PROBABILIDADE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 
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1. Um experimento consiste em observar a soma dos números de 2 dados 
quando eles são jogados. 
a)  Descreva o espaço amostral. 
S =
1−6( ) 2−6( ) 3−6( ) 4−6( ) 5−6( ) 6−6( )
1−5( ) 2−5( ) 3−5( ) 4−5( ) 5−5( ) 6−5( )
1− 4( ) 2− 4( ) 3− 4( ) 4− 4( ) 5− 4( ) 6− 4( )
1−3( ) 2−3( ) 3−3( ) 4−3( ) 5−3( ) 6−3( )
1− 2( ) 2− 2( ) 3− 2( ) 4− 2( ) 5− 2( ) 6− 2( )
1−1( ) 2−1( ) 3−1( ) 4−1( ) 5−1( ) 6−1( )
"
#
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
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b)  Assumido todos os resultados equiprováveis, encontre a probabilidade da 
soma ser 7 e a probabilidade da soma ser maior que 10. 
P soma = 7( ) = P 1−6( )+ P 2−5( )+ P 3− 4( )+ P 4−3( )+ P 5− 2( )+ P 6−1( )
= 6× 1
36
=
1
6
P soma >10( ) = P 5−6( )+ P 6−6( )+ P 6−5( ) = 3× 136 =
1
12
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2. Um experimento consiste em observar 6 pulsos consecutivos em um 
enlace de comunicações. Pulso pode ser positivo, negativo ou ausente. 
Experimentos individuais que determinam o tipo de pulso são 
independentes. 
 i-ésimo pulso: positivo: {xi = +1} negativo: {xi = -1} ausente: {xi = 0} 
 Assuma que P(xi = +1) = 0,4 e P(xi = -1) = 0,3. 
a)  Encontre a probabilidade de todos os pulsos serem positivos. 
b)  Encontre a probabilidade dos 3 primeiros serem positivos, os 2 seguintes 
serem negativos e o último ausente. 
P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = +1( ) , x5 = +1( ) , x6 = +1( )!" #$=
P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = +1( )P x5 = +1( )P x6 = +1( ) = 0,46 = 0,0041
P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = −1( ) , x5 = −1( ) , x6 = 0( )"# $%=
P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = −1( )P x5 = −1( )P x6 = 0( ) =
0,43 ×0,32 ×0,3= 0,0017
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3. Um submarino atira 3 torpedos contra um porta-aviões. O porta-aviões só 
será afundado de 2 ou mais torpedos o atingirem. Sabendo que a 
probabilidade de um torpedo acertar o porta-aviões é de 0,4, qual é a 
probabilidade de afundar o porta-aviões. 
P não acertar nenhum torpedo( ) =
3
0
!
"
#
#
$
%
&
& 0,4( )
0
1−0,4( )
3
= 0,216
P acertar 1 torpedo( ) =
3
1
!
"
#
#
$
%
&
& 0,4( )
1
1−0,4( )
2
= 0,432
P acertar 2 torpedos( ) =
3
2
!
"
#
#
$
%
&
& 0,4( )
2
1−0,4( )
1
= 0,288
P acertar 3 torpedos( ) =
3
3
!
"
#
#
$
%
&
& 0,4( )
3
1−0,4( )
0
= 0,064
P afundar o porta-aviões( ) = P acertar 2 torpedos( )+ P acertar 3 torpedos( ) = 0,352
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4. Variável aleatória X: 0 ⇒ P(0) = α	
	
 	
 	
 	
1 ⇒ P(1) = 1 - α	
 
a)  Média: 
b)  Variância: 
mX = E X!" #$= 0 ⋅α +1⋅ 1−α( ) =1−α
σ X
2 = E X 2!" #$−mX
2
E X 2!" #$= 0
2 ⋅α +12 ⋅ 1−α( ) =1−α
σ X
2 = 1−α( )− 1−α( )
2
= 1−α( )α
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5. A PDF de uma variável aleatória X é dada por: 
a)  Determine k. 
b)  Seja a = -1 e b = 2. Calcule P(|X| ≤ 1/2). 
f X x( ) =
k a ≤ x ≤ b
0 fora
"
#
$
%$
f X x( )dx−∞
∞
∫ =1⇒ k dxa
b
∫ =1⇒ k = 1b− a
f X x( ) =
1
3
 −1≤ x ≤ 2
0 fora
#
$
%
&
%
P X ≤1 2( ) = P − 12 ≤ X ≤
1
2
#
$
%
&
'
(= f X x( )dx−1 2
1 2
∫ = 13dx−1 2
1 2
∫ = 13
x -1 0 2 -1/2 1/2 
fX(x) 
1/3 
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6. Assuma que a altura das nuvens é uma variável aleatória gaussiana X com 
média 1830 m e desvio padrão de 460 m. Qual a probabilidade das nuvens 
estarem acima de 2750 m? 
FX x( ) = P X ≤ x( ) =
1
2
1+ erf
x −mx
2σ X
!
"
#
#
$
%
&
&
'
(
)
)
*
+
,
,
P X > 2750( ) =1− P X ≤ 2750( ) =1− 12 1+ erf
2750−1830
2460
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
=
1
2
−
1
2
erf 2( ) = 12 −
1
2
⋅0,954
= 0,023
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7. Encontre a covariância de X e Y para 
a)  X e Y independentes. 
b)  X e Y relacionados por Y = aX + b. 
Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X!" #$E Y!" #$−mXmY =mXmY −mXmY = 0
Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X aX +b( )!" #$−mXmY
E XY!" #$= E X aX +b( )!" #$= E aX 2 +bX!" #$= aE X 2!" #$+bE X!" #$= aE X 2!" #$+bmX
mY = E aX +b!" #$= amX +b
Cov XY!" #$= aE X
2!
"
#
$+bmX −mX amX +b( ) = aE X 2!" #$− amX2 = aσ X2
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8. Considere um processo aleatório X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) onde ω é uma 
constante e A e B são variáveis aleatórias 
a)  Mostre que a condição E[A] =E[B] = 0 é necessária para X(t) ser 
estacionário. 
b)  Mostre que X(t) é estacionário no sentido amplo (WSS) se e somente se as 
variáveis A e B forem descorrelacionadas com igual variância, ou seja, 
E[AB] = 0 
e 
E[A2] = E[B2] =σ2 
mX t( ) = E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!" #$= E A!" #$cos ωt( )+ E B!" #$sen ωt( )
Para X(t) ser estacionário, mX(t) tem que ser independente de de t, então 
E A!" #$= E B!" #$= 0
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E X 2 0( )!" #$= E X 2
π
2ω
!
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,= RX 0( ) =σ X2
mas X 0( ) = A e X π2ω
!
"
#
$
%
&= B
Então, E A2!" #$= E B
2!
"
#
$=σ X
2 =σ 2
Se X(t) é estacionário no sentido amplo, então 
RX t,t +τ( ) = E X t( ) X t +τ( )!" #$= E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )( ) Acos ωt +τ( )+ Bsen ωt +τ( )( )!" #$=
 E A2 cos ωt( )cos ωt +τ( )!" #$+ E ABcos ωt( )sen ωt +τ( )!" #$+
 E ABsen ωt( )cos ωt +τ( )!" #$+ E B2 sen ωt( )sen ωt +τ( )!" #$=
 1
2
E A2!" #$+ E B
2!
"
#
${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )
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RX t,t +τ( ) =
1
2
E A2!" #$+ E B
2!
"
#
${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )
mas E A2!" #$= E B
2!
"
#
$=σ
2
Então,
RX t,t +τ( ) =σ 2 cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )
Note que RX(t, t+τ) será função apenas de τ se E[AB]=0. 
 
Assim, se E[AB]=0 e E[A2] = E[B2] = σ2 , então temos: 
 
mX(t) = 0 
 RX(t, t+τ) = σ2cosωτ = RX(τ) 
 
logo X(t) é WSS!!! 
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9. Mostre que se X(t) é WSS, então, 
 
E[[X(t + τ) - X(t) ]2] = 2[RX(0) - RX(τ)] 
 
onde RX(τ) é a autocorrelação de X(t). 
E X t +τ( )− X t( )"# $%
2"
#&
$
%'
= E X 2 t +τ( )− 2X t +τ( ) X t( )+ X 2 t( )"# $%=
 E X 2 t +τ( )"# $%− 2E X t +τ( ) X t( )"# $%+ E X 2 t( )"# $%=
 RX 0( )− 2RX τ( )+ RX 0( ) =
 2 RX 0( )− RX τ( )"# $%
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10. Um processo aleatório X(t) é dado pela soma de N sinais complexos: 
 
 
 
 
onde An é uma variável aleatória representando a amplitude do n-ésimo sinal. A 
variável aleatória Θn é uniformemente distribuída no intervalo {0, 2π}. An e Θn são 
estatisticamente independentes. Encontre a autocorrelação de X(t). 
X t( ) = An exp j2π f0t + jΘn( )
n=1
N
∑
RX τ( ) = E X * t( ) X * t +τ( )!" #$
= E An exp − j2π f0t − jΘn( ) Am exp j2π f0 t +τ( )+ jΘm( )
m=1
N
∑
n=1
N
∑
!
"
(
#
$
)
= exp j2π f0τ( ) E
m=1
N
∑
n=1
N
∑ AnAm!" #$E exp j Θm −Θn( ){ }!" #$
Pois An e Θn são estatisticamente independentes. 
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Entretanto, 
E exp j Θm −Θn(
){ }#$ %&= E cos Θm −Θn( )#$ %&+ jE sen Θm −Θn( )#$ %&
= cos θm −θn( )+ jsen θm −θn( )#$ %&0
2π
∫0
2π
∫ dθmdθn
=
1 para m ≠ n
0 para m = n
)
*
+
,+
Logo, 
RX τ( ) = exp j2π f0τ( ) E An2!" #$
n=1
N
∑
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11. Um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo possui função de 
autocorrelação: 
 
 
 
onde A é uma constante. Encontre o espectro de potência deste processo. 
RX τ( ) = Aexp −3 τ( )
S f( ) = RX τ( )−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= Aexp −3 τ( )−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= A exp − 3+ j2π f( )τ$% &'dτ0
∞
∫ + P exp 3− j2π f( )τ$% &'dτ−∞
0
∫
=
A
3+ j2π f
+
A
3− j2π f
=
6A
9+ 4π 2 f 2
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12. A relação entre a entrada e a saída de um diodo é: 
Seja X(t) um processo aleatório gaussiano com média zero e autocorrelação 
dada por: 
 
Encontre a média, a autocorrelação e a densidade espectral de potência de Y(t). 
 
 média: 
Y t( ) = X 2 t( )
RX τ( ) = exp −α τ( ) α > 0
mY = E Y t( )!" #$= E X 2 t( )!" #$
= RX 0( ) = exp 0( )
=1
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Autocorrelação: 
 
 
 
mas X(t) e X(t – τ) são variáveis aleatórias gaussianas com média zero, então: 
RY τ( ) = E Y t( )Y t −τ( )"# $%= E X 2 t( ) X 2 t −τ( )"# $%
RY τ( ) = E X 2 t( )!" #$E X 2 t −τ( )"# $%+ 2 E X t( ) X t −τ( )"# $%{ }
2
= RX 0( )RX 0( )+ 2 RX τ( )!" #$
2
=1+ 2exp −2α τ( ) α > 0
E X 2 t( ) X 2 t −τ( )!" #$= E X 2 t( )!" #$E X 2 t −τ( )!" #$+ 2 E X t( ) X t −τ( )!" #${ }
2
(provar) 
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Densidade espectral de potência: 
SY f( ) = RY τ( )−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= 1+ 2exp −2α τ( )$% &'−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= exp − j2π f τ( )dτ−∞
∞
∫ + 2 exp − j2π f τ − 2α τ( )dτ−∞
∞
∫
= δ f( )+ 2α
π 2 f 2 +α 2
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13. Suponha que um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo 
com densidade espectral de potência SX(t) é a entrada de um filtro como 
mostrado abaixo. Encontre a densidade espectral de potência do 
processo Y(t) de saída. 
Atraso 
T 
Σ
X(t) Y(t) + 
-	
Y t( ) = X t( )− X t −T( )
h t( ) = δ t( )−δ t −T( )Resposta ao impulso do filtro: 
H f( ) =1− exp − j2π fT( )
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Então, 
SY f( ) = H f( )
2
SX f( )
= 1− exp − j2π fT( )
2
SX f( )
= 1− cos 2π fT( )( )
2
+ sen2 2π fT( )!"#
$
%&
SX f( )
= 2 1− cos 2π fT( )( )SX f( )
exp ± jθ( ) = cosθ ± jsenθ
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14. Um processo gaussiano estacionário X(t) com média zero e densidade 
espectral de potência SX(f) é aplicado em um filtro linear cuja resposta ao 
impulso h(t) é mostrada abaixo. Uma amostra Y do processo aleatório é 
tomada na saída do filtro no tempo T. 
 
 
 
 
a) Determine a média e a variância de Y. 
b) Qual é a função densidade de probabilidade de Y? 
( )th
t
T
1
T0
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a)  Saída do filtro 
Fazendo T – τ = u, então, o valor da amostra de Y(t) em t = T é igual a 
 
A média de Y é portanto, 
Y t( ) = h τ( ) X t −τ( )dτ−∞
∞
∫
=
1
T
X t −τ( )dτ0
T
∫
Y = 1
T
X u( )du0
T
∫
E Y!" #$=
1
T
E X u( )du0
T
∫"#$
%
&'
=
1
T
E X u( )!" #$du0
T
∫ = 0
( )th
t
T
1
T0
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e a variância de Y é 
 
 
 
 
mas 
 
 
 
então, 
σY
2 = E Y 2!" #$− E Y!" #$
2
= E Y 2!" #$ = RY 0( )
σY
2 = SY f( )df−∞
∞
∫ = SX f( ) H f( )
2
df
−∞
∞
∫
H f( ) = h t( )exp − j2π f t( )dt−∞
∞
∫ = 1T exp − j2π f t( )dt0
T
∫ = 1T
exp − j2π f t( )
− j2π f
0
T
=
1
2π f T
1− exp − j2π f T( )!" #$= sinc f T( )exp − jπ f T( )
σY
2 = SY f( )df−∞
∞
∫ = SX f( )sinc2 f T( )df−∞
∞
∫
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b) Como a entrada do filtro é gaussiana, segue que a saída do filtro também é 
gaussiana. Então, a função densidade de probabilidade de Y é dada por: 
fY y( ) =
1
2πσY
exp − y
2
2σY
2
"
#
$$
%
&
''
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15. Seja X(t) e Y(t) definidos por 
 
X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) 
Y(t) = Bcos(ωt) - Asen(ωt) 
 
 onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias independentes 
possuindo média nula e variância σ2. Encontre a correlação cruzada de X(t) 
e Y(t). 
RXY t1,t2( ) = E X t1( )Y t2( )!" #$
= E Acos ωt1( )+ Bsen ωt1( )( ) Bcos ωt2( )− Asen ωt2( )( )!" #$
= E AB!" #$ cos ωt1( )cos ωt2( )− sen ωt1( )sen ωt2( )( )
−E A2!" #$ cos ωt1( )sen ωt2( )( )
−E B2!" #$ sen ωt1( )cos ωt2( )( )
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Como 
E AB!" #$= E A!" #$E B!" #$= 0
E A2!" #$= E B
2!
"
#
$=σ
2
Então, RXY t1,t2( ) = −E A2!" #$ cos ωt1( )sen ωt2( )( )
+E B2!" #$ sen ωt1( )cos ωt2( )( )
=σ 2 sen ωt1( )cos ωt2( )− cos ωt1( )sen ωt2( )( )
=σ 2 senω t1 − t2( )
RXY τ( ) =σ 2 sen ωτ( )