Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Aula 4 Modelagem de Circuitos Elétricos A modelagem de circuitos elétricos é, em muitos aspectos, análoga à modelagem de sistemas mecânicos. Lembre que nos sistemas mecânicos precisávamos das relações força x deslocamento para cada um dos componentes e de leis (2a e 3a Leis de Newton) que regiam as interações entre os diversos componentes do sistema. Nos circuitos elétricos, de forma similar, teremos relações tensão x corrente para cada um dos três elementos básicos (resistor, capacitor e indutor) e também leis (as Leis de Kirchhoff) que nos permitirão equacionar os acoplamentos entre os diversos componentes presentes em um dado circuito. Relações tensão x corrente no Resistor, Indutor e Capacitor 1) Resistor A Lei de Ohm nos diz que a corrente que passa por um resistor é proporcional à diferença de potencial entre seus terminais. 2) Capacitor No capacitor, a corrente fluindo entre seus terminais é proporcional à taxa de variação da diferença de potencial entre os terminais: 3) Indutor Já no indutor, é a diferença de potencial entre seus terminais que é proporcional à taxa de variação da corrente passando por ele. Ou seja, . Leis de Kirchhoff Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) A soma algébrica de todas as correntes em qualquer nó de um circuito é igual a zero. Veja o exemplo abaixo. Exemplo 1 Abaixo, aplicamos a LKC em cada um dos nós do circuito. 1 Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) A soma algébrica de todas as voltagens ao longo de qualquer percurso fechado em um circuito é igual a zero. Exemplo 2 Da mesma forma, no circuito abaixo aplicamos a LKT em cada um dos percursos fechados possíveis. Duas consequência imediatas das Leis de Kirchhoff são: 1) Elementos em série apresentam a mesma corrente fluindo por seus terminais, 2) Elementos em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial. Modelagem de Circuitos Elétricos Já possuímos todas as ferramentas que nos permitirão modelar os circuitos elétricos que encontraremos ao longo do curso. Passemos, então, diretamente aos exemplos. Exemplo 1 No circuito abaixo, considere como sinais de entrada a tensão v(t) e a corrente i(t). Determine a equação diferencial que relaciona a queda de tensão vC(t) sobre o capacitor com os parâmetros do circuito e os sinais de entrada. Solução Inicialmente, arbitramos os sentidos para as correntes nos diferentes ramos do circuito. Note que não temos liberdade de escolha para a corrente i(t). Aplicando a LKC no nó superior do circuito temos: . (Eq.1) Adotamos sinal positivo para as correntes que entram e negativo para as correntes que saem. Podemos expressar as correntes acima em função dos sinais de entrada e do sinal de saída desejado. Antes, perceba que o indutor está em paralelo com o capacitor. Logo, a diferença de potencial será a 2 mesma sobre ambos: Resistor: Capacitor: Indutor: Substituindo na Eq. 1 da LKC as correntes calculadas acima, temos . A equação integro-diferencial já pode ser considerada como resposta. Porém, vamos derivar os dois membros da equação de modo a obtermos uma equação cuja aparência nos será familiar mais tarde: . Como último detalhe, colocaremos todos os termos em vC(t) (saída) à esquerda, e todos os outros (incluindo as entradas) à direita: . (Eq. 2) Obtivemos, assim, nosso modelo matemático. Exemplo 2 Considere o circuito abaixo. Seja a diferença de potencial ei o sinal de entrada e a queda de tensão eo sobre o capacitor 2 o sinal de saída. Queremos determinar a equação diferencial que relaciona a saída eo(t) com as constantes do circuito e o sinal de entrada. Solução Vamos arbitrar sentidos para as correntes passando pelos elementos conforme a figura abaixo. Seja e1 a queda de tensão sobre o capacitor C1. Nó A Aplicando a LKC: . Expressando as corrente sobre os elementos: Resistor 1: Capacitor 1: Resistor 2: Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos . Por fim, reorganizando, (Eq.1) 3 Ponto B Note que a corrente que passa pelo resistor 2 é a mesma que passa pelo capacitor 2. . Expressando as corrente sobre os elementos: Capacitor 2: Resistor 2: E substituindo essas expressões na igualdade acima, temos Reorganizando, (Eq. 2) Note que, nesse problema em particular, podemos facilmente explicitar e1 na Eq. 2: Agora, podemos substituir a expressão encontrada na Eq. 1: Por, multiplicando os dois membros por R1 temos . Note que agora temos apenas uma equação diferencial que relaciona a saída eo com a entrada ei, e onde a variável interna e1 não aparece. Método dos nós O Método dos Nós representa uma forma sistemática de abordar circuito com diversas malhas. A aplicação do método é composta de 3 etapas. 1o) Designar um nó de referência que terá potencial nulo (GND). 2o) Para cada um dos outros nós, atribuir uma variável correspondendo à tensão no nó. 3o) Aplicar a LKC em cada um dos nós. Vamos aplicar o Método dos Nós no exemplo a seguir. Exemplo 3 No circuito abaixo, considere como sinal a ser observado (sinal de saída) a tensão vR1(t) sobre o resistor R1. Os sinais de entrada são a corrente i(t) e a tensão v(t). Determine as equações diferenciais que regem o comportamento da resposta v(t) para esse circuito. Solução Inicialmente, tomamos o nó inferior como o nó de referência (terra/GND). A seguir, atribuímos as variáveis V1 e V2 para as tensões nos nós superiores, conforme a figura abaixo. 4 Agora só falta aplicar a LKC em cada um dos nós: Nó 1 . Expressando as corrente sobre os elementos: Capacitor: Indutor: Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos Reorganizando, (Eq. 1) Nó 2 . Expressando as corrente sobre os elementos: Indutor: Resistor 1: Resistor 2: Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos Reorganizando, (Eq. 2) Note que V2 representa exatamente a queda de tensão sobre o resistor 1, que é o sinal de saída para esse problema. Assim, se conseguirmos determinar V2, automaticamente estamos achando a resposta. Até o presente momento não dispomos de uma ferramenta que nos permita resolver um sistema de equações diferenciais. Isso porque a presença de derivadas e integrais dificulta resolver o sistema via a técnica clássica da eliminação de variáveis. É nesse contexto que entrará a Transformada de Laplace. Ela nos fornecerá uma maneira sistemática de resolver os sistemas de equações diferenciais que aparecem quando modelamos circuitos e sistemas mecânicos. 5
Compartilhar