Exercícios de vetores resolvidos

Prévia do material em texto

Problema (Revisão)
Por duas décadas, equipes especializadas de exploradores de cavernas nos Estados Unidos
procuraram uma conexão entre o sistema de cavernas de Flint Ridge e a Caverna do Mamute,
ambos no estado americano de Kentucky. Quando a conexão foi finalmente descoberta, o sistema
combinado foi declarado como o mais longo do mundo (mais de 200 km de extensão). A equipe
que encontrou a conexão teve que rastejar, escalar e se contorcer em inúmeras passagens, em um
deslocamento líquido de 2,6 km para oeste, 3,9 km para sul, e 25 m para cima. Qual foi seu
deslocamento desde o início até o fim?
2 2
1 0
(2,6 ) (3,9 ) 4,69
3,9
tan
2,6
3,9
tan 56
2,6
h
h
h
d km km km
km
km
km
km
θ
θ −
= + =
=
= =
2 2
1 0
(4,69 ) (0,025 ) 4,69
0,025
tan 0,3
4,69v
d km km km
km
km
θ −
= + ≈
= =
20/03/2015 11:41
Vetores Unitários:
Vetor com módulo igual a 1, sem dimensão e unidade. 
Tem função de indicar direção e sentido.
São representados para os eixos, , o símbolo ^ 
identifica o vetor unitário e não um vetor qualquer.
5ª aula
ˆˆ ˆ( ); ( ); ( )x i y j z k= = =
20/03/2015 11:41
Vetores Unitários: Operações
Os vetores unitários possibilitam especificar qualquer outro vetor, 
Exemplos:
5ª aula
ˆ ˆ
x ya a i a j= +
�
ˆ ˆ ˆ ˆa b ( ) ( )x y x ya i a j b i b j+ = + + +
�
�
20/03/2015 11:41
ˆ ˆ
x yb b i b j= +
�
?a b+ =
�
�
Vetores Unitários:
Os vetores unitários possibilitam especificar qualquer outro vetor, 
Exemplos:
5ª aula
ˆˆ ˆ(2,6 ) (0,025 ) (3,9 )d km i km j km k= − + +
�
d
�
20/03/2015 11:41
Adição de Vetores através de suas componentes:
5ª aula
( ) (Está implícito as três componentes cartesianas)
Para um vetor no espaço temos: 
Para dois vetores no espaço temos ( ) ( )
Para três vetores no espaço
x y z
x y z x y z
r a b c
a r a a a
r a a a b b b
= + +
= + +
= + + + + +
�
� � �
� � � � �
� � �
� � � �
 temos:
 
( ) ( ) ( )
, 
x y z x y z x y z
x y z
r a a a b b b c c c
ou r r r r
= + + + + + + + +
= + +
� � �
� � � � � � �
� � � �
20/03/2015 11:41
20/03/2015 11:41
As três componentes nos mostra que para somar os 
vetores devemos:
1. Decompor os vetores em suas componentes escalares;
2. Combinar essas componentes escalares, eixo a eixo, 
para obter as componentes do vetor soma ;
3. Combinar as componentes de para especificá-lo.r�
ˆ ˆ
ˆ ( )
ˆ ˆ
ˆ ( )
ˆ
ˆ ˆ ( ) k
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) k
ˆˆ ˆ
x x x x x x x x
y y y y y y y y
z z z z z z z z
x x x y y y z z z
x y z
r a b c r i a b c i
r a b c r j a b c j
r a b c r z a b c
r a b c i a b c j a b c
r r i r j r k
= + + ⇒ = + +
= + + ⇒ = + +
= + + ⇒ = + +
= + + + + + + + +
= + +
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
5ª aula
Uma resultante de soma ou subtração são aplicadas semelhantemente.
Exemplo:
( ) Como é combinação das componentes temos:
ˆ ˆ( )
ˆ ˆ( )
ˆ ˆ( )
ˆˆ ˆ
x y z
x x x x x x x x x
y y y y y y y y y
z z z z z z z z z
x y z
d a b d a b d
d d d d
d a b d i a b i d a b
d a b d i a b i d a b
d a b d i a b i d a b
d d i d j d k
= − ↔ = + −
= + +
= + ⇒ = + → = +
= + ⇒ = + → = +
= + ⇒ = + → = +
= + +
� � � � �
� �
� � � �
� �
�
� �
�
� �
�
�
20/03/2015 11:41
5ª aula
Problema 3-4
A fig. 3-16 (a) mostra os três vetores seguintes:
ˆ ˆ(4,2 m) i - (1,5 m) j,
ˆ ˆb = (-1,6 m) i + (2,9 m) j,
ˆc = (-3,7 m) j
a =
�
�
�
Qual é seu vetor soma , que também é mostrado 
na fig. 3-16 (a) ?
r
�
4,2 m - 1,6 m + 0 = 2,6 m
 = -1,5 m + 2,9 m - 3,7 m = -2,3 m
ˆ ˆr = (2,6 m)i - (2,3 m)j
x x x x
x
y y y y
y
r a b c
r
r a b c
r
= + +
=
= + +
�
20/03/2015 11:41
5ª aula
Problema 3-4
Outra forma de resolver:
2 2
1 0
(2,6 ) ( 2,3 ) 3,5 
e pode ser calculado por:
2,3 
 = tan 41 O sinal negativo indica sentido horário.
2,6 
r m m m
m
m
θ
θ −
= + − ≈
− 
= − 
 
-Ou ainda por suas componentes trigonométricas
1 0
. 2,3
tan 0,8846
. 2,6
tan ( 0,8846) 41
cat opg
cat adj
g
θ
−
−
= = = −
− = −
410
20/03/2015 11:41
5ª aula
Problema 3-5
De acordo com as pesquisas, a formiga do deserto mostrada na fotografia de 
abertura do capítulo 3 mantém um registro dos seus movimentos em um sistema 
mental de coordenadas. Quando decide voltar ao formigueiro soma seus 
deslocamentos em relação aos eixos do sistema para calcular um vetor que aponta 
diretamente para o ponto de partida. Como exemplo desse cálculo, considere uma 
formiga que executa cinco movimentos de 6,0 cm cada um em um sistema de 
coordenadas xy, nas orientações mostradas na Fig. 3-17a, partindo do formigueiro. 
No final do quinto movimento, quais são o módulo e o ângulo do vetor 
deslocamento total dtot e quais são os valores correspondentes do vetor de retorno 
dvolta que liga a posição final da formiga à posição do formigueiro?
, 1 2 3 4 5
, 1 2 3 4 5
,
,
ida x x x x x x
ida y y y y y y
d d d d d d
d d d d d d
= + + + +
= + + + +
20/03/2015 11:41
5ª aula
a)
900
600
FIG. 3-17 (a) Movimentos de uma formiga do deserto, (b) Componentes x e y de d tot. (c) O vetor d volta
indica o caminho de volta para o formigueiro.
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
,
(6,0 cm) cos 0 + 6,0 cm
(6,0 cm) cos 150 - 5,2 cm
(6,0 cm) cos 180 - 6,0 cm
(6,0 cm) cos (-120 ) - 3,0 cm
(6,0 cm) cos 90 0 
6,0 cm + (-5,2 cm + (- 6,0 cm) + (- 3,0 cm)
x
x
x
x
x
ida x
d
d
d
d
d
d
= =
= =
= =
= =
= =
= + + 0 - 8,2 cm=
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
,
(6,0 cm) cos 90 0 cm
(6,0 cm) cos 60 + 3,0 cm
(6,0 cm) cos 90 0 cm
(6,0 cm) cos (30 ) - 5,2 cm
(6,0 cm) cos 0 + 6,0 
0 + (+ 3,0 cm + 0 + (- 5,2 cm) + 6,0 cm + 3,8 cm
y
y
y
y
y
ida y
d
d
d
d
d
d
= =
= =
= =
= =
= =
= =
20/03/2015 11:41
5ª aula
,
,
2 2
, ,
2 2
,1
,
6,0 cm + (-5,2 cm + (- 6,0 cm) + (- 3,0 cm) + 0 - 8,2 cm
0 + (+ 3,0 cm + 0 + (- 5,2 cm) + 6,0 cm + 3,8 cm
d
( 8,2 cm) (3,8 cm) 9,0 cm
 = tan
ida x
ida y
ida ida x ida y
ida
ida y
ida x
d
d
d d
d
d
d
θ −
= + =
= =
= +
= − + =
 

 
( )1 0
0 0 0 0
 = tan 0,4634 24,86
24,86 180 155,14 155
ou
θ
θ
−

= −
= − + = ≈
b)
c)
0
0
O deslocamento então será:
d 9,0 cm a 155 ;
Enquanto a volta será:
d = 9,0 cm a -25 .
ida
volta
=
20/03/2015 11:41
5ª aula
Vetores e as leis da Física
Para facilitar alguns cálculos com sistemas
de coordenadas, é necessário girar um ângulo 
ɸ, os eixos, como figura 3.19b, mas não o vetor.
Assim as componentes teriam novos valores.
Ex: 
´ ´
2 2 ´2 ´2
, ,
:
´
x x x x
x y x y
a b por a b
como
a a a a a
θ θ φ
= + = +
= +
20/03/2015 11:41
5ª aula
Produto de Vetores:
1. Produto vetor por escalar;
1. Divisão vetor por Escalar ;
2. Produto vetor por vetor; Duas formas:
• Produto escalar – resulta em escalar
( ) ( ) (2) a 2Escalar s vetor a sa a× = ⇒ × =�� � �
1( ) / escalar(s) a .vetor a
s
=
��
. ( cos )( ) ( )( cos )
comutativo a .b b.a
Na forma de vetores unitários temos:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆa.b=(a ).( )x y z x y z
a b a b a b
i a j a k b i b j b k
φ φ= =
⇒ =
+ + + +
�
�
� �
� �
�
�
. cosa b a b φ=��
20/03/2015 11:41
20/03/2015 11:41
Desenvolvimento da equação do produto escalar.
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆa.b=(a ).( )
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
. | || | cos
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
. ( ).( )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
. ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( .
x y z x y z
x y z
x y z
x y z x y z
x x x y x z y x y y y
i a j a k b i b j b k
a a i a j a k
b b i b j b k
a b a b
a b a i a j a k b i b j b k
a b a i b i a i b j a i b k a j b i a j b j a j
θ
+ + + +
= + +
= + +
=
= + + + +
= + + + + +
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ) ( . ) ( . ) ( . )
ˆ ˆ
. (| | . | |)( . ) | | . | | cos0 1 (1)
ˆˆ
. (| | . | |)( . j) | | . | | cos90 0 (0) 0
:
. ( ) ( ) ( )
z z x z y z z
x x x x x x x x
x y x y x y
x x y y z z
b k a k b i a k b j a k b k
a b a b i i a b a b a b
a b a b i a b a b
Então
a b a b a b a b
+ + +
= = = ⇒ =
= = = ⇒ =
= + +
�
�
�
�
�
�
20/03/2015 11:41
Qual é o ângulo θ entre ? (Atenção:
Muitos dos cálculos a seguir não são necessários quando se usa uma 
calculadora, mas você aprenderá mais sobre produtos escalares se, pelo
menos no início, executar esses cálculos.)
ˆˆ ˆ ˆ3,0 - 4,0 -2,0 3,0a i j e b i k= = +
�
�
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
. | || | cos
(3,0) ( 4,0) 5,0 (Módulo ou norma do vetor a)
( 2,0) (3,0) 3,6 (Módulo ou norma do vetor b)
ˆˆ ˆ ˆ
. (3,0 4,0 ).( 2,0 3,0 )
ˆ ˆ ˆ
. (3,0 ).( 2,0 ) (3,0 )
x y
x y
a b a b
a a a
b b b
a
b
a b i j i k
a b i i i
θ=
= +
= +
= + − =
= − + =
= − − +
= − +
�
�
�
�
�
�
�
�
ˆ ˆ ˆ ˆˆ
.(3,0k) ( 4,0 j).( 2,0 ) ( 4,0 j).(3,0k)
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
. (3,0).( 2,0)( . ) (3,0).(3,0)( . ) ( 4,0).( 2,0)(j. ) ( 4,0).(3,0)(j.k)
. ( 6,0).1 (9,0).0 (8,0).0 (12).0
. 6,0
16,0 (5,0)(3,6)cos
co
i
a b i i i k i
a b
a b
θ θ
+ − − + −
= − + + − − + −
= − + + −
= −
− = ⇒ =
�
�
�
�
�
�
0 0
6,0 1 ( 0,332)
s (5,0)(3,6) cos
 =109 110θ
−
= −
≅
a
�
b
�
1100
3
-4
-2
3
Produto vetorial – resulta em vetor
O produto (lê-se "a vetor b") a b c c ab senφ× = ⇒ =�� �
 , 0. 
 , , 
 
|
 
 
|
 
.
Se a e b são paralelos ou antiparalelos a b
O módulo de a b que pode ser escrito como a b
é máximo quando a e b são mutuamente perpendiculares
um ao outro
× =
× ×
�
�
) 
) c
a c a b
b b a
= ×
= ×
�
� �
�
� �
( ) Produto vetorial
 não comutativo
b a a b× = − × ⇒
� �
� �
0 0; 90 1
cos0 1;cos90 0
sen sen= =
= =
20/03/2015 11:41
0
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) (b )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( b sen0 )+( sen90)+( sen90)+
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
 ( b 90) ( 0 ) ( 90)
ˆ ˆˆ
 ( b 90) ( 
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z
a b a i a j a k i b j b k
a b a i i a i b j a i b k
a j i sen a j b j sen a j b k sen
a k i sen a k
× = + + × + +
× =
+ + +
+
�
�
�
�
0 0
0
0
ˆ ˆˆ
 0 ) ( 0 )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( b )(| | | |) 0 ( )( | | | |) 90 ( )(| | | |)sen90)+
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
 ( b )(| | | |) 90) ( )(| | | |) 0 ) ( )(| | | |) 90)
 
y z z
x x x y x z
y x y y y z
b j sen a k b k sen
a b a i i sen a b i j sen a b i k
a j i sen a b j j sen a b j k sen
+
× = × + × + ×
× + × + × +
�
�
0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
 ( b )(| k | | | 90) ( )(| k | | |) 90) ( )(| k | | | 0 )z x z y z za i sen a b j sen a k b k sen× + × + ×
Para produto vetorial aplica-se a propriedade distributiva, ˆj
ˆi
ˆk
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( ) ( b )( ) ( )( ) ( b )( ) ( )( )
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
x y x z y x y z z x z y
y z z y z x x z x y y x
a b a b k a b j a k a b i a j a b i
a b a b a b i a b a b j a b a b k
× = + − + − + + + −
× = − + − + −
�
�
�
�
20/03/2015 11:41
Outra forma de resolver o produto vetorial é utilizando o sistema 
determinante:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) (b )
ˆˆ ˆ
 k
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
 ( ) ( b ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( b )( )
 
ˆ ˆ( ) ( b ) (
x y z x y z
x y z y z z x x y z y x z y x
x y z
y z z y z x x z x y
a b a i a j a k i b j b k
i j
a b a a a a b i a j a b k a b i a b j a k
b b b
a b a b a b i a a b j a b
× = + + × + +
 
 
× = = + + + − + − + − 
 
 
× = − + − + −
�
�
�
�
�
�
ˆb )y xa k
20/03/2015 11:41
20/03/2015 11:41
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 2 ; 1 4 2 ; 2 2 1
) .( ) ?
ˆˆ ˆ(3 3 2 ).( )
 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3 3 2 ). 1 4 2 (3 3 2 ).( 8 5 6 )
 2 2 1
.( ) ( 24 15 12) 21
a i j k b i j k c i j k
a a b c
i j k b c
i j k
i j k i j k i j k
a b c
= + − = − − + = + +
× =
+ − ×
+ − − − = + − − + +
× = − + − = −
�
� �
�
� �
�
�
�
� �
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ) .( ) (3 3 2 ).(1 2 3 )
 .( ) (3 6 6) 9
b a b c i j k i j k
a b c
+ = + − − +
+ = − − = −
�
� �
�
� �
) a (b+c)
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ(3 3 2 ) (1 2 3 )
 
 a (b+c) 3 3 2 9 4 2 9 3 6
1 2 3
ˆˆ ˆa (b+c) 5 11 9
c
i j k i j k
i j k
i i j j k k
i j k
×
+ − × − +
× = − = − − − − −
−
× = − −
�
� �
�
� �
�
� �
20/03/2015 11:41
Pr 13:
1
2
0
55 90
55 902 2
a) 72,5 /
2
1
1801 1 1b) 68,4 /
. 1,63 2,63
2 2 110 180 180
55 90
2 2
1 1c) 
72,5 68,3
T
M
M
M
M
d d v t
km t km t
d km km th h
v km h
tt h t
d d d
d km
v km hd d d h dh dh dht h
km km km
km km
h h
D D
v D D Dh
km km
h h
= +
   
+    +     
= = = =  
  
= = = = = =
+
+
+
= =
+
+
2(72,5 ) 70,3
1,06 2,06
72,5
)
km km
Dh h h
km
d Zero
= =