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Aula 4 
Modelagem de Circuitos Elétricos
A modelagem de circuitos elétricos é, em muitos aspectos, análoga à modelagem de 
sistemas mecânicos. Lembre que nos sistemas mecânicos precisávamos das relações força x 
deslocamento para cada um dos componentes e de leis (2a e 3a Leis de Newton) que regiam as 
interações entre os diversos componentes do sistema.
Nos circuitos elétricos, de forma similar, teremos relações tensão x corrente para cada um 
dos três elementos básicos (resistor, capacitor e indutor) e também leis (as Leis de Kirchhoff) que 
nos permitirão equacionar os acoplamentos entre os diversos componentes presentes em um dado 
circuito.
Relações tensão x corrente no Resistor, Indutor e Capacitor 
1) Resistor
A Lei de Ohm nos diz que a corrente que passa por um resistor é proporcional à diferença de 
potencial entre seus terminais.
2) Capacitor
No capacitor, a corrente fluindo entre seus terminais é proporcional à taxa de variação da diferença 
de potencial entre os terminais:
3) Indutor
Já no indutor, é a diferença de potencial entre seus terminais que é proporcional à taxa de variação 
da corrente passando por ele. Ou seja,
.
Leis de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC)
A soma algébrica de todas as correntes em qualquer nó de um circuito é igual a zero.
Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 1
Abaixo, aplicamos a LKC em cada um dos nós do circuito.
1
Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT)
A soma algébrica de todas as voltagens ao longo de qualquer percurso fechado em um 
circuito é igual a zero.
Exemplo 2
Da mesma forma, no circuito abaixo aplicamos a LKT em cada um dos percursos fechados 
possíveis.
Duas consequência imediatas das Leis de Kirchhoff são:
1) Elementos em série apresentam a mesma corrente fluindo por seus terminais,
2) Elementos em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial.
Modelagem de Circuitos Elétricos
Já possuímos todas as ferramentas que nos permitirão modelar os circuitos elétricos que 
encontraremos ao longo do curso. Passemos, então, diretamente aos exemplos.
Exemplo 1
No circuito abaixo, considere como sinais de entrada a tensão v(t) e a corrente i(t). 
Determine a equação diferencial que relaciona a queda de tensão vC(t) sobre o capacitor com os 
parâmetros do circuito e os sinais de entrada.
Solução
Inicialmente, arbitramos os sentidos para as correntes nos diferentes ramos do circuito. Note que 
não temos liberdade de escolha para a corrente i(t).
Aplicando a LKC no nó superior do circuito temos:
. (Eq.1)
Adotamos sinal positivo para as correntes que entram e negativo para as correntes que saem. 
Podemos expressar as correntes acima em função dos sinais de entrada e do sinal de saída desejado. 
Antes, perceba que o indutor está em paralelo com o capacitor. Logo, a diferença de potencial será a 
2
mesma sobre ambos:
Resistor:
Capacitor:
Indutor:
Substituindo na Eq. 1 da LKC as correntes calculadas acima, temos
.
A equação integro-diferencial já pode ser considerada como resposta. Porém, vamos derivar os dois 
membros da equação de modo a obtermos uma equação cuja aparência nos será familiar mais tarde:
.
Como último detalhe, colocaremos todos os termos em vC(t) (saída) à esquerda, e todos os outros 
(incluindo as entradas) à direita:
. (Eq. 2)
Obtivemos, assim, nosso modelo matemático.
Exemplo 2
Considere o circuito abaixo. Seja a diferença de potencial ei o sinal de entrada e a queda de 
tensão eo sobre o capacitor 2 o sinal de saída. Queremos determinar a equação diferencial que 
relaciona a saída eo(t) com as constantes do circuito e o sinal de entrada.
Solução
Vamos arbitrar sentidos para as correntes passando pelos elementos conforme a figura abaixo. Seja 
e1 a queda de tensão sobre o capacitor C1.
Nó A
Aplicando a LKC:
.
Expressando as corrente sobre os elementos:
Resistor 1:
Capacitor 1:
Resistor 2:
Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos
.
Por fim, reorganizando,
 (Eq.1)
3
Ponto B
Note que a corrente que passa pelo resistor 2 é a mesma que passa pelo capacitor 2.
.
Expressando as corrente sobre os elementos:
Capacitor 2:
Resistor 2:
E substituindo essas expressões na igualdade acima, temos
Reorganizando,
 (Eq. 2)
Note que, nesse problema em particular, podemos facilmente explicitar e1 na Eq. 2:
Agora, podemos substituir a expressão encontrada na Eq. 1:
Por, multiplicando os dois membros por R1 temos
.
Note que agora temos apenas uma equação diferencial que relaciona a saída eo com a entrada ei, e 
onde a variável interna e1 não aparece.
Método dos nós
O Método dos Nós representa uma forma sistemática de abordar circuito com diversas 
malhas. A aplicação do método é composta de 3 etapas.
1o) Designar um nó de referência que terá potencial nulo (GND).
2o) Para cada um dos outros nós, atribuir uma variável correspondendo à tensão no nó.
3o) Aplicar a LKC em cada um dos nós.
Vamos aplicar o Método dos Nós no exemplo a seguir.
Exemplo 3
No circuito abaixo, considere como sinal a ser observado (sinal de saída) a tensão vR1(t) 
sobre o resistor R1. Os sinais de entrada são a corrente i(t) e a tensão v(t). Determine as equações 
diferenciais que regem o comportamento da resposta v(t) para esse circuito.
Solução
Inicialmente, tomamos o nó inferior como o nó de referência (terra/GND). A seguir, atribuímos as 
variáveis V1 e V2 para as tensões nos nós superiores, conforme a figura abaixo.
4
Agora só falta aplicar a LKC em cada um dos nós:
Nó 1
.
Expressando as corrente sobre os elementos:
Capacitor:
Indutor:
Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos
Reorganizando,
 (Eq. 1)
Nó 2
.
Expressando as corrente sobre os elementos:
Indutor:
Resistor 1:
Resistor 2:
Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos
Reorganizando,
(Eq. 2)
Note que V2 representa exatamente a queda de tensão sobre o resistor 1, que é o sinal de saída para 
esse problema. Assim, se conseguirmos determinar V2, automaticamente estamos achando a 
resposta.
Até o presente momento não dispomos de uma ferramenta que nos permita resolver um 
sistema de equações diferenciais. Isso porque a presença de derivadas e integrais dificulta resolver o 
sistema via a técnica clássica da eliminação de variáveis. É nesse contexto que entrará a 
Transformada de Laplace. Ela nos fornecerá uma maneira sistemática de resolver os sistemas de 
equações diferenciais que aparecem quando modelamos circuitos e sistemas mecânicos.
5

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