Método da Bissecção para Engenharia

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Métodos Numéricos para Engenharia
Ponto Zero de Funções
2.3 Método da Bissecção
Considerando f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) * f(b) < 0 e o 
sinal de f´(x) é constante no intervalo, então a função corta o eixo do x num único 
ponto em [a, b].
2.3 Método da Bissecção
Considerando f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) * f(b) < 0 e o 
sinal de f´(x) é constante no intervalo, então a função corta o eixo do x num único 
ponto em [a, b].
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtém-se x0 , que divide o intervalo em 
[a, x0] e [x0 , b].
2.3 Método da Bissecção
Considerando f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) * f(b) < 0 e o 
sinal de f´(x) é constante no intervalo, então a função corta o eixo do x num único 
ponto em [a, b].
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtém-se x0, que divide o intervalo em 
[a, x0] e [x0, b].
Se f(x0) = 0 então a raiz é x = x0, caso contrário a raiz encontra-se num dos 
dois intervalos, ou seja, se f(a) * f(x0) < 0 então x ∈ [a, x0] senão x ∈ [x0, b].
2.3 Método da Bissecção
Considerando f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) * f(b) < 0 e o 
sinal de f´(x) é constante no intervalo, então a função corta o eixo do x num único 
ponto em [a, b].
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtém-se x0, que divide o intervalo em 
[a, x0] e [x0, b].
Se f(x0) = 0 então a raiz é x = x0, caso contrário a raiz encontra-se num dos 
dois intervalos, ou seja, se f(a) * f(x0) < 0 então x ∈ [a, x0] senão x ∈ [x0, b].
O processo é repetido até que se obtenha uma aproximação para a raiz, x, 
com uma tolerância adequada, εn = |xn – xn-1|.
2.3.1 Interpretação Geométrica
f(x)
x
f(b)
f(a)
a b
2.3.1 Interpretação Geométrica
f(x)
x
f(b)
x0
f(x0)
f(a)
a b
2.3.1 Interpretação Geométrica
f(x)
x
f(b)
x0
f(x0)
f(x1)
f(a)
a bx1
2.3.1 Interpretação Geométrica
f(x)
x
f(b)
x0
f(x0)
f(x1)
f(a)
a bx1 x2
f(x2)
2.3.1 Interpretação Geométrica
f(x)
x
f(b)
x0
f(x0)
f(x1)
f(a)
a bx1 x2
f(x2)
x3
2.3.2 Exemplos:
1) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0.01 tal que x ∈ [1, 2].
3)( 2 −= xxf
2.3.2 Exemplos:
1) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0.01 tal que x ∈ [1, 2].
3)( 2 −= xxf
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [1, 2]:
 
3)( 2 −= xxf
2.3.2 Exemplos:
1) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0.01 tal que x ∈ [1, 2].
3)( 2 −= xxf
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [1, 2]:
 
132)2()(
231)1()(
3)(
2
2
2
=−==
−=−==
−=
fbf
faf
xxf
2.3.2 Exemplos:
1) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0.01 tal que x ∈ [1, 2].
3)( 2 −= xxf
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [1, 2]:
reais. raizes deimpar número
umexistir podemintervalo nologo0)2(*)1(,sejaou,0)(*)(como
21*2)2(*)1()(*)(
132)2()(
231)1()(
3)(
2
2
2
〈〈
−=−==
=−==
−=−==
−=
ffbfaf
ffbfaf
fbf
faf
xxf
2.3.2 Exemplos:
1) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0.01 tal que x ∈ [1, 2].
3)( 2 −= xxf
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [1, 2]:
 
2)(
reais. raizes deimpar número
umexistir podemintervalo nologo0)2(*)1(,sejaou,0)(*)(como
21*2)2(*)1()(*)(
132)2()(
231)1()(
3)(
'
2
2
2
xxf
ffbfaf
ffbfaf
fbf
faf
xxf
=
〈〈
−=−==
=−==
−=−==
−=
2.3.2 Exemplos:
1) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0.01 tal que x ∈ [1, 2].
3)( 2 −= xxf
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [1, 2]:
 intervalo. no real raiz única uma existe
que se-conclui 2], [1, intervalo no constante é função da derivada da sinal o Como
4)2(
2)1(
2)(
reais. raizes deimpar número
umexistir podemintervalo nologo0)2(*)1(,sejaou,0)(*)(como
21*2)2(*)1()(*)(
132)2()(
231)1()(
3)(
'
'
'
2
2
2
f(x)
f
f
xxf
ffbfaf
ffbfaf
fbf
faf
xxf
+=
+=
=
〈〈
−=−==
=−==
−=−==
−=
Cálculo da Raiz:
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
5,1
2
21
2
00
0 =
+
=
+
=
ba
x
Cálculo da Raiz:
1,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
5,1
2
21
2
00
0 =
+
=
+
=
ba
x
Cálculo da Raiz:
- - - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
75,035,1)5,1()()(
5,1
2
21
2
2
0
00
0
−=−===
=
+
=
+
=
fxfxf
ba
x
Cálculo da Raiz:
- - - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
 
75,0)5,1(
132)2()(
231)1()(
3)(
2
2
2
−=
+=−==
−=−==
−=
f
fbf
faf
xxf
Cálculo da Raiz:
21,51
- - - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
 
75,0)5,1(
132)2()(
231)1()(
3)(
2
2
2
−=
+=−==
−=−==
−=
f
fbf
faf
xxf
Cálculo da Raiz:
0,250,06251,7521,51
- - - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
0625,0375,1)75,1()(
75,1
2
25,1
2
2
1
11
1
=−==
=
+
=
+
=
fxf
ba
x
25,0|5,175,1|011 =−=−= xxε
Cálculo da Raiz:
1,751,52
0,250,06251,7521,51
- - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
0,1)0,2(
0625,0)75,1(
75,0)5,1(
3)( 2
+=
+=
−=
−=
f
f
f
xxf
Cálculo da Raiz:
0,125-0,359381,6251,751,52
0,250,06251,7521,51
- - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
35938,03625,1)625,1()2(
625,1
2
75,15,1
2
2
22
2
−=−==
=
+
=
+
=
fxf
ba
x
125,0|75,1625,1|122 =−=−= xxε
Cálculo da Raiz:
0,0625-0,152341,68751,751,6253
0,125-0,359381,6251,751,52
0,250,06251,7521,51
- - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
0,03125-0,045901,718751,751,68754
0,0625-0,152341,68751,751,6253
0,125-0,359381,6251,751,52
0,250,06251,7521,51
- - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
0,0156250,008061,7343751,751,718755
0,03125-0,045901,718751,751,68754
0,0625-0,152341,68751,751,6253
0,125-0,359381,6251,751,52
0,250,06251,7521,51
- - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
0,0078125-0,018931,72656251,7343751,718756
0,0156250,008061,7343751,751,718755
0,03125-0,045901,718751,751,68754
0,0625-0,152341,68751,751,6253
0,125-0,359381,6251,751,52
0,250,06251,7521,51
- - - - --0,751,5210
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Raiz:
x = 1,7265625
2.3.2 Exemplos:
2) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0,01 tal que x ∈ [0.5, 1.0].
xxxf ln)( 2 +=
2.3.2 Exemplos:
2) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0,01 tal que x ∈ [0.5, 1.0].
xxxf ln)( 2 +=
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [0.5, 1.0]:
xxxf ln)( 2 +=
2.3.2 Exemplos:
2) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0,01 tal que x ∈ [0.5, 1.0].
xxxf ln)( 2 +=
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [0.5, 1.0]:
reais. raizes deimpar número
umexistirpodemintervalo nologo0)1(*)5,0(,sejaou,0)(*)(como
44315,0)1(*)5,0()(*)(
0,11ln1)1()(
44315,05,0ln5,0)5,0()(
ln)(
2
2
2
〈〈
−==
+=+==
−=+==
+=
ffbfaf
ffbfaf
fbf
faf
xxxf
2.3.2 Exemplos:
2) Calcular a raiz da equação utilizando o método da bissecção, 
com uma tolerância ε ≤ 0,01 tal que x ∈ [0.5, 1.0].
xxxf ln)( 2 +=
Verificação da existência de uma única raiz no intervalo [a, b] = [0.5, 1.0]:
 intervalo. no real raiz única uma existe
que se-conclui 1], [0.5, intervalo no constante é função da derivada da sinal o Como
3)0,1(
3)5,0(
/12)(
reais. raizes deimpar número
umexistir podemintervalo nologo0)1(*)5,0(,sejaou,0)(*)(como
44315,0)1(*)5,0()(*)(
0,11ln1)1()(
44315,05,0ln5,0)5,0()(
ln)(
'
'
'
2
2
2
f(x)
f
f
xxxf
ffbfaf
ffbfaf
fbf
faf
xxxf
+=
+=
+=
〈〈
−==
+=+==
−=+==
+=
Cálculo da Raiz:
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
1,00,50
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Cálculo da Raiz:
0,751,00,50
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
75,0
2
0,15,0
2
00
0 =
+
=
+
=
ba
x
Cálculo da Raiz:
- - - - - -0,27480,751,00,50
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
75,0
2
0,15,0
2
00
0 =
+
=
+
=
ba
x
274,075,0ln75,0)75,0()()( 20 =+=== fxfxf
Cálculo da Raiz:
0,750,51
- - - - - -0,27480,751,00,50
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
274,0)75,0()(
0,1)0,1()(
44315,0)5,0()(
0 ==
+==
−==
fxf
fbf
faf
Cálculo da Raiz:
0,125-0,07930,6250,750,51
- - - - - -0,27480,751,00,50
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
625,0
2
75,05,0
2
11
1 =
+
=
+
=
ba
x
079,0625,0ln625,0)625,0()( 21 −=+== fxf
Cálculo da Raiz:
0,0078125-0,01270,64843750,656250,6406255
0,015625-0,03490,6406250,656250,6254
0,031250,00940,656250,68750,6253
0,06250,09790,68750,750,6252
0,125-0,07930,6250,750,51
- - - - - -0,27480,751,00,50
εn = |xn- xn-1|f(xn)xnbnann
Raiz:
x = 0,6484375
Exercício complementares:
1) Calcular, pelo método da bissecção, corretamente até a terceira casa decimal, a 
raiz da equação x2/4 – sen x = 0, localizada no intervalo (a0 = 1,5, b0 = 2).
2) Calcular as duas raízes da equação ln x – x2 + 2 = 0, usando o método da 
bissecção, com ε ≤ 0,001.
Ver programa
Obrigado.