AD1 C2 2016 2 Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2016/2) – Gabarito 
 
 
Solução da 1ª Questão 
 
O gráfico da função 
g
 é o mostrado na figura 1.1 a seguir: 
 
 
Figura 1.1 
 
(a) Como a função 
g
 tem expressões diferentes nos intervalos consecutivos 
1
[ , 4]
4
 e 
[4,7]
, devemos usar 
a proposição 2.2 do caderno didático para obter: 
 
7 4 7
1/4 1/4 4
( ) ( ) ( )g x dx g x dx g x dx   
 (1)
 
 
Lançando mão das expressões da função 
g
 em cada um dos intervalos e substituindo em (1) e usando 
mudança de base no logaritmo e integração por partes, temos: 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
 
77 4 7 4 7 4 6
6 6
2
1/4 1/4 4 1/4 4 1/4 4
4 74 6
1/4 41/4
ln 1 2
g( ) (log ) (2 2) ( ) (2 2) 2
ln 2 ln 2 ln 2
1 2
2
ln 2 ln 2
1 1
(ln 4).4 (ln )
ln 2 4
(ln )
1
(ln ). .
x
x x
x
dvu
v vu
du
x
x dx x dx dx dx dx x
x
x dx
x x x dx
x

 

 
           
 
 
                  

     

4 6 7 6 4
1/4
1 2 2
. 2.7 2.4
4 ln 2 ln 2
1 1 1 1 4
8ln 2 ln 2 4 14 8
ln 2 2 4 2ln 2 ln 2
17 15 7 5 1
6
2 4ln 2 2ln 2 2 4ln 2
dx
        
              
        
        
                 
        
    

 
 
 
 
(b) Analisando-se o gráfico da figura 1.1, percebe-se que 
( ) 0g x 
 em 
[1,5]
 e 
( ) 0g x 
 em 
1
[ ,0]
2

 e 
[3,4]
. 
Sejam 
1R
, 
2R
 e 
3R
 as regiões representadas no gráfico a seguir 
 
 
 
Figura 1.2 
 
De acordo com a definição 2.2 do caderno didático ( vide também EP1), tem-se que: 
 
1
1
1/4
( ) ( )g x dx A R 
 , 5
2
1
( ) ( )g x dx A R
 e 7
3
5
( ) ( )g x dx A R 
 (2) 
 
 
Agora , pela proposição 2.2 do caderno didático vale a seguinte propriedade da integral definida: 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a3
 
 
7 1 5 7
1/4 1/4 1 5
( ) ( ) ( ) ( )g x dx g x dx g x dx g x dx     
 (3) 
 
Substituindo agora (2) em (3), tem-se: 
 
7
1 2 3
1/4
( ) ( ) ( ) ( ( ))g x dx A R A R A R    
 ou ainda 7
2 1 3
1/4
( ) ( ) ( ( ) ( ))g x dx A R A R A R  
. 
 
Ou seja, a integral definida dada no item anterior representa uma diferença de áreas . Mais 
especificamente, é a área da região sob o gráfico de 
g
 e acima do eixo (
2( )A R
) menos a soma das 
áreas das regiões sobre o gráfico de 
g
 e abaixo do eixo 
x
 (
1 3( ) ( )A R A R
). 
Como no item anterior vimos que esse valor é positivo ( a saber 
5 1
0
2 4ln 2
 
 *), isto significa que 
a área da região 
2R
 é maior que a soma das áreas das regiões 
1R
 e 
3R
. 
 ( * De fato: 
4ln 2 ln16
 e como 
16e 
 segue que 
ln ln16e 
, uma vez que o logaritmo é 
 crescente , já que sua base é 
1e 
, ou seja, 
 
1 4ln 2
. Portanto 
1 1 5 5 1
1 1 1
4ln 2 4ln 2 2 2 4ln 2
        
. Portanto 
5 1 3
0
2 4ln 2 2
  
 ) 
 
(c) A área total delimitada pelo gráfico da função 
g
, pelo eixo 
x
 e as retas 
1
4
x 
 e 
7x 
 é dada por: 
 
1 2 3( ) ( ) ( )TA A R A R A R  
 
 
O que, de acordo com (2), nos dá: 
 
1 5 7
1/4 1 5
( ) ( ) ( )TA g x dx g x dx g x dx
 
     
 
  
 , ou seja, 
 
1 5 7
1/4 1 5
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )T
III III
A g x dx g x dx g x dx
 
     
 
  
 (4) 
 
Cálculo de (I): No intervalo 
1
[ ,1]
4
, tem-se 
2( ) logg x x
 , logo: 
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a4
 
 
1 1 1 1
2
1/4 1/4 1/4 1/4
1
1
1/41/4
1
1/4
ln 1
( ) (log ) ( ) (ln )
ln 2 ln 2
1 1
(ln ). .
ln 2
1 1 1
(ln1).1 (ln ).
ln 2 4 4
1 1 1
0 ln 2 1
ln 2 2 4
1 3
2 4ln 2
dvu
v vu
du
x
g x dx x dx dx x dx
x x x dx
x
dx
   
 
       
   
  
     
  
  
      
  
 
   


 (5) 
 
(obs.: note que as primitivas envolvidas já tinham sido obtidas implicitamente na resolução do item a. 
Repetimos aqui por cortesia.) 
Cálculo de (II): No intervalo 
[1,5]
, tem-se 
2
6
log , 1 4
( )
2 2, 4 5x
x se x
g x
se x
 
 
  
 . 
 
Usando a proposição 2.2 do caderno didático e substituindo os valores correspondentes a cada intervalo da 
função, temos 
 
 
   
 
5 4 5 4 5
6
2
1 1 4 1 4
5
6
4
1
4
6 5 6 4
( ) ( ) ( ) (log ) (2 2)
1 2
(ln ). 2
ln 2 ln 2
1 2 2
(ln 4).4 4 (ln1).1 1 2.5 2.4
ln 2 ln 2 ln 2
1 2 1
8ln 2 3 2 6
ln 2 ln 2 ln 2
x
x
g x dx g x dx g x dx x dx dx
x x x x


 
     
 
      
 
    
                
    
 
      
 
    
 (6) 
 
 
Cálculo de (III): No intervalo 
[5,7]
, tem-se 
6( ) 2 2xg x  
 , logo: 
 
 
77 7 6 6 7 6 5
6
5 5 5
2 2 2
( ) (2 2) 2 2.7 2.5
ln 2 ln 2 ln 2
1 2 3
14 10 4
2ln 2 ln 2 2ln 2
x
xg x dx dx x
  

      
                
      
    
           
    
 
 (7) 
 
Substituindo (5), (6), e (7) em (4) temos que: 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a5
 
1 3 1 3 19 7
6 4
2 4ln 2 ln 2 2ln 2 2 4ln 2
TA
     
             
     
 
 
 
 
 
Solução da 2ª Questão 
 
Usando a proposição 2.2 do caderno didático, tem-se 
 
 
 
 
 
     
4 4 4sen sen sen
3
3 3
log arctg0
4 4 4 4 4
log arctg log arctg 0 0 0
3 3 3
1 1 1 1 1
( )
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
x x x
x
x x
f x dt dt dt dt dt
t t t t t
     
        
 
(obs.: o valor intermediário de integração escolhido – 
0t 
, no nosso caso – não tem qualquer importância 
especial. Poderia ter sido escolhido qualquer outro valor no domínio da função do integrando.) 
 
Seja 
4
0
1
( )
2 3
x
H x dt
t


 . Neste caso, 
( ) ( ( )) ( ( ))f x H a x H b x  
 , em que 
 3( ) log arctg )a x x
 e 
 4sen
( ) 3
x
b x 
. 
 
Pelo T.F.C., temos 
 
4
1
'( )
2 3
H x
x


 (1) 
 
Também, pela regra da cadeia, temos que 
 
 
'( ) '( ( )). '( ) '( ( )). '( )f x H a x a x H b x b x  
 
 (2) 
 
Assim, devemos calcular 
'( )a x
 e 
'( )b x
, usando a regra da cadeia. A saber: 
 
 
 
 3 2
ln arctg ) 1 1
( ) log arctg ) ( ) '( ) .
ln3 arctg .ln3 1
x
a x x a x a x
x x
    

 e 
 
     4 4 4sen sen sen3 3( ) 3 '( ) 3 .ln3.4.sen .cos '( ) 4ln3.3 .sen .cos
x x x
b x b x x x b x x x    
 
 
 
Substituindo em (2) usando (1) temos 
 
       
 4
4
sen 3
4 42
sen
3
1 1 1 1
'( ) . . . 4 ln 3.3 .sen .cos
arctg .ln 3 12 3 log arctg ) 2 3 3
x
x
f x x x
x xx
             
 
ou ainda 
 
 
CálculoII AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a6
 
    
 
 
4
4
sen 3
4 1 4 sen2
3
1 4ln 3.3 .sen .cos
'( )
2 3 log arctg ) . arctg .ln 3.(1 ) 2 3
x
x
x x
f x
x x x

  
     
 
 
 
 
 
Solução da 3ª Questão 
 
 
a) Conforme observado no enunciado, os pontos de interseção ocorrem em 
0x
 e 
2x
. 
A saber 
0 1x y
 e 222 2 2x y . 
 
Ou seja, os gráficos se intersectam nos pontos 
(0,1)
 e 
(2,2)
. 
 
A região é esboçada na figura 3.1 a seguir. 
 
 
 
Figura 3.1 
 
 
 
b) Neste caso, verificamos que é desnecessário dividir a região, como mostra a figura 3.2 a seguir . 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a7
 
 
 
Figura 3.2 
 
 
Temos portanto: 
 
2
2 2
0
( )
2
5
1 2
x
A R x dx
x 
 
c) Para representar a área da região 
R
 em termos de
y
 , precisamos dividi-la em duas 
sub-regiões , como mostra a figura 3.3 a seguir, além de expressar 
x
 como função de 
y
 . 
Na parábola 
2
2
5
1 x
x
y
, completando quadrados temos 
2 2
2
2
1
4 16 16 4 16 4 16
4 16 4 16
5 25 25 5 25 5 41
2. 1
5 41 5 41
x x x
x y x y
y x
 
o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que 
5
4
x
 e 
5
4
x
. 
Para a função 22
x
y
, tem-se 
2
2 2log log
2
x
y x y
. 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a8
 
 
 
 
Figura 3.3 
 
1 2
41
2 16
2
2
1 2
( ) ( )
( ) log
4 16 4 16 4 16
5 41 5 41 5 41
A R A R
A R y y dy y y dy 
 
ou seja 
 
1 2
41
2 16
2
2
1 2
( ) ( )
( ) log 2 .
4 16 16
5 41 41
A R A R
A R y y dy y dy 
 
 
d) Usando a expressão do item (b) , obtemos: 
 
2
2 2 3 2
2 2
0
0
2 0
2 3 2 2
5
( )
2 4 3 ln 2
5.2 2 52 13
2
4 3 ln 2 ln 2 12 ln 2 3 ln 2
5
1
2 2
2.2
2
2.2 2.2
x
x
x x
A R x dx x
x
 
 
 
Solução da 4ª Questão 
 
Considere a figura abaixo , representando o mesmo gráfico dado no enunciado 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a9
 
 
 
Figura 4.1 
 
 
a) 
Cálculo de 
(0)g
 : 
 Por definição 0 4
4 0
(0) ( ) ( )g f t dt f t dt   
 (1) 
Pela proposição 2.2 do caderno didático, tem-se: 
4 2 4
0 0 2
( ) ( ) ( )f t dt f t dt f t dt   
 (2) 
 
Mas 
2
0
( )f t dt 
(área do triângulo de base 2 e altura 5) 
2.5
5
2
 
 
4
2
( )f t dt 
 -(área do triângulo de base 2 e altura 2) 
2.2
2
2
   
 
 
Substituindo em (2), temos 4
0
( ) 5 ( 2) 3f t dt    
 e portanto , em (1), 
(0) 3g  
. 
 
 
(obs.: nos cálculos seguintes, usa-se argumentos similares ao do cálculo anterior, sempre 
prestando atenção ao sinal da integral e sua relação com a área correspondente) 
 
Cálculo de 
(1)g
 : 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
0
 
Por definição 1 4 2 4
4 1 1 2
1.5 2.2
(1) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
g f t dt f t dt f t dt f t dt
    
             
   
   
 
 
1
(1)
2
g  
 
 
 
Cálculo de 
(2)g
 : 
Por definição 2 4
4 2
2.2
(2) ( ) ( )
2
g f t dt f t dt
 
      
 
 
 
 
(2) 2g 
 
 
Cálculo de 
(3)g
 : 
Por definição 3 4
4 3
1.2
(3) ( ) ( )
2
g f t dt f t dt
 
      
 
 
 
 
(3) 1g 
 
 
 
Cálculo de 
(4)g
 : 
Por definição 4
4
(4) ( ) 0g f t dt 
 , pois os extremos de integração são iguais 
 
(4) 0g 
 
 
Cálculo de 
(5)g
 : 
Por definição 5
4
1.1
(5) ( )
2
g f t dt 
 
 
1
(5)
2
g 
 
 
Cálculo de 
(6)g
 : 
Por definição 6
4
2.1
(6) ( )
2
g f t dt 
 
 
(6) 1g 
 
Cálculo de 
(7)g
 : 
Por definição 7 6 7
4 4 6
1.4
(7) ( ) ( ) ( ) (6) 1 2
2
g f t dt f t dt f t dt g
 
        
 
  
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
1
 
(7) 1g  
 
 
Cálculo de 
(8)g
 : 
Por definição 8 6 8
4 4 6
2.4
(8) ( ) ( ) ( ) (6) 1 4
2
g f t dt f t dt f t dt g
 
        
 
  
 
 
(8) 3g  
 
 
Cálculo de 
(9)g
 : 
Por definição 9 8 9
4 4 8
1.3 3
(9) ( ) ( ) ( ) (8) 3
2 2
g f t dt f t dt f t dt g
 
        
 
  
 
 
3
(9)
2
g  
 
 
Cálculo de 
(10)g
 : 
Por definição 10 8 10
4 4 8
2.3
(10) ( ) ( ) ( ) (8) 3 3
2
g f t dt f t dt f t dt g
 
        
 
  
 
 
(10) 0g 
 
 
A tabela a seguir resume os valores obtidos 
 
x
 
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
10
 
( )g x
 
3
 
1
2

 
2
 
1
 
0
 
1
2
 
1
 
1
 
3
 
3
2

 
0
 
 
 
 
 
b) Pela primeira forma do T.F.C., segue que 
'( ) ( )g x f x
 , para todo 
(0,10)x
. 
De acordo com o gráfico, tem-se 
( ) 0f x 
 nos intervalos 
(2,4)
 e 
(6,8)
 e 
( ) 0f x 
, nos 
intervalos 
(0,2)
, 
(4,6)
 e 
(8,10)
. 
A tabela abaixo apresenta o comportamento do sinal de 
'( ) ( )g x f x
 e portanto dá a informação 
sobre crescimento e decrescimento de 
( )g x
 
 
 
 
 
 
Intervalos 
0 2x 
 
2 4x 
 
4 6x 
 
6 8x 
 
8 10x 
 
'( ) ( )g x f x
 

 

 

 

 

 
( )g x
 
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
2
 
Assim, a função 
( )g x
 é decrescente em
(2,4) (6,8)
 e é crescente em 
(0,2) (4,6) (8,10) 
. 
 
c) Pelo item anterior e o teste da derivada primeira, temos que 
4x 
 e 
8x 
 são pontos de mínimo 
locais e 
2x 
 e 
6x 
 são pontos de máximo locais. 
Por outro lado, de (b) segue que 
g
 é contínua no intervalo fechado 
[0,10]
. Logo segue ainda da tabela 
de valores obtida no item (a) que 
0x 
 e 
8x 
 são os pontos de mínimo absolutos e 
2x 
é o ponto 
de máximo absoluto. 
 
d) 
Para estudarmos os pontos de inflexão e as mudanças de concavidade no gráfico de 
( )g x
, devemos 
estudar o sinal de 
''( )g x
. 
Como 
'( ) ( )g x f x
 e 
f
 é derivável no intervalo 
(0,10)
, exceto nos valores naturais assumidos por 
x
 
segue que 
''( ) '( )g x f x
, exceto nestes valores. 
Lembre-se que 
'( )f x
 representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
f
 no ponto 
( , ( ))P x f x
 
que, neste caso, é negativa nos intervalos em que 
f
 é decrescente (vide figura 4.2), e positiva nos 
intervalos em que 
f
 é crescente (vide figura 4.3). 
Assim, a tabela seguinte nos dá o comportamento do sinal de 
''( )g x
. 
 
 
Intervalos 
0 1x 
 
1 2x 
 
2 3x 
 
3 4x 
 
4 5x 
 
''( ) '( )g x f x
 

 

 

 

 

 
Concavidade do 
gráfico de 
g
 

 

 

 

 

 
 
Intervalos 
5 6x 
 
6 7x 
 
7 8x 
 
8 9x 
 
9 10x 
 
''( ) '( )g x f x
 

 

 

 

 

 
Concavidadedo 
gráfico de 
g
 

 

 

 

 

 
 
A tabela acima nos diz que existe mudança de concavidade em 
1x 
, 
3x 
, 
5x 
, 
7x 
 e 
9x 
 
e existe reta tangente nos pontos 
(1, (1))g
,
(3, (3))g
,
(5, (5))g
, 
(7, (7))g
, 
(9, (9))g
logo os pontos 
mencionados são pontos de inflexão e portanto as abscissas dos pontos de inflexão ocorrem em 
1x 
, 
3x 
, 
5x 
, 
7x 
 e 
9x 
. 
 
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
3
 
 
 Figura 4.2 Figura 4.3 
 
A tabela acima nos disse que o gráfico de 
g
tem concavidade para baixo em 
(1,3) (5,7) (9,10) 
e para 
cima em 
(0,1) (3,5) (7,9) 
. 
 
A figura a seguir mostra um esboço aproximado da função 
( )g x
 
 
 
Figura 4.4