Dimensionamento das Pás (Solid Works) - Energia Eólica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL 
CURSO ENGENHARIA EM ENERGIA 
DISCIPLINA ENERGIA EÓLICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONANDO AS PÁS DE UM AEROGERADOR 
 
 
 
POR BRUNA STEIL BONEBERG 
GRADUANDA DO CURSO ENGENHARIA EM ENERGIA 
PROFESSOR: DR. JOÃO VICENTE AKWA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOVO HAMBURGO, 2015 
 
 2
 
 
 
RESUMO 
 
 O trabalho apresenta de forma sumária o desenvolvimento de dois modelos 
de calculo para a corda das pás de uma turbina eólica horizontal de aproxidamente 
340KW. 
 Após definir o perfil do aerofólio (S819NRel) obteve-se as coordenadas x/c e 
y/c, a razão entre o coeficiente de sustentaçao e arrasto (�), o angulo de ataque (�). 
Outros dados para a turbina foram definidos como potêncial nominal (P = 340KW), a 
velocidade nominal (v1 = 18 m/s), eficiência do rotor (������ = 0.83), o numero de 
pás (B = 3), consequentemente definiu-se a razão de velocidade de ponta (�
 	= 	7) 
para o valor de B. 
 Em seguida, os dados calculados obtidos foram: �������
� 	= 	0.53, a área 
varrida pelas pás da turbina (A = 224.04 m2) e seu raio (R = 8.44 m). Apartir de vinte 
valores de raio, pode-se calcular as cordas para o modelo de Betz e Schmidt. 
Finalmente, projetou-se as pás no software SolidWorks 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1.INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 4 
2. METODOLOGIA ..................................................................................................... 5 
3. DIMENSIONANDO A TURBINA ............................................................................. 6 
3.1. CORDA DE BETZ .............................................................................................. 10 
3.2. CORDA DE SCHMIDT ....................................................................................... 13 
4. PROJETANDO A PÁ ............................................................................................ 15 
5. ESTIMANDO A ENERGIA ANUAL GERADA ..................................................... 19 
6. CONCLUSÕES ..................................................................................................... 20 
7. REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA .......................................................................... 21 
APENDICE A ............................................................................................................ 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
 
1.INTRODUÇÃO 
 A necessidade de ser tornar independente de combustiveis fosseis, 
alavancou a demanda por fontes de energia renováveis, o que impulsouo estudo da 
energia eólica e de aerodinâmica de turbinas eólicas de eixo horizontal (HAWTs). 
 A proposta solicitada foi dimensionar um aerogerador horizontal, projetando 
sua potência nominal e sua curva de potência, e projetando as pás pelo modelo de 
dimensionamento de Betz e Schmidt, considerando para cálculo de densidade a 
temperatura de 25º. Em seguida, deve-se estimar a energia anual gerada pelo rotor 
utilizando dados. 
 O diametro, a potencia e o tipo do perfil foram definidos, por consequente o 
numero de pás (B), a razão de velocidade de ponta ( �
 ), assim como as 
coordenadas x/c e y/c, a razão entre o coeficiente de sustentaçao e arrasto (�), o 
angulo de ataque (� ), a velocidade nominal na turbina (v1), eficiência do rotor 
( ������ ), o numero de pás (B = 3), consequentemente definiu-se a razão de 
velocidade de ponta (�
 	= 	7) para o valor de B. Em seguida, obtevesse a area 
varrida pela turbina, consequentemente o raio. Apartir de vinte valores de raio, pode-
se calcular as cordas para os modelos mencionados. Ainda, a energia anual gerada 
foi estimada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
2. METODOLOGIA 
O presente trabalho procedeu-se da seguinte maneira: 
 
• Definiu-se o perfil da pá, o numero de pás, e a razão da velocidade de ponta; 
• Definiu-se a potencia do aerogerador, e sua curva de potência; 
• Calculou-se a densidade do ar para temperatura de 25º; 
• Interpolou-se os valores para encontrar o Cp de schmidt; 
• Definiu-se a eficiência do rotor; 
• Descobriu-se o raio, descontou-se 15% do raio, o restante foi dividido em 20 
partes; 
• Calculou-se, as cordas para os modelos de Betz e Schmidt; 
• Descobriu-se as coordenadas para cada elemento de pá; 
• Projetou-se os elementos de pá no solidworks, de forma a montar a pá; 
• Estimou a energia anual para a turbina projetada. 
 
3. DIMENSIONANDO A TURBINA
 Definiu-se a potencia, usando o modelo de Betz. Em seguida, será calculado 
usando o coeficiente de potencia usando o modelo de Schmitz. 
 
PASSO 1:Definir um valor para potencial nominal a ser ating
turbina e verficcar a velocidade de ponta.
 
 
PASSO 2:Definir o perfil da 
 
 O perfil selecionado foi 
designado para turbinas de médio porte que geram entre 20
5 e 10 metros de comprimento, numero de Reyn
com dados NREL, potência da turbina for acima de 150 KW, esta deve ser 
considerada de grande porte.
 
 
 
 
 
3. DIMENSIONANDO A TURBINA 
se a potencia, usando o modelo de Betz. Em seguida, será calculado 
usando o coeficiente de potencia usando o modelo de Schmitz. 
Definir um valor para potencial nominal a ser atingida, nº de pás da 
turbina e verficcar a velocidade de ponta. 
�������� 	= 	340.56	�� 
 	 = 	!º	#$	�á&	 = 	3 
�' 	= 	7 
perfil da hélice a ser utilizado. 
O perfil selecionado foi NREL HAWT Airfoil S819, foi desenvolvido em 1993, é 
para turbinas de médio porte que geram entre 20-100 KW, com pás entre 
5 e 10 metros de comprimento, numero de Reynolds acima de 1,000.000. De a
com dados NREL, potência da turbina for acima de 150 KW, esta deve ser 
considerada de grande porte. 
Figura 1 - Perfil S819 NREL 
se a potencia, usando o modelo de Betz. Em seguida, será calculado 
ida, nº de pás da 
S819, foi desenvolvido em 1993, é 
W, com pás entre 
olds acima de 1,000.000. De acordo 
com dados NREL, potência da turbina for acima de 150 KW, esta deve ser 
 
Tabela 
Perfil 
Numero de Reynolds
Espessura Max (Corda)
Curvatura Max (Corda)
�	 = 	()*	+�, �#-
Cl (�) 
Angulo de Ataque (
 
PASSO 3: Importou-se os dados detalhados referente ao tipo de 
será importante as coordenadas
 
PASSO 4:Conforme solicitado pela atividade, 
(T) temperatura de 25ºC e 
Eólico do Rio Grande do Sul, 
ser obtida pela Equação 1.
.	 =
PASSO 5: Para uma aproximação mais real, deve
foi necessario interpolar os dados obtidos apartir d
Figura 1 abaixo. 
Figura 2. Diagrama de Schmidt. Fonte: (Wind Plants, 2012).
 
Tabela 1 - Dados do Perfil. Fonte: Airfoils(2015) 
NREL HAWT Airfoil S819
Numero de Reynolds 1.E+6 
Espessura Max (Corda) 21.1 at 28.4%
Curvatura Max (Corda) 1.3 at 77.3%
�#- ) 93.38 
1.0627 
Angulo de Ataque (�/) 7.75 
os dados detalhados referente ao tipo de aerofólio
mportante as coordenadas, Tabela 7noAppendice A. 
Conforme solicitado pela atividade, calcular a massa especifica do ar para 
(T) temperatura de 25ºC e ���� pressão atmosférica de 1 atm. De acordo com Atlas 
Eólico do Rio Grande do Sul, a densidade do ar calculada foi 1.185 kg/m
. 
=	353.4	01 2
3
4567895.6:64
273.15	 < 	= 
 
Para uma aproximação mais real, deve-se utilizar o �������
�
foi necessario interpolar os dados obtidos apartir do diagrama de Schmidt conforme 
Diagrama de Schmidt. Fonte: (Wind Plants, 2012).
HAWT Airfoil S819 
21.1 at 28.4% 
1.3 at 77.3% 
aerofólio. Onde 
calcular a massa especifica do ar para 
pressão atmosférica de 1 atm. De acordo com Atlas 
a densidade do ar calculada foi 1.185 kg/m3 , que pode��
�. Para isso, 
diagrama de Schmidt conforme 
 
Diagrama de Schmidt. Fonte: (Wind Plants, 2012). 
 
 
Tabela 2.Interpolaçao para encontrar o Cp para 
λ 
 
7 
7 
7 
 
 
 
PASSO 6: Deve-se definir a efficiencia do rotor (
podemos considerar 0.7, no entanto, pesquisando podemos obter o valor de 0.83
 
Figura 3. 
 
 
 
PASSO7:Calculou-se a area varrida pela turbina
foi obtida pela Equação 2. 
�
Interpolaçao para encontrar o Cp para > = ?. 
 
Z ε 
 
2 infinito 
3 infinito 
4 infinito 
se definir a efficiencia do rotor ( � ). Para um caso péssimo, 
podemos considerar 0.7, no entanto, pesquisando podemos obter o valor de 0.83
 Eficiência do Rotor para Turbina com 3 pás. 
Fonte: (Wind Turbines, 2009) 
se a area varrida pela turbina+@A6B, por consequente o raio, que 
 
� = ��������C����
� .2 D8E+@A6B 
 
CP 
 
0.51 
0.53 
0.55 
). Para um caso péssimo, 
podemos considerar 0.7, no entanto, pesquisando podemos obter o valor de 0.83. 
 
, por consequente o raio, que 
 9
 
P	 = 340.56		KW, ρ	 = 	1.185	Kg/m3, V8 	= 	18	m/s	,			ηQRSRQ 	= 	0.83. 
 
Isolando R, obtemos raio igual 8.44 metros, ou seja um diâmetro de 16.89 metros. 
 
PASSO 8:Considerando que a razão de velocidade é maior que 3, 15% do raio da 
corda será destinado a transiçãopara fixação ao cubo. 
Logo, 
 
 
 
TU 	= 15%	#$	A =	1.27 metros do raio deve ser destinado ao eixo. 
 
 Raio sem os 15% destinado ao eixo, A 2 TU = 7.18 metros. 
 
PASSO 9:Em seguida, TU/20 = 0.36	metros	ou	358.91	milimetros. 
 
Para um melhor entendimento, cada raio foi calculado da seguinte maneira: 
 
T8 	= 	 TU 	< 	0.36 = 1.63 metros. 
 
T6 	= 	 T8 	< 	0.36 = 1.98 metros. 
 
 
Tabela 3. Valores Calculados para cada Raio. 
r0 1.27 
r1 1.63 
r2 1.98 
r3 2.34 
r4 2.70 
r5 3.06 
r6 3.42 
r7 3.78 
r8 4.14 
r9 
r10 
r11 
r12 
r13 
r14 
r15 
r16 
r17 
r18 
r19 
r20 
 
3.1. CORDA DE BETZ 
Considerado um modelo ideal, usa
Figura 4. Velocidades e Ângulos
 
 
3.1. PASSO 1: O valor da corda
 
�+T
 4.50 
 4.86 
 5.21 
 5.57 
 5.93 
 6.29 
 6.65 
 7.01 
 7.37 
 7.73 
 8.09 
 8.44 
 
um modelo ideal, usa-se cp de 0.59. 
Velocidades e Ângulos. Fonte: (Wind Turbines, 2009)
valor da corda Betz pode ser obtida pela Equação 3
TB 	= 			 1_
16@	A
9	��
1
�
`�
6	+�aB6 < 4b
 
 
. Fonte: (Wind Turbines, 2009) 
3: 
 11 
 
 
• �
 	= 	T)cãe#)D$,efg#)#$#$�e!h)	$&fe,ℎg#e	 = 	7 
• _ = 	!jk$Te#$�á& = 3 
• Cl = Coeficiente de Sustentação referente ao angulo de ataque = 1.0627 
• R = 8.44 metros 
• r = para cada raio calculado. 
 
 
Tabela 4. Valores da Corda calculados apartir do valor dos raios. 
Elemento Raio (m) Corda (m) 
r0 (15%) 1.27 
r1 1.63 1.4058 
r2 1.98 1.1907 
r3 2.34 1.0291 
r4 2.70 0.9043 
r5 3.06 0.8055 
r6 3.42 0.7257 
r7 3.78 0.6599 
r8 4.14 0.6048 
r9 4.50 0.5581 
r10 4.86 0.5180 
r11 5.21 0.4832 
r12 5.57 0.4528 
r13 5.93 0.4259 
r14 6.29 0.4020 
r15 6.65 0.3806 
r16 7.01 0.3614 
r17 7.37 0.3440 
r18 7.73 0.3282 
r19 8.09 0.3138 
r20 8.44 0.3006 
 
 
 Para uma melhor visualização, observe a figura abaixo. A corda refere-se aos 
cortes da pá representado na Figura abaixo, os planos representamas cordas de r1 
a r20. 
 
 
 12 
 
Figura 5. Representação dos elementos em uma pá no Solidworks. 
 
 
 
3.1. PASSO 2: O ângulo de torção (l), é obtido pela Equação 3. 
 
l	 = 	m	 2 	� 
Onde, 
�	 = 	â!oj,e	#$	)h)pj$	qeT!$fg#e	�$,e	�$Tqg,	 = 	7.75º 
 
m	 = 	â!oj,e	$!hT$	e	D$!he	T$,)hgDe	$	e	�,)!e	#e	TeheT, dado pela Equação 4. 
 
m(T) 	= 	)Tfh)!
6a
E�r
 
Onde: 
R = raio total = 8.44 m 
r = raio do elemento + 15% do raio zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 5. Valores obtidos p ângulos de torção e 
Raio Corda (m)
r1 1.4058
r2 1.1907
r3 1.0291
r4 0.9043
r5 0.8055
r6 0.7257
r7 0.6599
r8 0.6048
r9 0.5581
r10 0.5180
r11 0.4832
r12 0.4528
r13 0.4259
r14 0.4020
r15 0.3806
r16 0.3614
r17 0.3440
r18 0.3282
r19 0.3138
r20 0.3006
 
3.2. CORDA DE SCHMIDT
 Para caracteristicas de fluido mais detalhado, aproximado do real, 
de Schmidt. Sabendo que no modelo de Betz, onde todas as perdas de perfil não 
são consideradas. 
Figura 6. Representação do comportamento do fluído de Schmidt. 
 
obtidos p ângulos de torção e 1/3 das cordas para cada raio
Corda (m) 1/3 da Corda (mm) 
1.4058 468.5917 
1.1907 396.8994 
1.0291 343.0265 
0.9043 301.4328 
0.8055 268.5147 
0.7257 241.8953 
0.6599 219.9672 
0.6048 201.6146 
0.5581 186.0429 
0.5180 172.6733 
0.4832 161.0750 
0.4528 150.9215 
0.4259 141.9610 
0.4020 133.9966 
0.3806 126.8722 
0.3614 120.4624 
0.3440 114.6655 
0.3282 109.3979 
0.3138 104.5908 
0.3006 100.1865 
3.2. CORDA DE SCHMIDT 
sticas de fluido mais detalhado, aproximado do real, temos o modelo 
Sabendo que no modelo de Betz, onde todas as perdas de perfil não 
 
Representação do comportamento do fluído de Schmidt. Fonte: (Wind 
Turbines, 2009) 
/3 das cordas para cada raio. 
s 
18.57 
14.31 
11.19 
8.82 
6.97 
5.48 
4.26 
3.25 
2.39 
1.65 
1.02 
0.46 
-0.03 
-0.47 
-0.85 
-1.20 
-1.52 
-1.81 
-2.07 
-2.31 
temos o modelo 
Sabendo que no modelo de Betz, onde todas as perdas de perfil não 
Fonte: (Wind 
 14 
3.2. PASSO 1: O valor da corda de schmidt pode ser obtida pelaEquação 5. 
�(T) 	= 			
1
_
16@	T
	��
&g!6(	
1
3
	)Tfh)!(
A
�T
)) 
 
• � 	= 	T)cãe#)D$,efg#)#$#$�e!h)	$&fe,ℎg#e	 = 	7 
• _ = 	!jk$Te#$�á& = 3 
• Cl = Coeficiente de Sustentação referente ao angulo de ataque = 1.0627 
• R = 8.44 metros 
• r = para cada raio calculado. 
 
Os valores calculados para cada corda serão apresentados na Tabela 6. 
 
3.2. PASSO 2:O m	$	l foram obtidos pelas Equação 4 e Equação 5, 
respectivamente. 
Tabela 6. Valores Obtidos p Ângulos de Torção e 1/3 das Cordas para cada raio. 
Raio C ( r ) em m 1/3 C ( r) em mm β = φ - α 
r1 1.143 381.12 16.64 
r2 1.026 341.94 13.11 
r3 0.920 306.72 10.41 
r4 0.829 276.39 8.29 
r5 0.752 250.61 6.59 
r6 0.686 228.69 5.20 
r7 0.630 209.97 4.05 
r8 0.582 193.88 3.09 
r9 0.540 179.94 2.26 
r10 0.503 167.78 1.55 
r11 0.471 157.09 0.93 
r12 0.443 147.64 0.39 
r13 0.418 139.22 -0.09 
r14 0.395 131.69 -0.51 
r15 0.375 124.91 -0.90 
r16 0.356 118.78 -1.24 
r17 0.340 113.22 -1.55 
r18 0.324 108.14 -1.83 
r19 0.310 103.49 -2.09 
r20 0.298 99.22 -2.33 
 
4. PROJETANDO A PÁ
 A mesma metodologia utilizada por Betz, usou
 
4. PASSO 1:As coordenadas do perfil devem ser multiplicadas pelos valores das 
cordas de 1 a 20. 
 
4. PASSO 2:Copiou-se as coordenadas x e y de cada elemento, para outra planilha, 
onde add uma terceira coluna com zeros (eixo z). Em seguida, esses dados foram 
copiados para um arquivo .txt.
 
4. PASSO 3: No solidworks, definiu
informado o valor para 20 planos, um para cada c
seguida, as 20 curvas foram importadas para dentro do programa.
4. PROJETANDO A PÁ 
A mesma metodologia utilizada por Betz, usou-se para Schmidt.
coordenadas do perfil devem ser multiplicadas pelos valores das 
Figura 7. Coordenadas de Betz. 
se as coordenadas x e y de cada elemento, para outra planilha, 
add uma terceira coluna com zeros (eixo z). Em seguida, esses dados foram 
copiados para um arquivo .txt. 
No solidworks, definiu-se o plano frontal como referencia. Foi 
informado o valor para 20 planos, um para cada corda, e a distancia entre eles
seguida, as 20 curvas foram importadas para dentrodo programa. 
se para Schmidt. 
coordenadas do perfil devem ser multiplicadas pelos valores das 
 
se as coordenadas x e y de cada elemento, para outra planilha, 
add uma terceira coluna com zeros (eixo z). Em seguida, esses dados foram 
se o plano frontal como referencia. Foi 
ia entre eles. Em 
(a) 
Figura 8. Criaçao dos Planos (a), Importação das curvas (b).
4. PASSO 4: Edição de plano por plano. Selecionou
convertia a curva e o plano em uma entidade (sketch), dentro da ediçao, trassou
uma linha central de comprimento igual a 
a (curva + linha) para o ponto de encontro do eixo xy
rotacionou as curvas usando o angulo de torção (
cada curva. 
 
(a) 
Figura 
Curva+linha
 
(a) 
Figura 10. Antes de Rotacionar (a), Depois de informar o angulo de torção (b).
 
 
 
(b) 
Criaçao dos Planos (a), Importação das curvas (b).
Edição de plano por plano. Selecionou-se o plano para edição, depois 
convertia a curva e o plano em uma entidade (sketch), dentro da ediçao, trassou
uma linha central de comprimento igual a 1/3 da corda (Figura 6a), depois moveu
a o ponto de encontro do eixo xy (Figura 6b)
usando o angulo de torção (Figura 7b). Isso foi aplicado para 
 
(b) 
Figura 9. Curva com Linha central (a), 
+linha movida para a origem dos eixos xy (b). 
 (b) 
Antes de Rotacionar (a), Depois de informar o angulo de torção (b).
 
Criaçao dos Planos (a), Importação das curvas (b). 
se o plano para edição, depois 
convertia a curva e o plano em uma entidade (sketch), dentro da ediçao, trassou-se 
a), depois moveu-se 
(Figura 6b). Finalmente, 
Isso foi aplicado para 
 
 
Antes de Rotacionar (a), Depois de informar o angulo de torção (b). 
 17 
4. PASSO 5:O resultado para ambas as pás será aproximado das Figura a seguir. 
Depois Selecionou o top plane para ediçao, trassou-se uma linha guia entre as 
curvas (Figura 12a) e usou Lofted Boss/Base (Figura 12b) 
Figura 11. Extraido do projeto no SolidWorks. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 12. Extraido do projeto no SolidWorks. 
 
 
 
Figura 13. Extraido do projeto no SolidWorks. 
 18 
 
 
Figura 14. Extraido do projeto no SolidWorks. 
 
 
 
Figura 15. Extraido do projeto no SolidWorks. 
 
 
5. ESTIMANDO A ENERGIA ANUAL GERADA
Considerando que energia anual gerada é dada pela 
 
Figura 16
 
Figura 17. Estimativa Energia Anual Gerada para a turbina dimensionada.
 
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
1 2 3 4 5
P
 (
k
W
h
)
5. ESTIMANDO A ENERGIA ANUAL GERADA 
Considerando que energia anual gerada é dada pela Equação 6. 
tuv	 = 	∑	f+Vel). f(Pel). 8760 
Figura 16. Distribuição do Vento. 
Estimativa Energia Anual Gerada para a turbina dimensionada.
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Velocidade do Vento
 
 
Estimativa Energia Anual Gerada para a turbina dimensionada. 
22 23 24 25 26
 20 
6. CONCLUSÕES 
 A atividade foi completada com sucesso, pois ambas as pás foram 
projetadas, pode-se atribuir a referência do perfil já utilizado na NREL. 
 Ainda, pode-se observar que o presente trabalhoapresentou valores maiores 
para as cordas e ângulo de torção no modelo de Betz, comparando com o Schmidt, 
o que aparentemente é normal. 
 Importante ressaltar que ao conferir os cálculos da planilha foi encontra um 
erro, na fórmula antiga usou a equaçao da potência com o v1.exp(3), sendo que o 
correto é v1^3. Como todas as pás já estavam projetadas para o raio de 8.44m, a 
potência foi ajustada de forma para atingir este valor de raio. Inicialmente, o projeto 
era para potencia de 5 kw, mas com o erro, a turbina ficou com 340,56 kw. 
 Podemos concluir também que o trabalho trouxe aprendizado prático, 
enriquecendo o conhecimento do aluno além da vantagem de passar por esse tipo 
de experiência durante a vida acadêmica preparando o para o mercado de trabalho. 
 
 
 
 21 
7. REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA 
Abbott, I.H.; (1959). Theory Of Wing Sections - Including A Summary Of Airfoil Data. 
Dover, New York. 
 
Airfoiltools (2015). Obtido de [http://airfoiltools.com/airfoil/details?airfoil=naca2410-il]. 
Acessado em 26 de Abril de 2015. 
 
Gasch, R. & Twele, J. (2012); Wind Power Plants - Fundamentals, Design, 
Construction and Operation. 2th Edition. Germany, Berlim. 
 
Pinto, J. S.; Pasa M. E. & Michels, A.; (2013). Dimensionamento Das Pás De 
Aerogerador De Eixo Horizontal Para Instalação Em Uma Propriedade Rural. 
Semana Internacional Das Engenharias FAHOR. Horizontina, RS. 
 
Tangler, J. L. & Somers, D.M. (1995); NREL Airfoil Families for HAWTs. U.S. 
Department of Energy. Golden, Colorado. 
 
Burton, T.; Sharpe, D.; Jenkins, N. & Bossanyl, E.; (2001). Wind Energy Handbook. 
John Wiley & Sons, Weinheim, Germany. 
 
 
 
 22 
APENDICE A 
 
Tabela 7. Coordenadas do aerogerador S819 NREL. 
x y 
 
1 0 
0.996227 0.00061 
0.985332 0.002884 
0.968321 0.007082 
0.946197 0.012848 
0.919582 0.019478 
0.888601 0.026289 
0.8531 0.033195 
0.813514 0.040423 
0.770468 0.047944 
0.724602 0.055635 
0.676568 0.063323 
0.62701 0.070795 
0.576554 0.077814 
0.525799 0.084135 
0.475305 0.089511 
0.425591 0.093712 
0.377132 0.096532 
0.330358 0.0978 
0.285654 0.097385 
0.243383 0.095223 
0.203951 0.091061 
0.16707 0.084912 
0.133009 0.077309 
0.102158 0.068539 
0.074857 0.058848 
0.051442 0.048461 
0.032137 0.037616 
0.017236 0.026575 
0.006778 0.015626 
0.001025 0.00543 
0.000016 0.00063 
0.000085 -0.001387 
0.000273 -0.002303 
0.000507 -0.002953 
0.000592 -0.003128 
 23 
0.001122 -0.00389 
0.001853 -0.004672 
0.003801 -0.006327 
0.009034 -0.009898 
0.025086 -0.020533 
0.04469 -0.033671 
0.067554 -0.047997 
0.092912 -0.062604 
0.120577 -0.076796 
0.150045 -0.089856 
0.181072 -0.101107 
0.213187 -0.109658 
0.246621 -0.113752 
0.283625 -0.113579 
0.323851 -0.110343 
0.367148 -0.104334 
0.413252 -0.096074 
0.461795 -0.086042 
0.512331 -0.07475 
0.564325 -0.062742 
0.617142 -0.050578 
0.670041 -0.038808 
0.72218 -0.027942 
0.772632 -0.018422 
0.820407 -0.010583 
0.864481 -0.004633 
0.903842 -0.000629 
0.937525 0.001531 
0.964668 0.002098 
0.984436 0.001434 
0.996165 0.000438 
1 0