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5910187 – Biofísica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 3 
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Processos de Difusão 
 
Vamos agora discutir alguns processos de difusão que são 
diretamente relevantes para a difusão em células e através de 
membranas celulares. 
 
Processos de Difusão Invariantes no Tempo 
 
Equilíbrio 
 
Por definição, no equilíbrio o fluxo é zero e a concentração é 
independente do tempo: φ = 0 e c(x,t) = c(x). 
 
Neste caso, a lei de Fick nos dá que: 
φ = −D dc x( )dx = 0⇒
dc x( )
dt = 0⇒ c = constante. (1) 
 
No equilíbrio a concentração é constante, independente do tempo e 
do espaço. 
 
Note que dizer que o fluxo é zero não implica que não haja 
movimento de partículas. O importante aqui é que o fluxo total ou 
líquido seja zero. 
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Estado Estacionário 
 
Em um regime estacionário, tanto o fluxo como a concentração são 
independentes do tempo, mas o fluxo (o fluxo líquido) não é nulo. 
 
Nesta situação, a equação da continuidade, tcx ∂∂−=∂∂φ , nos 
dá: 
∂φ
∂x = 0⇒ φ = constante. (2) 
 
O fluxo líquido é constante, independente do espaço e do tempo 
(mas note que não é nulo como no caso do item anterior!). 
 
Neste caso, a lei de Fick pode ser escrita trocando-se a derivada 
parcial de c em relação a x por uma derivada total, 
φ = −D ∂c
∂x = −D
dc
dx . (3) 
 
Esta equação pode ser integrada e sua solução geral é 
( ),)()( 00 xxD
xcxc −−= φ (4) 
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onde x0 é uma constante de integração que dá o valor da 
concentração em algum ponto de referência definido pelas condições 
de contorno do problema. 
 
Portanto, em um regime estacionário o fluxo é constante e a 
concentração é uma função linear da distância x, como mostrado na 
figura abaixo. 
 
 
Um regime estacionário de difusão pode ocorrer quando houver um 
grande reservatório de partículas interagindo difusivamente com um 
sistema contendo poucas partículas. 
 
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Porém, num caso mais realista, tanto o fluxo como a concentração 
dependem do tempo e do espaço e somente a solução da equação de 
difusão pode nos revelar como eles se comportam. 
 
Processos de Difusão Dependentes do Tempo 
 
O estudo das soluções da equação de difusão para situações 
dependentes do tempo está além do escopo deste curso. Porém, 
vamos apresentar a solução para um caso importante, a saber, o de 
uma fonte pontual de partículas. 
 
Este caso corresponde a uma situação física em que se colocam n0 
moles/cm2 de partículas na posição x = 0 em t = 0 (pense num pingo 
de tinta caindo sobre uma tigela com água). 
 
A solução da equação de difusão (equação 9 da aula 1) para este 
caso particular e para t > 0 pode ser obtida pelo método de separação 
de variáveis (isto não será feito aqui) dando: 
,
4
),( 40
2 Dtxe
Dt
ntxc −=
π para t > 0. (5) 
 
Esta solução tem a forma espacial de uma distribuição gaussiana 
centrada na origem (compare com a equação 8 da aula 2). À medida 
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que o tempo aumenta, a distribuição fica mais e mais espalhada e a 
sua altura diminui. 
 
A largura (medida pelo desvio padrão) da distribuição aumenta no 
tempo como Dt2 , mas a área abaixo da curva permanece 
constante (pois o número de partículas se conserva). Isto está 
ilustrado na figura abaixo à esquerda. 
 
 
Na figura da direita, vemos como o valor de c(x,t) se comporta no 
tempo para três posições fixas (diferentes da origem). Para cada 
posição o comportamento é qualitativamente o mesmo: a 
concentração começa como c(x,0) = 0, aumenta para um valor 
máximo e então decai se aproximando assintoticamente de um valor 
de equilíbrio (este decaimento vai com t-1/2). 
 
 
 
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Difusão através de Membranas 
 
Membranas Homogêneas 
 
Estado Estacionário 
 
Vamos começar estudando o regime estacionário de difusão de um 
soluto através de uma membrana homogênea. 
 
 
Vamos considerar uma membrana que separa duas regiões, 
chamadas de interior e exterior. A membrana tem espessura d e 
separa duas soluções que contém o soluto n nas concentrações cni no 
interior e cne no exterior (veja a figura acima). 
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A concentração do soluto dentro da membrana é cn(x) (note que 
estamos supondo estado estacionário, portanto não há dependência 
com t). 
 
Vamos supor que a membrana é homogênea e que o coeficiente de 
difusão do soluto n através da membrana é Dn. O fluxo por difusão 
das partículas do soluto n através da membrana será indicado por φn. 
 
Como estamos supondo um regime estacionário, o fluxo φn das 
partículas do soluto através da membrana é constante e cn(x) 
obedece à equação (4), 
( ).)()( 00 xxD
xcxc
n
n
nn −−=
φ
 (6) 
 
Fazendo x0 = 0, temos: 
.)0()( x
D
cxc
n
n
nn
φ
−=
 (7) 
Aplicando esta equação para x = d, 
( ))()0()0()( dcc
d
Dd
D
cdc nnnnnnn −=⇒−=− φ
φ
. (8) 
 
Substituindo este valor de φn em (7) obtemos, 
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[ ] .)()0()0()(
d
xdcccxc nnnn −−= (9) 
 
Esta equação expressa o comportamento da concentração de soluto 
no interior da membrana em função de dois parâmetros, cn(0) e 
cn(d). Estes são os valores da concentração nas interfaces entre a 
membrana e as soluções do lado interior e do lado exterior, 
respectivamente (interfaces membrana-solução). 
 
Numa interface membrana-solução, o soluto está distribuído de 
acordo com a sua solubilidade na membrana e no solvente. 
 
Vamos supor que o solvente é o mesmo dos dois lados da 
membrana, por exemplo, água. Neste caso, define-se o coeficiente 
de partição membrana-solução para o soluto n como: 
.
)()0(
e
n
n
i
n
n
n c
dc
c
ck == (10) 
 
Este coeficiente mede a razão entre a concentração do soluto na 
membrana e na solução, numa situação de equilíbrio. Se kn > 1, o 
soluto é mais solúvel na membrana do que na solução; se kn < 1, o 
soluto é mais solúvel na solução do que na membrana. 
 
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Por exemplo, como se mede o coeficiente de partição para um dado 
soluto n na interface água-óleo? Joga-se água, óleo e o soluto n em 
um recipiente e agita-se. Depois de algum tempo, como a água e o 
óleo são imiscíveis, o óleo estará flutuando sobre a água (figura 
abaixo). O soluto n estará distribuído pelos dois meios conforme seu 
coeficiente de partição água-óleo kn. Se ele for mais solúvel no óleo, 
sua concentração no óleo será maior do que na água (figura da 
esquerda abaixo). Se ele for mais solúvel na água, sua concentração 
na água será maior do que no óleo (figura da direita abaixo). 
 
 
Em termos de kn, a equação (9) pode ser reescrita como 
[ ] .)(
d
xcckckxc en
i
nn
i
nnn −−= (11) 
Note que esta equação só exige o conhecimento das concentrações 
do soluto n nas soluções exterior e interior (cni e cne) e do coeficiente 
de partição kn. 
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A equação(11) permite uma análise gráfica do comportamento de 
cn(x) através da membrana. O gráfico da figura abaixo foi construído 
supondo que cni > cne, de maneira que a concentração diminui 
linearmente à medida que cruzamos a membrana do interior para o 
exterior (se cni < cne, a concentração aumentaria linearmente). 
 
Se kn = 1, a concentração é uma função contínua de x para qualquer 
ponto. Se kn ≠ 1, a concentração é uma função descontínua nas 
interfaces entre a membrana e a solução. 
 
Em termos do coeficiente de partição kn, o fluxo (equação 8) pode 
ser escrito como: 
φn =
Dnkn
d cn
i − cne( ) . (12) 
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Define-se a permeabilidade da membrana ao soluto, Pn, como: 
d
kDP nnn = . (13) 
 
A permeabilidade é proporcional ao coeficiente de difusão e ao 
coeficiente de partição e inversamente proporcional à espessura da 
membrana. As dimensões de Pn são: 
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
,
tempo
ocompriment
ocomprimenttempo
área
d
D
=
×
==P 
ou seja, Pn tem dimensões de velocidade (por exemplo, cm/s). 
 
Em termos da permeabilidade Pn o fluxo estacionário através de uma 
membrana homogênea é descrito pela equação 
φn = Pn cni − cne( ) . (14) 
 
Segundo esta equação, a direção do fluxo de soluto é para fora da 
membrana (φn > 0) se a concentração do soluto no interior for maior 
do que a concentração no exterior. Na situação oposta, o fluxo é para 
dentro da membrana (φn < 0). 
 
A equação (14) é algumas vezes chamada de lei de Fick para 
membranas, pois mostra que o fluxo por difusão através da 
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membrana ocorre no sentido contrário ao do gradiente de 
concentração. 
 
Um tipo de transporte de partículas cujo sentido de movimento é 
contrário ao do gradiente de concentração das partículas é chamado 
de transporte passivo. Portanto, o fluxo por difusão através de uma 
membrana é passivo. 
 
Note que o fluxo de soluto é proporcional ao produto da diferença de 
concentração pela permeabilidade. Se Pn for grande, dizemos que a 
membrana é altamente permeável ao soluto n. Se Pn for pequena, 
dizemos que a membrana é pouco permeável ao soluto n. Já se Pn = 
0, dizemos que a membrana é impermeável ao soluto n. 
 
O caso Pn = 0 é possível quando kn = 0 (o soluto não é solúvel na 
membrana), ou quando Dn = 0 (o soluto não pode se difundir pela 
membrana), ou quando ambos são nulos. 
 
 
 
 
 
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Transiente1 
 
Em geral, quando um soluto se difunde através de uma membrana 
existe um período transiente antes que o regime estacionário se 
estabeleça. No regime estacionário, sabemos que a concentração 
varia linearmente através da membrana, mas como é o seu 
comportamento durante o período transiente? Nesta seção, vamos 
procurar estimar o tempo de duração do período transiente até que o 
estado estacionário seja atingido. 
 
Vamos supor que os valores da concentração no interior e no 
exterior da membrana, cni e cne, permanecem constantes durante todo 
o processo e que a forma inicial da função cn(x,t) é arbitrária como 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
1 Esta seção pode ser omitida numa primeira leitura. 
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O valor inicial de cn(x,t) é cn(x,0) e o valor estacionário, atingido 
após um longo tempo, é cn(x,∞). As condições de contorno são: 
i
nnn cktc =),0( em x = 0 e ennn cktdc =),( em x = d (para t > 0). 
 
Para obter a solução geral cn(x,t) para este problema, devemos 
resolver a equação de difusão sujeita às condições iniciais e de 
contorno impostas. Como a solução estacionária é uma função linear 
em x, podemos escrever a solução geral na forma: 
),,(),(),( txcxctxc tnnn +∞= 
 
onde cn(x,∞) é a componente estacionária, dada por (11), e cnt(x,t) é 
a componente transiente da solução. 
 
Note que a solução estacionária já satisfaz as condições de contorno 
para x = 0 e x = d. Isto implica que a solução transiente deve 
satisfazer as seguintes condições de contorno: 
.0 para 0),(),0( >== ttdctc tn
t
n 
 
Portanto, para resolver o problema precisamos encontrar uma função 
cnt(x,t) que satisfaça: (i) a equação de difusão; (ii) as condições de 
contorno acima; e (iii) tenha um valor inicial arbitrário dado por 
cnt(x,0) = cn(x) - cn(x,∞). 
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Os métodos de solução da equação de difusão estão além dos 
propósitos deste curso (eles serão tratados nos cursos de Física 
Matemática). Para nossos objetivos aqui, basta saber que uma 
solução da equação de difusão que satisfaça as condições de 
contorno impostas sobre cnt(x,t) é dada pelo produto de uma função 
do tipo 
sen px, p = lπ/d (l inteiro) 
com uma função do tipo 
tDp ne
2−
. 
 
Isto é, uma solução geral da equação de difusão para este caso é 
dada por uma superposição de termos do tipo 
( ) tDp nedxl 2sen −π : 
( ) ,sen),(
1
lt
l
l
t
n edxlatxc
τπ −
∞
=
∑= (15) 
onde 
.1 22
2
2
nn
l Dl
d
Dp π
τ == (16) 
 
Os coeficientes al podem ser obtidos pela condição inicial 
( ),sen)0,(
1
∑
∞
=
=
l
l
t
n dxlaxc π (17) 
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que é a expansão em série de Fourier de cnt(x,0). 
 
A componente transiente da concentração ao longo da membrana é 
dada por uma superposição de termos senoidais com amplitudes 
decaindo exponencialmente no tempo (equação 15). As 
componentes com valores grandes de l correspondem a oscilações 
com grandes frequências espaciais e constantes temporais τl 
pequenas (que decaem rapidamente). Já as componentes com 
valores pequenos de l correspondem a oscilações de baixa 
frequência espacial e decaimento temporal lento (τl grande). A 
componente de decaimento mais lento é a de maior τl, que ocorre 
para l = 1. Ela é definida como, 
τ ee =
d 2
π 2Dn
.
 (18) 
 
Esta componente é chamada de constante temporal (ou constante de 
tempo) do estado estacionário, pois é ela que limita o tempo que a 
concentração leva para atingir o regime estacionário. 
 
Para uma membrana de espessura d = 10 nm (típica de uma 
membrana celular) e para uma difusão com Dn = 10-5 cm2/s (difusão 
de uma molécula pequena na água), τee ≈ 10 ns. Este é um tempo 
muito curto, indicando que o transiente que precede o regime de 
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difusão de estado estacionário em uma membrana celeular é muito 
rápido, podendo ser desprezado na maioria das vezes. 
 
Mesmo que o valor de Dn fosse várias ordens de grandeza maior, 
ainda assim o valor de τee seria pequeno para uma membrana de 
espessura da ordem de grandeza da membrana celular.