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isometrias composicion de simetrias

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GEOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESPLAZAMIENTO 2 
Nuevas isometrías: composición de simetrías axiales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto de Profesores „Artigas‟ 
Departamento de Matemática de Formación Docente 
2013
Geometría Desplazamiento 2: Nuevas isometrías: composición de simetrías axiales 
 
 Instituto de Profesores „Artigas‟ - Departamento de Matemática de Formación Docente 
1 
DEFINICIONES DE ROTACIÓN 
DEFINICIÓN 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) El juego es el siguiente: ¿De cuántas maneras puedes „mover‟ cada figura de manera que al observarla en la 
posición inicial y en la posición final no se note ninguna diferencia? 
ii) Cada una de estas formas de „mover‟ cada figura podríamos expresarla mediante una función. 
Indica para cada figura qué funciones te permiten lograr las superposiciones. 
iii) ¿Qué elementos tuviste en cuenta para definir estas funciones? 
iv) Define la función Rotación en forma explícita (indicando cómo se construye la imagen de un punto, para 
cada punto del plano, al igual que como lo hicimos con la simetría axial). 
 
CON ESTA DEFINICIÓN… 
 
1.- Dados un punto A y una recta r fijos con A  r, se consideran los triángulos (ABC) horarios rectángulos 
en A e isósceles, tales que B  r. Halla el lugar geométrico de C al variar B. 
 
3.- (ABC) antihorario con AB fijo y C variable de modo que ACB = 60º. 
a) N pertenece a la semirrecta CA tal que CN = CB. Halla el lugar geométrico de N. Elabora dos 
estrategias diferentes para ello. 
b) M pertenece al a opuesta de la semirrecta CA tal que CM = CB. Halla el lugar geométrico de M. 
¿Puedes elaborar dos estrategias diferentes para ello? Justifica. 
 
5.- A fijo. R A, 90º, horario:  / R A, 90º, horario (P) = P‟. 
Halla el lugar geométrico de P para que d( P,P' ) = 32. 
 
(CO,r ) es una circunferencia de centro O y radio r. P exterior fijo. 
Se consideran los triángulos equiláteros (APB) antihorarios con A  (CO,r ). 
Halla el lugar geométrico de B al variar A. 
 
8.- Se dan dos rectas a, b y un punto P que no pertenece a ninguna de ellas. 
Construye un triángulo (PMN) equilátero tal que Ma y Nb. 
Considera dos casos: i) a // b, ii) a y b secantes. 
 
9.- A y O dos puntos fijos en el mismo semiplano respecto de una recta r dada y B  r. 
 i) Construye un paralelogramo (ABCD) de centro O. 
 ii) Halla el lugar geométrico de D al variar B. 
 iii) Halla D para que el paralelogramo (ABCD) sea (a) rectángulo, (b) rombo, (c) cuadrado. 
 
 
10.- Se dan dos puntos M y B fijos y un ángulo  cte.. Se considera la familia de triángulos (ABC) 
 de modo que M es el punto medio de AC y BAC =  cte. 
 Halla el lugar geométrico de C. 
 
17.- Dado aOb y P interior. 
 Construye un segmento AB de modo que A Oa, B Ob y P sea punto medio de AB. 
 
13.- (ABC) cualquiera. MA punto medio de BC. 
 BO y CO los pies de las perpendiculares trazadas por B y C a la recta AMA. 
 i) Demuestra que BO y CO se corresponden en una simetría central. 
 ii) Indica la naturaleza de (BCOCBO) y justifica. 
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Geometría Desplazamiento 2: Nuevas isometrías: composición de simetrías axiales 
 
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DEFINICIÓN 2 
 
1) 
i) ¿Estás de acuerdo que las posibles funciones que permiten superponer la figura sobre sí misma 
son la identidad, dos simetrías axiales de ejes “a” y “b” y una rotación de 180º? 
ii) Halla la imagen de la figura en Sb o Sa. 
iii) ¿Cómo hallarías la imagen de un punto en un solo paso? ¿Cómo nombrarías a esa isometría 
composición? 
iv) Completa el cuadro. ¿Qué observas de “sorprendente”? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
i) Indica cuáles son todas las funciones que permiten superponer la figura. 
 ii) Si Sa y Sb son dos de las simetrías axiales que hallaste en i), halla la imagen de la figura en Sb o Sa. 
iii) ¿Cómo hallarías la imagen de un punto en un solo paso? ¿Cómo nombrarías a esa isometría composición? 
iv) Completa el cuadro. ¿Qué observas de “sorprendente”? 
 
 
 
 
3) 
Dados a, P, P‟ halla b y c de modo que (S b o S a )(P) = P‟ y (S a o S c )(P) = P‟. 
 
4) 
Construye dos triángulos congruentes y nómbralos con el mismo sentido. ¿Qué simetrías axiales 
compondrías para transformar uno en el otro? Discute según tengan o no lados paralelos. 
 
5) 
a) ¿Podrías ahora encontrar una definición alternativa para rotación? Enúnciala. 
b) Según esta definición, ¿la rotación es una isometría? Justifica. 
c) ¿Es equivalente con la definición elaborada en la actividad 1? Justifica. 
 
6) 
Dibuja una figura que sea invariante (que se transforme en sí misma) solamente en dos simetrías axiales, 
además de en la identidad. 
 
7) 
Dibuja una figura que sea invariante solamente en tres simetrías axiales, además de en la identidad. 
o Id RO,180º Sa Sb 
Id 
RO,180º 
Sa 
Sb 
o Id RO,120º, ah RO,240º, ah Sa Sb Sc 
Id 
RO,120º, ah 
RO,240º, ah 
Sa 
Sb 
Sc 
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Geometría Desplazamiento 2: Nuevas isometrías: composición de simetrías axiales 
 
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PROPIEDADES DE LA ROTACIÓN 
 
Responde las siguientes preguntas y en caso de que corresponda, enuncia una propiedad. 
Recuerda que tienes dos definiciones equivalentes de rotación, por lo que en cada caso puedes 
emplear cualquiera de ellas para argumentar tu respuesta. Utiliza la que consideres más 
conveniente. 
 
1.- ¿La rotación es una isometría directa o indirecta? Justifica. 
 
2.- ¿La rotación tiene puntos “fijos” o “unidos” (que su imagen es el mismo punto)? Justifica. 
 
3.- ¿Es conmutativa la composición de dos simetrías axiales de ejes secantes? ¿Sobre qué aspecto de la 
rotación influye? 
 
4.- ¿Existe una relación entre el ángulo determinado por los ejes de dos simetrías axiales y el ángulo de la 
rotación que resulta de su composición? ¿Cuál? Justifica. 
 
5.- Si tenemos una rotación dada por su centro, ángulo y sentido, ¿es posible determinar los ejes de las 
simetrías axiales cuya composición es la rotación? En caso de que existan ¿Cuántos pares de ejes son 
posibles? Justifica. 
 
6.- ¿Cuál es la isometría inversa de la rotación? ¿Es la rotación una isometría involutiva? Justifica. 
 
7.- a) Elabora un algoritmo para hallar la imagen de una recta en esta isometría sin necesidad de utilizar las 
simetrías axiales. Justifica. 
 b) ¿Existe una relación entre el ángulo determinado por dos rectas correspondientes en una rotación y el 
ángulo de rotación? ¿Cuál? Justifica. 
 c) Dadas dos semirrectas correspondientes en una rotación, ¿pueden determinarse su centro y ángulo? 
Justifica y escribe el algoritmo que te permite realizar la construcción. 
 
8.- Ya vimos que hay un caso particular de rotación, la de ángulo 180º, que generalmente se denomina 
SIMETRÍA CENTRAL. Lee nuevamente las preguntas y respóndelas para ese caso particular, 
deteniéndote en aquéllas en las que la respuesta se vea modificada o las situaciones planteadas sean 
diferentes. 
 
AHORA CON MÁS HERRAMIENTAS… 
 
4.- (ABC) equilátero antihorario de circuncentro O. 
 a) Halla la imagen de (ABC) en de cada una de las isometrías que siguen: 
 i) e :    / e = SAB o SBC ii) f :    / f = SBC o SAB 
iii) g :    / g o SAO = SAC iv) h :    / h = SOB o R B, 60º, horario. 
v) j :    / j = R B, 60º, horario o R A, 60º, horario 
vi) k :    / R B, 120º, horario o k = R C, 120º, antih 
vii) m :    / R O, 60º, antih o R O, 240º, horario o m = R O, 120º, horario 
viii) n :    / SAC o n oR C, 90º, horario = SAO o R C, 30º, antih 
 
b) ¿Qué punto(s) del triángulo (ABC) está(n) a menor distancia de su imagen? ¿Y a mayor 
 distancia? 
c) Expresa cada una de las isometrías de la parte a) en su forma canónica. 
 
Se consideran B fijo y C variable, ambos pertenecientes a una circunferencia (C) y los cuadrados (BCDE) 
horarios. 
i) Demuestra que las rectas CD pasan por un punto fijo A. 
ii) Demuestra que las rectas CE pasan por un punto fijo F. 
iii) Demuestra que las rectas DE pasan por un punto fijo J, tal que F es punto medio de AJ. 
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7.- (ABC) antihorario isósceles con A = 120º. 
i) Halla el centro O y el ángulo de la rotación en que a la semirrecta AB le corresponde la semirrecta 
CA. 
 ii) Sean M  AB y N  AC de modo que AM = CN. Indica la naturaleza del (MNO). 
 iii) Halla la imagen (A'B'C') del (ABC) en la rotación de i) y demuestra que B, O, C' 
 alineados y que BAC' = 90º. 
 
11.- (ABCD) cuadrado antihorario de centro O. M punto medio de AB. 
a) Hallar la imagen de (ABCD) en cada una de las siguientes isometrías: 
 
 i) e :    / e = SAC o SBD ii) f :    / f = SBD o SAC 
iii) g :    / g o CD = SDC iv) h :    / h o CM = R B, 90º, horario 
v) j :    / CO o SBC o j = SDB vi) k :    / R D, 90º, horario o CO o k o CA = I 
 
b) ¿Qué punto(s) del cuadrado (ABCD) está(n) a menor distancia de su imagen? ¿Y a mayor 
 distancia? 
 
 c) Expresa cada una de las isometrías de la parte a en su forma canónica. 
 
 
12.- (ABC) antihorario rectángulo en A. f :  la isometría directa que transforma la semirrecta 
 AB en la semirrecta CA. 
 i) Halla P, punto fijo en f. 
 ii) Una circunferencia variable que pasa por A y P corta a AB en D y a AC en E. 
 Demuestra que si O es el centro de la circunferencia, se cumple que PO  DE. 
 iii) SDE :  / SDE( P ) = P‟. Halla el lugar geométrico de P‟ al variar O. 
 iv) f :  / f ( P' ) = P‟‟. Halla el lugar geométrico de P‟‟. 
 
 
14.- i) A y B son dos puntos cualesquiera. Expresa en forma canónica la isometría 
f :    / f = RB,90ªh o RA,90ªh. 
 Justifica e indica los elementos de f, ubicándolos en función de las posiciones de A y de B. 
ii) Sobre los lados de un triángulo (ABC) antihorario y exteriores a él se construyen los cuadrados 
(BCDE) y (ACFG). Si A y B son fijos y C varía libremente demuestra que las rectas GE pasan por un 
punto fijo. 
 
15.- (ABC) antihorario cualquiera. Demuestra que la composición de las rotaciones de centros A, B, C y 
ángulos α, ,  respectivamente y en sentido horario se pueden expresar como una simetría central 
de centro perteneciente a AC. 
 
 
16.- Sean (CO,r ) y A  (CO,r ) fijos y de manera que r  d(A,O)  2r. P variable en (CO,r ). 
 i) R B, -60º : . Para una posición de P, construir B / R B, -60º (A) = P. 
 ii) Halla el lugar geométrico de B al variar P. 
 iii) CB:  / CB (A) = A'. Demostrar que APA' = 90º. 
 iv) Ubica P para que d(A,A') = 2r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DEFINICIONES DE TRASLACIÓN 
DEFINICIÓN 1 
 
 
 
 
 
 
 
Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos sentidos a lo largo de la misma formando una 
franja infinita. 
i) ¿De cuántas maneras puedes „mover‟ la figura (infinita) de manera que al observarla en la posición inicial y 
en la posición final no se note ninguna diferencia? 
ii) Cada una de estas formas de „mover‟ la figura podríamos expresarla mediante una función. 
Indica qué funciones te permiten lograr las superposiciones. 
iii) ¿Qué elementos tuviste en cuenta para definir estas funciones? 
iv) Define la función Traslación en forma explícita (indicando cómo se construye la imagen de un punto, para 
cada punto del plano, al igual que como lo hicimos con la simetría axial). 
 
CON ESTA DEFINICIÓN… 
 
 
 
Dada una circunferencia (CO,r ) y el segmento AB que corta a la circunferencia, se consideran los 
paralelogramos (ABCD) de modo que C(CO,r ). Halla el lugar geométrico de D al variar C. 
 
 
 
Se consideran los trapecios (ABCD) tales que AB = a es fijo, CD es paralelo a AB, variable pero de longitud 
constante igual a 2a y además CAD es recto. 
i) M punto medio de CD. Halla el lugar geométrico de M al variar C. 
ii) Halla el lugar geométrico de D y el lugar geométrico de C. 
iii) Ubica M para que ADC = 60º y para ese caso construir (ABCD) y calcula su área en función de AB = a. 
 
 
 
 
Sea (ABC) con AB fijo y ACB agudo constante. H el ortocentro de (ABC), D el punto diametralmente opuesto 
de C en la circunferencia circunscripta de centro O y M el punto medio de AB. 
i) Prueba que si (ABC) no es rectángulo se cumple que: 
(a) AH // DB, 
 (b) (ADBH) es paralelogramo, 
 (c) D, M, H alineados. 
Distingue según (ABC) acutángulo u obtusángulo. 
 ii) Prueba que CH = 2OM. Distingue según (ABC) acutángulo, rectángulo u obtusángulo. 
 iii) Halla el lugar geométrico de H al variar C. 
 
 
 
 
Tienes dos rectas secantes r y s dos puntos A y B. 
¿Cómo construirías un paralelogramo ABCD de forma que C pertenezca a r y D pertenezca a s? Explica. 
 
 
 
 
¿Cómo construirías un trapecio conociendo sus cuatro lados? Explica. 
 
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DEFINICIÓN 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos sentidos a lo largo de la misma formando una 
franja infinita. 
1) 
a) Marca en la figura (recuerda que se extiende indefinidamente) los ejes de simetría que hacen que la figura 
se transforme en sí misma. 
b) Si compones (si aplicas una y a lo que obtienes le aplicas la otra) dos simetrías axiales contiguas ¿qué 
efecto genera dicha composición sobre cada punto de la figura? 
c) ¿Puedes establecer un vínculo entre la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos y la función 
que definiste en 4?? 
d) La función que definiste en 4?, ¿podrías expresarla como composición de simetrías axiales? Explica. 
 
2) 
a) ¿Podrías ahora encontrar una definición alternativa para traslación? Enúnciala. 
b) Según esta definición, ¿la traslación es una isometría? Justifica. 
c) ¿Es equivalente con la definición elaborada en la actividad 4?? Justifica. 
 
 
PROPIEDADES DE LA TRASLACIÓN 
 
 Responde las siguientes preguntas y en caso de que corresponda, enuncia una propiedad. 
Recuerda que tienes dos definiciones equivalentes de rotación, por lo que en cada caso puedes 
emplear cualquiera de ellas para argumentar tu respuesta. Utiliza la que consideres más 
conveniente. 
 
1.- ¿La traslación es una isometría directa o indirecta? Justifica. 
 
2.- ¿La traslación tiene puntos “fijos” o “unidos” (que su imagen es el mismo punto)? Justifica. 
 
3.- ¿Es conmutativa la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos? ¿Sobre qué aspecto de la 
traslación influye? 
 
4.- ¿Existe una relación entre la distancia entre los ejes de las simetrías y la distancia entre un punto y su 
imagen? ¿Cuál? Justifica. 
 
5.- Si tenemos una traslación dada por su vector, ¿es posible determinar los ejes de las simetrías axiales cuya 
composición es la traslación? En caso de que existan ¿Cuántos paresde ejes son posibles? Justifica. 
 
6.- ¿Cuál es la isometría inversa de la traslación? ¿Es la traslación una isometría involutiva? 
 
7.- a) Elabora un algoritmo para hallar la imagen de una recta en esta isometría sin necesidad de utilizar las 
simetrías axiales. Justifica. 
 
 b) Dadas dos semirrectas correspondientes en una traslación, ¿puede determinarse su vector? Justifica. 
 
8.- a) Responde las preguntas 1 a 7 para el caso particular en que los ejes de las simetrías axiales que 
compuestas generan la traslación son coincidentes. 
 b) ¿Qué „etiqueta‟ le pondrías a esta isometría? 
 5? 
 
 6? 
 
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COMPOSICIONES PARTICULARES 
 
 
Investiga la expresión canónica de las siguientes funciones: 
 
1) f :   / f = CB o CA con A  B 
2) g :   / g = CC o CB o CA distinguiendo según si están o no alineados los puntos A, B, C. 
3) j :   / j = Tv2 o Tv1 
4) h :   / h = RA, o RB, distinguiendo según el sentido de  y . 
5) k :   / k = RA,, ah o Tv1 
 
 
 
AHORA CON MÁS HERRAMIENTAS… 
 
(ABCD) cuadrado de centro O. 
 a) Halla la imagen de (ABCD) en de cada una de las isometrías que siguen: 
 
i) e :    / e = SBC o SAD ii) j :    / j = TAC o CO 
iii) f :    / f = SAD o SBC iv) k :    / R C, 90º, antih o TAD o k = I 
 v) g :    / g = TDA o SCD vi) m :    / m = R B, 90º, antih o CA o TBA 
 vii) h :    / h o TDB = SAC 
 
b) ¿Qué punto(s) del cuadrado (ABCD) está(n) a menor distancia de su imagen? ¿Y a mayor distancia? 
 
c) Expresa cada una de las isometrías de la parte a) en su forma canónica. 
 
Sobre los lados de un triángulo (ABC) antihorario y exteriores a él se construyen los cuadrados 
(BCDE) y (ACFG) antihorarios. Si A y B son fijos y C varía libremente demostrar que las rectas GE 
son paralelas. 
 
 
 
(ABCD) paralelogramo. 
Halla la imagen de (ABCD) en de cada una de las isometrías que siguen: 
 
 i) e :    / e = CB o CA ii) f :    / f = CC o CB o CA 
 iii) g :    / g = TCO o TAD o TAB iv) h :    / TCO o TAB o TAD o h o TDA = TCB 
 v) j :    / TBO o j o CA = TCB o CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COMPOSICIÓN DE TRES SIMETRÍAS AXIALES 
 
 
 
 
 
Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos sentidos a lo largo de la misma formando una franja infinita. 
1) 
a) Marca en la figura los ejes de las simetrías que compuestas permiten superponer la figura con sí misma. 
b) ¿Existe alguna manera de expresar esa composición como alguna de las isometrías que conocemos hasta 
ahora? Justifica. 
A la composición de estas tres simetrías axiales (dispuestas en esa posición y en ese orden) le llamaremos 
ANTITRASLACIÓN. 
 
2) 
a) ¿Qué posibles posiciones pueden tener tres rectas en un plano? 
b) Halla la expresión canónica de la composición de las tres simetrías axiales para cada uno de los casos 
anteriores. 
c) ¿Hay algún OVNI (es decir, alguna composición que no la reconozcamos como algo ya conocido)? 
 
3) ¿Será posible transformar la composición de tres simetrías axiales (como en los casos OVNI) en una 
composición equivalente pero donde los ejes estén dispuestos como en la parte 1? 
 
 
PROPIEDADES DE LA ANTITRASLACIÓN 
 
 
 
Responde las siguientes preguntas y en caso de que corresponda, enuncia una propiedad. 
 
1.- ¿La antitraslación es una isometría? Justifica. 
 
2.- ¿La antitraslación es una isometría directa o indirecta? Justifica. 
 
3.- ¿La antitraslación tiene puntos “fijos” o “unidos” (que su imagen es el mismo punto)? Justifica. 
 
4.- Utilizando sólo dos de las isometrías ya conocidas, expresa de tres maneras distintas la composición de 
tres simetrías axiales de ejes no paralelos ni concurrentes. 
 
5.- Elabora un algoritmo para hallar la imagen de un punto en esta isometría sin necesidad de utilizar las 
simetrías axiales. Justifica. 
 
6.- Si tenemos una antitraslación dada por su eje y vector, ¿es posible determinar los ejes de las simetrías 
axiales cuya composición es la antitraslación? En caso de que existan ¿Cuántas ternas de ejes son posibles? 
Justifica. 
 
7.- ¿Cuál es la isometría inversa de la antitraslación? ¿Es la antitraslación una isometría involutiva? 
 
8.- a) Elabora un algoritmo para hallar la imagen de una recta en esta isometría sin necesidad de utilizar las 
simetrías axiales. Justifica. 
 
 b) Dadas dos semirrectas correspondientes en una antitraslación, ¿pueden determinarse su eje y vector? 
Justifica. 
 
9.- ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que tienen por extremos un punto 
y su imagen en la antitraslación? 
 
 
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AHORA CON MÁS HERRAMIENTAS: INTEGRANDO LO VISTO EN LA FICHA 
 
 
 
 
 (ABEF) y (BCDE) cuadrados como en la figura. 
Halla la expresión canónica de cada una de las isometrías que se indican: 
 i) f :   / SBE o f o SAB = SAE . 
 ii) g:   / SBE o g = SAB o SAE . 
 iii) h :   / h o CE = SBD . 
 iv) j :   / SFE o j o R B, 90º, antih = I 
 v) k :   / k o T 2FA = SEC . 
 
 
(ABC) isósceles con AC = BC y ACB = . 
i) Determina f :   / f = SAB o SBC o SAC . 
ii) Halla  para que el módulo del vector sea igual a la altura CH del (ABC). 
 
 
 
Se consideran una recta m y una circunferencia (CO, r ) exterior. 
i) Construye un triángulo (PQR) isósceles de base PQ = 6r, R(C O, r ) y de modo que los respectivos puntos 
medios de PR y QR pertenezcan a la recta m. 
ii) Halla el lugar geométrico de P al variar R. Construir. 
iii) Halla el lugar geométrico de Q al variar R. Construir. 
 
 
 
(ABCD) cuadrado de lado a. At AC, AC :    / At AC, AC ( P ) = P'. 
Halla el lugar geométrico de P para que d( P, P' ) = (a10)/2. 
 
 
 
(ABC) equilátero. 
Determina e y v para que At e, v (semirrecta AC ) = semirrecta BA. 
 
 
 
Dadas dos rectas r, s y una circunferencia (C) y un segmento de longitud 'a', construye un rectángulo (ABCD) 
tal que r sea paralela media, A  s, C  (C) y d(A,B) = a. 
Considera dos casos según (ABCD) horario o antihorario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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