Lista de fundamentos do calculo (lista PDF)

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Resolução da lista 
Parte 1: Construção de Gráficos de Funções Fundamentais 
 
01) Construa os gráficos das funções lineares (linhas retas): 
a) y = kx se k = 0; 1; 2; 1/2; -1; -2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
y= kx se k = 0
       








x
y
y = x
       








x
y
y = 2x
       








x
y
y = 1/2x
 
 
 
b) y = x + b se b = 0;1;2;-1;-2 
 
       








x
y
y = -1x
       








x
y
y = -2x
       








x
y
y = x + 1
 
 
 
       








x
y
y = x + 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
y = x - 1
       








x
y
y = x - 2
02) Construa os gráficos das funções de 2º grau: 
a) y = ax² se a=1; 2 ; 1/2 ;-1 ;-2 
 
 
 
 
       








x
y
y = x ²
       








x
y
y = 2x ²
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
y = (1/2)x ²
       








x
y
y = -2x ²
b) y = x² + c se c=0; 1; 2 ;-1 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
y = x ² + 1
       








x
y
y = x ² + 2
 
 
c) y = ax² + bx + c se 1)a=1, b=-2, c=3; 
 
 
 
 
       








x
y
y = x ² - 1
       








x
y
y = x ² - 2x + 3
2)a=-2, b=-6, c=0 
 
 
 
03) Construa os gráficos das funções polinomiais de grau maior que 2: 
a) y = x³ 
 
 
 
 
 
       








x
y
y = -2x ² - 6x
       








x
y
y = x³
b) y = 2 + (x -1)³ 
 
 
 
 
 
 
c) y = x³ - 3x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
y = 2 + (x - 1)³
       








x
y
y = x³-3x+2
d) y = 
 
 
 
 
 
e) y 2  
 
 
 
 
       








x
y
y = x4
       








x
y
y =2 x²- x4
04) Construa os gráficos das funções racionais fracionárias (hipérboles): 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
        








x
y
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








x
y
        








x
y
5) Construa os gráficos das funções racionais fracionárias: 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
        








x
y
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








x
y
 
e) 
 
 
 (curva de Agnesi) 
 
 
 
 
f) 
 
 
 (serpetina de Newton) 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








x
y
        








x
y
06) Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas: 
a) -1 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
        








x
y
        








x
y
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








x
y
        








x
y
e) 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
        








x
y
        








x
y
g) 
 
 
 
 
h) | | 
 
 
07) Construa o gráfico das funções trigonométricas a seguir, dando o domínio, a 
imagem e o período de cada uma: 
 
A resolução desse exercício o domínio da função será de acordo com o eixo x, a imagem o 
eixo y. 
        








x
y
        








x
y
 
a) f (x) 2sen x 
 
Dom (f) = Reais 
Imagem (f) = [-2,2] 
Periodo = 2 
 
 
b) y = 2 + sen x 
 
Dominio: Reais 
Imagem: [1,3] 
Período: 2 
 
 
 
 
 
 
c) f(x)= cos 
 
 
 
 
Dominio: Reais 
Imagem: [-1,1] 
Período: 4 
 
d) y = | ( 
 
 
)| 
 
Domínio: Reais 
Imagem: [0,1] 
Periodo: 
 
 
 
 
 
e) y = -cos(x) 
 
Dominio: Reais 
Imagem: [-1,1] 
Período: 2 
 
f) y = cos( 
 
 
) 
 
Dominio: Reais 
Imagem: [-1,1] 
Período: 2 
 
 
 
 
 
 
 
 Parte 2: Limites e Continuidade 
 
 
1) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
A resolução do exercício é feita observando o gráfico 
a) = -1 
b) = 3 
c) = 1 
d) = -1 
e) = 3 
f) = 3 
2) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) = 0 
b) = 0 
c) = 0 
d) = + 
e) = - 
f) = 4 
Calcular os limites nos exercícios 3 a 7. 
3) 
 = 
 
 = 27 – 21+2 = 8 
 
 
 
 
 
Se calcular-mos o limite direto temos uma indeterminação, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim vamos fatotar t² - 5t + 6 = (t-3).(t-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando (t-2) 
 = 
 = -1 
5) √ 
 
 
 √ 
 
 = √ 
 
 
6) 
 √ √ 
 
 
 
 
 √ √ 
 
 
= 
√ 
 
 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
Como (
 
 
)= 1, (
 
 
) = 0 e 
 
 
 = 0 
Então,(
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) Seja F(x) = |x – 4|. Calcule os limites indicados se existirem: 
(a) 
).(lim
4
xF
x 
= 0 
(b) 
).(lim
4
xF
x 
 = 0 
(c) 
).(lim
4
xF
x
= 0 
 
(d) Esboce o gráfico de F(x). 
 
9) Seja 













.3,0
.3,
3
3
)(
x
x
x
x
xg
 
 
(a) Esboce o gráfico de g(x). 
 
(b) Achar, se existirem 
).(lim)(lim),(lim
333
xgexgxg
xxx  
 
 = 1 
 = -1 
 = não existe, pois os limites laterais são diferentes. 
 
        








x
y
        








x
y
10) Verifique se 
1
1
lim
1  xx
 existe. 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os limites laterais são diferentes 
 
 
= 
 
 
- Do exercício 11 ao 16, calcule os limites. 
 
11) 
.
1
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, que é indeterminação, vamos calcular os limites laterais. 
 
 
 
 
( )
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 - 
Como os limites laterais são diferentes, 
 
 
 
 
 
12) 
.
)3)(2(
44
lim
23
2 

 tt
ttt
t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando t temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) 
.
2012
65
lim
2
2
2 

 xx
xx
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando x temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) 
.
16)2(
lim
4
0 h
h
h


 
Como temos uma indeterminação vamos resolver 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
15) 
.
5325
lim
0 t
t
t

 
 
 
√ 
 
 
√ 
√ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
Simplificando o t, temos: 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
16) Se 
,
||57
||3
)(
xx
xx
xf



 calcule: 
 
 (a) 
).(lim xf
x 
 (b) 
).(lim xf
x 
 
 
 
 | |
 | |
 
 
 
 
 
 
 
 
 | |
 | |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Calcule os limites dos exercícios 17 a 21. 
 
17) 
.
352
32
lim
2
2


 tt
tt
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) 
.
37
25
lim
3
3


 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) 
).2121516(lim 34 xxxx
x


 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
= 
 
20) 
.
45
3
lim
2y
y
y 


 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
= 
 
 
 
 
 
21) 
.
36
6
lim
2
6 

 y
y
y
 
 
 
 
 
 = + 
 
 
 
 
 
Do exercício 22 ao 23, investigue a continuidade nos pontos indicados: 
 
22) 










0,0
0,
sen
)(
x
x
x
x
xf
 em x = 0. 
f(x) não é continua em a = 0, 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
Logo, , assim f(x) não é continua. 
 
23) 








1|,|1
1,
)(
2
xx
xx
xf em x = - 1. 
De fato, se a ℝ, 
Se a> -1, temos 
 
 
 
 
 
Se a< -1 
 
 
 
 
 | | | | 
Se a = -1, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , logo f(x) é descontinua. 
24) 
,
1
73
)(
2
2



x
xx
xf
 em x = 2. 
Podemos notar que f está definida em a = 2, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, como o limite existe, a função f(x) está definida num ponto a 
e a funcão é continua. 
 
25) Calcule p de modo que a função abaixo seja contínua: 
 
 








3,3
3,2
)(
2
x
xpxx
xf 
Como a função é contínua em x=3 então 
3² + p.3 + 2 = 3 
3p = 3-11 
3p = -8 
p = 
 
 
 
26) Mostre se a função 






3,7
3,2
)(
x
xx
xf
é contínua ou descontínua em 
x=3. 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
Portanto, como o limite existe, mas a função f(x) não está definida num ponto a=3 
Então a funcão é descontínua. 
 
 
 
 
27) Considere a função, definida em R por: 






1,
1),2(2
)(
xkx
xx
xf
 R:k=-2 
Calcular o valor e k para que a função seja contínua em x =1. 
Como a função é contínua em x=1 então 
Como f(1) = k, então 
2(1-2)=k 
2-4 = k 
k = -2 
28) Dada a função: 









2,2
2
22
)(
xm
x
x
xf R: m=1/8 
Determinar m para que a função seja contínua em x = 2. 
Como a função é contínua em x=2 então 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
√ 
 
= 
 
 
 √ 
 
= 
 
 
 √ 
 
= 
 
 
√ 
 = 
 
 
 
Logo, 2m = 
 
 
 então m = 
 
 
 
 
 
 
 
29) Calcule: 
a) 
x
x
x 2
3sen
lim
0
 
 
Como a função sen(x) está definida em [-1,1], então 
 
 
 
= 1, 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
b) 
x
x
x
3sen
lim
0
 
 
 
 
 
 
=3 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 3 
c) 
x
x
x 3
2sen
lim
0
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
x
x
x 5
1sen
lim
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30) Calcule o valor de 
x
xtgx
x

0
lim
 
Como tg(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 1.(1+1)=2 
 
31) Determine: 
a) 
x
x
x cos1
cos1
lim
2
0 


 
 
Como sen²(x) +cos²(x)=1 então sen²(x)=1-cos²(x)b) 
xx
tgx
x sencos
1
lim
0 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
= 
 
 
 √ 
 
c) 
x
xx
x 2cos
sencos
lim
4/


 R: 
2/2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como cos²(x)-sen²(x)= cos(2x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
32) Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule: 
a) x
x x
6
1
1lim 







 
Como ( 
 
 
)
 
 
Então, ( 
 
 
)
 
( 
 
 
)
 
( 
 
 
)
 
( 
 
 
)
 
( 
 
 
)
 
( 
 
 
)
 
 
b) 
x
x x
4
3
1
1lim 







 
 ( 
 
 
)
 
 = 
 
 = √ 
 
 = √ 
 
 = √ 
 
 
 
c) 
x
x x
2
1
1
1lim 







 
 ( 
 
 
)
 
 = 
 
 = √ 
 
d) x
x x








3
1lim
 
 * 
 
 
 +
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
e) x
x x








 3
1
1lim
 
vamos chamar de t= x-3 então t 
 
 
( 
 
 
)
 
 
f) 21
1lim









x
x x
 
 
 
( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)