Exercícios Resolvidos Vetores

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1) A figura representa um paralelepípedo retangular. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes 
afirmações:
• Ortogonal (┴) – dois vetores que formam um ângulo reto
• Coplanares – saem do mesmo plano
• // - Possuem a mesma direção
• = - modulo, direção e sentido iguais
( V ) EG = - CA
( V ) |EH| = |CB|
( V ) |DE| = |BG|
( F ) AH // FC
( V ) AG ┴ FE
( F ) AB, CG e EH são coplanares
( V ) AB, DC e CF são coplanares
( V ) AB, BC e CG são coplanares
( F ) DC é paralelo BCG
( F ) DE é ortogonal BCG
a) DH = BF ( V )
b) AB = -HF ( F )
c) AB ┴ CG ( V )
d) AF ┴ BC ( V )
e) |AC| = |HF| ( V )
f) |AG| = |DF| ( V )
g) BG // ED ( F )
h) AB, BC e CG são coplanares ( F )
i) AB, FG e EG são coplanares ( V )
j) EG, CB e HF são coplanares ( V )
k) AC, DB e FG são coplanares ( V )
l) AB, BG e CF são coplanares
m)AB, DC e CF são coplanares ( V )
n) AE é ortogonal ao plano ABC( V )
o) AB é ortogonal ao plano BCG ( V )
p) DC é paralelo ao plano HEF ( V )
2) Com base na figura, determine os vetores a seguir expressando-os com origem no ponto A
OC + CH = AE
EH + FG = AC
AF + FO + AO = AO
2AE + 2AF = AC
EO + BG = AO
2OE + 2OC = AD
FE + FG = AD
OG – HO = AO
½ BC + BC = ?????
q) EO = OG ( V ) 
r) AF = CH ( F )
s) DO = HG ( V ) 
t) |C – O|= |O – B| ( V ) 
u) |H – O| = |H – D| ( F )
v) H – E = O – C ( F )
w) |AC| = |BD| ( V ) 
x) |OA| = ½ |DB| ( V ) 
y) AF // CD ( V ) 
z) GF // HG ( F )
aa) AO // OC ( V ) 
ab) AB ┴ OH ( V ) 
ac) EO ┴ CB ( V ) 
ad) AO ┴ HF ( F )
ae) OB = -FE ( V ) 
3) Represente os seguintes pontos no espaço:
O(0,0,0) ; A(4,0,0); B(0,2,0); C(0,0,5); D(4,2,0); E(4,0,5); F(0,2,5) e G(4,2,5)
4) Dados os pontos A(3,-2), B(4,-1), C(-3,2) e D(5,-4), pede-se:
a) Os vetores U = AB; V = BC; W = CD
U = AB
U = B – A
U = (4,-1) + (-3,2)
U = (1,1)
V = BC
V = C – B
V = (-3,2) + (-4,1)
V = (-7,3)
W = CD
W = D – C
W = (5,-4) + (3,-2)
W = (8,6)
b) Os valores de a e b de modo que U = aV + bV
U = aV + bW
(1,1) = a(-7,3) + b(8,6)
(-7a,3a) + (8b, -6b) = (1,1)
sistema
-7a + 8b =1 (3) (6)
 3a – 6b = 1 (7) (8)
-21a + 24b = 3
+21a – 42b = 7
b = -10/18
-42a + 48b = 6
 24a – 48b = 8
a = -7/18
c) Até que ponto o segmento orientado AB deve ser prolongado (no mesmo sentido de AB) para que 
seu comprimento fique quintuplicado.
5AB = 5B – 5A
5AB = 5(4,-1) + 5(-3,2)
5AB = (5,5)
Prova que é 5x maior
|AB| = √2
|5AB| = √50
√50 / √2 = 5
5) Dados os vetores U = (2,1,m), V= (m+2,-5,2) e W=(2m,8,m), pede-se
a) Determine o valor de m de modo que o vetor U + v, seja ortogonal ao vetor W-U
(U+V).(W-U)=0
(U+V) = [(2,1,m) + (m+2,-5,2)] 
(U+V) = (m+4,-4,m+2)
(W-U) = [(2m,8,m) + (-2,-1,-m)]
(W-U) = (2m-2,7,0)
(2m-2,7,0) . (m+4,-4,m+2) = 0
2m² +6m -36 =0
Δ = b² – 4ac
Δ = 6² – 4.2.(-36)
Δ = 324
m = (-b ± √Δ )/2.a
m' = (-6 + 18)/4
m' = 3
m'' = (-6 - 18)/4
m'' = - 6
b) A área do paralelogramo formado pelos vetores U e V
área = |UxV|
Área = | (2,1,3)x(5,-5,2)|
Área = |(10,-5,6)|
Área = √161 u.a. 
c) Um vetor ortogonal a U e V de módulo 5
|
|UxV| = 5|UxV|
|UxV| = 5| (2,1,3)x(5,-5,2)| 
|UxV| = 5|√(10,-5,6)|
|UxV| = 5√150
[(10/5√150),(-5/5√150),(5/5√150)]
(2√150,-√150,√150)
d) O ângulo entre U e V
|U| =√(2²+1²+3²)
|U| = √14
|V| =√(5²+(-5)²+2²)
|V| = √54
cosθ = (U.V) / (|U|.|V|)
cosθ = (10,-5,6) / (|14|.|54|)
cosθ = (10 - 5 +6) / (√54*√14)
cosθ = 11 / √756
cosθ = 11.√756 /756
θ = 66,42º