais o valor da variável e sim o ponto médio de cada
classe. A média aritmética é calculada, então, da seguinte forma:
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Em que é o ponto médio da classe.
No nosso exemplo: , , , , .
Outros tipos de médias menos usados são as médias geométrica,
harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática.
IMPORTANTE
A média aritmética para a população é denotada por .
Você já ouviu falar em moda? Não, não é bem dessa moda
que vamos falar! É a Moda na Estatística. Vamos estudar
sobre ela, agora?
MODA (MO)
A Moda é o valor que mais aparece em uma série de valores. Você
deve estar se perguntando: Como assim o valor que mais aparece? É isso
mesmo!
EXEMPLIFICANDO
Por exemplo: o número de calçado mais vendido em uma
sapataria é a moda. Até os vendedores ambulantes, mesmo
sem saber, utilizam-se da moda. De uma maneira grosseira,
podemos nos lembrar daquilo que está na moda, ou seja,
daquilo que mais aparece.
Viu como é simples?
Podemos calcular a Moda para diversos tipos de dados. Veja como
fazer isso:
Moda para dados não agrupados
A moda de uma distribuição para dados não agrupados é fácil de ser
vista, é só procurarmos o valor que mais aparece. Uma distribuição pode ter
nenhuma (amodal), uma (unimodal), duas (bimodal) ou mais modas.
Exemplos:
· Na série {6, 7, 9, 11, 11, 11, 12, 12} a moda é igual a 11. A
distribuição é unimodal;
· A série {2, 5, 7, 11,12} não possui um número que apareça
mais que os outros. A série é amodal;
EXEMPLIFICANDO
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· A série {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas:
4 e 7. A série é bimodal;
· Em outros casos, pode haver três ou mais valores que mais se
repetem. Nesse caso, a série tem três ou mais modas.
Moda para dados agrupados sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, a moda é o valor da variável de maior
freqüência.
Ex.: Manequim de roupa feminina mais vendida em uma loja de
departamentos:
Resposta: 38 é o manequim modal, pois é o de maior freqüência.
Moda para dados agrupados com intervalos de classe
Classe modal é a classe que apresenta a maior freqüência. Nesse
caso, a moda está compreendida entre os limites da classe modal. O método
mais simples para o cálculo consiste em tomarmos o ponto médio da classe
modal como sendo a própria moda. A este valor chamamos de moda bruta.
Em que l* é o limite inferior da classe modal e L* o limite superior da
classe modal.
Ex.: Como podemos calcular o peso modal da tabela abaixo?
Resposta: A classe modal é 50|— 55, pois é a de maior freqüência. l2 =
50 e L2 = 55
EXEMPLIFICANDO
EXEMPLIFICANDO
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Mo = kg
IMPORTANTE
Não temos como saber o real valor da moda, pois não
conhecemos mais os valores que estão compreendidos em
um determinado intervalo. Portanto, este valor é apenas
estimado.
Você conhece a fórmula de Czuber? Pois, então conhecerá agora.
Fórmula de CZUBER (processo mais elaborado)
Em que:
li é o limite inferior da classe modal.
D1 = f
* - f(ant)
D2 = f
* - f(post)
h* é a amplitude da classe modal.
f* é a freqüência simples da classe modal.
f(ant) é a freqüência simples da classe anterior à classe modal.
f(post) é a freqüência simples da classe posterior à classe modal.
Para o cálculo do peso modal da tabela anterior temos:
Passemos a estudar, agora, a mediana para dados não-agrupados,
agrupados sem intervalos de classe e agrupados em classes.
MEDIANA (MD)
A mediana de um conjunto de valores previamente ordenados. É o
valor situado bem no meio do conjunto de valores de tal forma a separá-los
em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
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Mediana para dados não-agrupados
· Quando o número de valores for ímpar:
Ex.: Dada uma série de valores {7, 2, 8, 13, 11, 7, 15, 12, 1} o primeiro
passo a ser dado é a construção do rol: {1, 2, 7, 7, 8, 11, 12, 13, 15}.
O valor que divide a série em duas partes iguais é o 8, logo a
mediana Md = 8.
Na prática, o valor mediano é dado por , ou seja,
a mediana será o quinto elemento da série ordenada, que é 8. Md = 8
· Quando o número de valores for par:
Ex.: Calcular a mediana da série {1, 2, 0, 0, 2, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 6}
Rol - {0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6} - Md
Temos, aqui, duas observações a serem feitas, por isso preste
bastante atenção:
· A mediana coincidirá com um dos elementos da série quando o
número de elementos for ímpar. Quando o número de elementos
da série for par, a mediana nunca coincidirá com um dos
elementos da série. Neste caso, a mediana será sempre a média
aritmética dos 2 elementos centraisda série;
· A média aritmética, a mediana e a moda de uma série de valores
não têm, necessariamente, o mesmo valor.
Mediana para dados agrupados sem intervalos de classe
Neste caso, basta identificarmos a freqüência acumulada (Fi) igual ou
imediatamente superior à . A mediana será o valor da variável que
corresponder a essa freqüência acumulada.
Ex.: Veja a tabela a seguir:
=, logo a mediana será Md = 3.
EXEMPLIFICANDO
EXEMPLIFICANDO
EXEMPLIFICANDO
=
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Mediana para dados agrupados em classes
Para esse tipo de dado é preciso determinar a classe da mediana, que
será aquela que corresponder à freqüência acumulada igual ou
imediatamente superior à .
A mediana é dada pela fórmula:
Em que:
li é o limite inferior da classe mediana.
F(ant) é a freqüência acumulada anterior à classe mediana.
f* é a freqüência simples da classe mediana.
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Exemplo:
IMPORTANTE
Neste caso a mediana é estimada, pois não temos todos os
valores da distribuição.
Qual é a medida que devemos usar?
Todas as médias são valores que estão compreendidos entre o menor e o
maior valor observado. Todas são igualmente importantes, portanto uma
não deve prevalecer sobre a outra. Devemos saber que:
EXEMPLIFICANDO
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· A média aritmética é a mais empregada apenas pelo fato de
ser mais simples o seu cálculo e mais compreensível o seu
resultado. É a medida de posição que possui a maior
estabilidade;
· A moda será utilizada quando a medida de posição for o valor
mais típico da distribuição. É uma medida de rápida obtenção;
· Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em
duas partes iguais, quando há valores extremos que afetam
de maneira acentuada a média aritmética ou quando a variável
em estudo é salário, usamos a mediana.
A média aritmética de uma série de valores, por exemplo, é influenciável
pelos seus extremos, enquanto que a mediana depende da posição e não
dos valores dos elementos na série ordenada. É por isso que, no caso de
séries com extremos muito distantes, usamos mais a mediana do que a
média aritmética, para que não haja influência dos extremos.
Ex.: Na série { 8, 9, 10, 15, 18}, a média = 12 e a mediana = 10. Já na série
{ 6, 8, 10, 11, 75 }, a média = 22 e a mediana = 10.
A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro
por influência do valor extremo (75), porém, nas duas séries, a mediana é a
mesma, ou seja, não adianta analisarmos apenas as médias aritméticas
de uma série de valores, é preciso analisar também a mediana.
É HORA DE SE AVALIAR!
Não esqueça de realizar as atividades desta unidade de
estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-
lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia
no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija
as respostas no caderno e depois as envie através do nosso
ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!
Vimos nesta unidade as medidas de tendência central. A média de um
conjunto de valores ou de uma distribuição de classes é fundamental dentro
do estudo da Estatística. Ela é um dos principais parâmetros de estudo e
pesquisas. Na próxima unidade, veremos as medidas de dispersão – o cálculo
dessas medidas nos permite a verificação de quão representativa é a média
de uma distribuição em relação a todas as suas observações.
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