Apostila pré cálculo

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACADÊMICO_______________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
REVISÃO - PRÉ-CÁLCULO 
 
1 – Conjuntos numéricos 
 
N = Naturais = {0,1,2,3,4,5,6,.......} 
Z = Inteiros = {....-3,-2,-1,0,1,2,3.........} 
Q = Racionais = {todo número na forma 
q
p
, com p e q 

 Z e q 

 0} 
I = Irracionais = {todo número que não é possível escrever na forma 
q
p
} 
R = Reais = Q 

I 
C = complexos = Reais e imaginários 
 
2 – Potenciação 
 
Definição: Consideremos um número real a e um número natural n, com n 

 0. A 
expressão 
na
, denominada potência, representa um produto de n fatores iguais ao 
número real a. 
 
   
fatoresn
n aaaaaaa ................... 
Ex: 
 
81
1
3
1
.
3
1
.
3
1
.
3
1
3
1
)2
1255.5.55)1
4
4
3
3
































  

fatores
fatores
 
 
Na potência 
na
, temos 





EXPOENTEsechamannúmeroo
BASEsechamaanúmeroo 
 
Resolvendo: 
a) 
 32
 b) 
39
 c) 
     7253 1222.5 
 
 
 
 
 
 
Propriedades de potência: 
 
Observe a multiplicação: 
  
53853
853
101010.10:
1010.10.10.10.10.10.10.1010.10.10.10.10.10.10.1010.10)1


então
 
 
 3 
Como o fato ocorre sempre quando temos uma multiplicação com potências de mesma 
base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade: 
 
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m e n números naturais, então 
nmnm aaa .
 
 
Observe a divisão: 
 
46246
2
4
6
46
101010:10:
1010.10
10.10.10.10
10.10.10.10.10.10
10
10
10:10)1


então
 
 
Como o fato ocorre sempre quando temos uma divisão com potências de mesma base, 
podemos estabelecer a seguinte propriedade: 
 
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m e n números naturais, então 
nmnm aaa :
 
 
Observe a potência: 
 
 
  2.4824
8444424
101010:
101010.1010)1

 
então
 
 
Como o fato se repete sempre que temos uma potência de outra potência, podemos 
escrever a seguinte propriedade: 
 
Dado um número real a, não-nulo, e sendo m e n números naturais, então 
  nmnm aa .
 
 
Considere as expressões: 
     222 7.27.7.2.27.2.7.27.2.7.27.2)1 
 
2
22
7
2
7.7
2.2
7
2
.
7
2
7
2
)2 





 
 
Isso nos permite escrever: 
 
Dada a potência 
 
n
n
b
a
ouba 





.
, sendo a e b números reais não-nulos e n um número 
natural diferente de zero, temos 
  nnn baba .. 
 ou 
n
nn
b
a
b
a






 
 
OBS* 
  63.232 101010 
 enquanto que 82.2.22 101010 3  
 
 
 
 4 
Resolvendo: 
a) 
   1720 7:7 
 b) se x = 
 322
, y = 322 e z = 232 , c) simplifique a expressão 
 calcule x.y.z 2
5
4
10
1000.001,0





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Expoente zero: Considere 











110:
101010:10
110000:1000010:10
0
04444
44
então
ou
 
 
Para todo número real a, com a 

0, temos 
10 a
 
 
 Expoente inteiro negativo: Considere














10
1
10:
10
1
10.10.10.10
10.10.10
10
10
101010:10
1
4
3
14343
então
ou
 
 
Para todo número real a, com a 

0, temos 
a
a
11 
 
 
 
Exercícios 
1 – Transforme numa só potência com expoente inteiro e positivo: 
 
27
41
54
432
431010
59
53
3:3)
5)
6:6)
8.8.8.8)
2.2.2.2)
10.10.10)
8.8)






g
f
e
d
c
b
a
 
 
 
4
1
20
13
26
9
6
2
2
)
6)
7:7)
10)
10
10
)




l
k
j
i
h
 
 5 
2 – Sendo x um número real não-nulo, escreva cada uma das expressões na sua forma 
mais simples e com expoente inteiro positivo: 
   
1
5
9
1953221
3
2
4 .
)...).))




 











x
xx
dxxxxcxxb
x
x
a yy
 
 
3 – Simplifique a expressão 
41
843
10.10.12
10.10.10.12

 
 
4- Qual é o valor da expressão    
  bababa
bababa
.....
.....
1123
214212

 quando a = 
310
 e b = 10
-2
 
 
5 – Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões: 
 
2
1
11
2
1
22
)






















a 
  2
22
2.3
3.22.3
)

 
b
 
 
6 – Calcule o valor de m, sabendo que  
001,0
1000.01,0.00001,0
2
m
 
 
 
 
Respostas 
52
123
945
2
2
1
)1)
7
1
)
10
1
)
10
1
)3)5)
6
1
)1)
2
1
)10)
8
1
)
)1
lkJ
ihgfedcba
 
 
3
26
18 )
1
)
1
))
)2
xd
x
c
x
bxa
 
610)3
 
910
1
)4
 
 
19)4))5 ba
 
310
1
)6
 
 
3 – Radiciação 
 
Definição: Quando o número real a é positivo (a > 0) e n é um número natural par 
diferente de zero, a expressão 
n a
 é igual ao número real positivo b, tal que 
abn 
. 
 
 índice 
n a
 radicando 
 
 
 6 
Ex 
  82,28)3
813,381)2
255,525)1
33
44
2



pois
pois
pois
 
 
Potência com expoente racional 
A expressão nma , com 
,00,,,   nmNnNmRa
que representa uma potência 
com expoente fracionário, pode ser escrita na forma 
n ma
, ou seja: 
 Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical, ou 
seja, n mnm aa  .Ex : 5 252 1010  
 Todo radical pode ser escrito na forma de uma potência com expoente 
fracionário, ou seja, nmn m aa  . Ex: 2155  
 
Resolvendo 
2
5
3
2
75,03
1
927)316)2125)1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos radicais 
 
1ª) 
1,,   neNnRacomaa
n n
 
2ª) 
nemdecomumdivisorpepcomaa
pn pmn m 0,
: : 
 
3ª) 
11,,,,
.
  penNpNnRacomaa
pnn p
 
4ª) 
1,,
..


 neNnRbRacom
b
a
b
a
ebaba
n
n
nnnn 
 
Resolvendo 
3 2256 10)3243)2729)1
 
 
 7 
 
Adição ou subtração de radicais 
Somente para radicais com termos semelhantes, então soma-se ou subtrai-se os 
coeficientes 
Multiplicação ou divisão com radicais 
Somente para radicais com o mesmo índice 
Resolvendo 
 212.2)2458200500)1 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação ou divisão com índices diferentes 
Se os índices forem diferentes para a multiplicação ou divisão devemos reduzir ao 
mesmo índice, através do mmc. Ex 
6666 26 33 1084.272.32.3 
 
 
Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária 
Não é convenientetermos numa expressão fracionária um número irracional no 
denominador, então devemos racionalizar a expressão para eliminarmos este irracional , 
multiplicando a expressão toda ( numerador e denominador) pelo conjugado do 
denominador. Ex. 
2
35
35
35
.
35
1
)2
3
3
3
3
.
3
1
)1






 
Exercícios 
1 – Calcule a expressão 
  3
4
23
1
4
1
82816 
 
2 – Calcule o valor da soma 03221 252749  
 8 
3 – Se 








 4
1
2
1
814A
, determine A
-1
 
4 – Determine y sabendo que y = 212132 41627  
5 – Escreva na forma de uma só potência com expoente fracionário 
3
4
63
2
... 











y
x
y
x
y
x
y
x 
6 – Um determinado número real x é expresso por 
      25,05,02,0 812532 
 e um 
número y é expresso por  2122 68  . Determine o valor da razão 
y
x
 
7 – Se 
3 4096x
 e 
3 3 512y
, determine o valor de x + y 
8 – Calcule 
481275 
 
9 – Se 
33
1
33
1



A
, qual é o valor de A? 
10 – qual o resultado da multiplicação 







 







 
2
332
.
2
332 
11 – Determine a diferença 
83
1
83
1



 
12 – A soma 
204512551080 
 é igual a? 
13 – Simplificando a expressão 
3
32322  , encontramos: 
Respostas 
1) 16 2)17 3)
5
1
 4) 3 5) 3
8






y
x 
6) 
5
2
 7) 4 8) 
33
 9)1 10) 
2
23

 
11)
24
 12)
54
 13)
6
 
 
 9 
4 – Polinômios 
Adição e subtração 
Considere 
2222
3
2222
2
2222
1 97538,73 yyxxPeyyxxPyyxxP 
 
Calcule P1 + P2 –P3 
 
Multiplicação 
Calcule: 
      332 4)23.2)3.2) cbcyxyxbxyxa 
 
 
 
 
 
 
Divisão 
Calcule: 
       1:7524)4:482012) 23433425  xxxxbabbababaa
 
 
 
 
 
 
   32:17692) 2234  xxxxxxc
 
 
 
 
 
 10 
Exercícios 
1)Qual a forma mais simples de escrever cada um dos seguintes polinômios 
  
    
     
      22
222
23.23..)
.)
2.)
2.)
yxyxyxyxyxd
cbcbabacbac
yxayxayxb
axxaaxa




 
2 – Supondo que 
 baabCebaBxabA  .,
, qual é o polinômio que 
representa A.B - C 
3 – Qual a forma mais simples de representar o polinômio 
      axaxaxaxx 536323 
 
4 – Escreva na forma mais simples os polinômios abaixo: 
   
   
     
     aaaaaaad
caxcbaxabxc
aaaaab
yxyyxxa




323)
2212)
3237)
323)
2322
22
 
5 – Determine o quociente 
   32:1519124 23  xxxx
 
6 – Se você dividir 
316692 234  xxxx
por 
32 2  xx
, você obtém um polinômio 
Q. Determine Q e calcule o seu valor numérico para x = 5 
7 – Se 
   1231123 323  xxxxP
, determine o quociente de P pelo polinômio 
-x + 1 
8 – Determine o quociente de: 
428)
122)
416)
11)
23
445
24
3




xxporxd
xporxxxc
xporxb
xporxa
 
9 – Sabe-se que o polinômio 
312134 24  xxx
 é divisível por 
132 2  xx
. 
Determine o quociente 
10 – O resto da divisão do polinômio 
12 23  xxx
 por 
12  xx
 é o polinômio R. 
qual é o valor numérico de R quando x = 1 
 
 
 11 
Respostas 
1) 
222222224 55))323)2) xyyxdcabbcacayyxyxbaxaxa 
 
2) –ax + bx 3) 
253 aax 
 
4) 
232322 78)2)524)2) aadabxcaabyxxa 
 
5)
532 2  xx
 6)
1;152  xx
 7) 2x – 4 
8)
2)2)4)1) 22  xdxcxbxxa
 
9)
332 2  xx
 10) -1 
 
5 – Produtos notáveis 
No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com freqüência e têm uma importância 
muito grande. Entre esses produtos, destacamos: 
5.1 – Produto da soma pela diferença de dois termos 
Consideremos o produto 
  yxyx  .
, que representa o produto da soma pela 
diferença de dois termos. Desenvolvendo algebricamente esta expressão temos: 
 
   
quadradosdoisdediferençadiferençapelasomadaproduto
yxyxyxyxyxyx 2222. 
 
Então: (x + y).(x – y) = (x2 – y2) 
     
termosegundodoquadradotermoprimeirodoquadradotermosdosdiferençatermosdossoma
yxyxyx 22.  
 
REGRA PRÁTICA: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo 
 
5.2 – Quadrado da soma de dois termos 
Vamos considerar a expressão 
    2. yxyxyx 
, que representa o quadrado da 
soma de dois termos Desenvolvendo algebricamente essa expressão, temos: 
 
     22222 2. yxyxyxyxyxyxyxyx 
 
 12 
Geometricamente podemos obter a mesma igualdade. 
 
O mesmo quadrado pode ser construído conforme a figura 2 e sua área pode ser 
expressa pela soma das áreas das figuras que compõem o quadrado, ou seja 
22 yxyxyx 
 ou 
22 2 yxyx 
 
 
Como as áreas das figuras 1 e 2 são iguais, podemos escrever a igualdade: 
(x + y)
2
 = x
2
 + 2xy + y
2
 
Então: 
    
termodoquadrado
pelo
doproduto
ovezesduastermodoquadrado
diferençapela
somadaquadrado
yxyxyx
º2
2
º2º1
º1
22 2 
 
REGRA PRÁTICA: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado 
do segundo. 
 
 
 
 
 
O quadrado da figura 1, cujo lado mede 
(x + y) tem área expressa por (x + y)
2
 
 13 
5.3 – Quadrado da diferença de dois termos 
Vamos considerar a expressão 
    2. yxyxyx 
, que representa o quadrado da 
diferença de dois termos. Desenvolvendo algebricamente essa expressão, temos: 
 
     22222 2. yxyxyxyxyxyxyxyx 
 
 
Geometricamente podemos obter a mesma igualdade: 
 
 
Como o nosso problema consiste em determinar a área do quadrado menor, podemos 
escrever: 
 
   
22
1
2222
1
22
1
4321
2 yxyxS
yyxyyxyxS
yyxyyxyxS
SSSSS




 
 
Como S1 = (x – y)
2
, podemos escrever a igualdade (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 
 
Então: 
    
termodoquadrado
pelo
doproduto
ovezesduastermodoquadrado
termosdois
dediferença
daquadrado
yxyxyx
º2
2
º2º1
º1
22 2 
 
 
REGRA PRÁTICA: o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do 
segundo, 
Resolvendo 
1)Sabe-se que x
2
 + y
2
 = 25 e que xy = 12. Nessas condições, qual é o valor da expressão 
 2yx 
 
 
 
 14 
Exercícios 
1)Um polinômio é expresso por 
   22 352  aa
. Qual e a forma reduzida desse 
polinômio 
2) simplifique a expressão 
       115151.1 2  aaaa
 
3) Escreva na forma mais simples o polinômio expresso por 
     xyxyxyxy 21.11 2 
 
4 – Qual a forma reduzida do polinômio expresso por 
      222222 23.33 baababba 
 
5 – Simplifique 
    nmnmnm  .22
 
6 – A expressão   2222 212  aa
 é equivalente a? 
7 – Qual a forma mais simples de escrever o polinômio expresso por 
       22.2434.34 yxyxyxyxyx 
 
8 – Qual é o quociente e o resto da divisão de 
   23 112  xporx
 
9 – Dada a expressão 
 22 2yx 
, adicione a ela o polinômio 
yxyx 224 3
. Qual o 
polinômio que você vai obter? 
10 – Quando dividimos 
 31x
 por x
2
 + x obtemos como resto da divisão, qual 
polinômio? 
11 – Sabe-se que x + y = 10 e que xy = 6. Nessas condições, determine o valor de 
x
2
 + y
2
 ( SUGESTÃO: eleve x + y ao quadrado) 
 
Respostas 
1)
34145 2  aa
 2)
aa 56 2 
 3)
222 yx
 4) 
222 462 bbaa 
 
5)3m
2
 + mn 6)
55 4 a
 7) 
22 42 yxyx 
 
8)quociente = 8x – 4 e resto = 6x + 5 9)
224 32 yyxx 
 
10) x + 1 11) 88 
 
 
 
 15 
6 – fatorando polinômios 
Fatorar é transformar em produto. Exemplo numérico 
Fatorar 150: 150 2 
75 3 
25 5 
5 5 
1 2 . 3 . 52 
 
 
Estudaremos apenas os casos simples de fatoração de polinômios, de larga aplicação no 
cálculo algébrico. 
6.1 – Fatoração pela colocação de um fator em evidência 
Quando todos os termos de um polinômio têm uma fator comum, podemos coloca-lo 
em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se 
obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum 
a)
hb 22 
 b)
bxax 1510 
 c)
345 2 yyy 
 
 
 
6.2 – Fatorando por agrupamento 
a)
1052  hxhx
 b)
123  yyy
 
 
 
 
 
6.3 – Fatoração de um polinômio que representa a diferença de dois quadrados 
Vimos dos produtos notáveis que: (x + y).(x – y) = x2 – y2 , a 
expressão x
2
 – y2 é chamada diferença de dois quadrados, enquanto a expressão (x + 
y).(x – y) é a sua forma fatorada. Na forma fatorada observamos que: 
 
 
 16 
 
polinômiodotermodoquadradaraizyy
polinômiodotermodoquadradaraizxx
º2
º1
2
2

 
a)x
2
 – 25 b)
222
4
1
yxa 
 c)
  367 2 a
 
 
 
 
 
6.4 – Fatoração do trinômio do quadrado perfeito 
Vimos dos produtos notáveis que: 
 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 
As expressões x
2
 + 2xy + y
2
 e x
2
 – 2xy + y2 são denominadas trinômios do 
quadrado perfeito, enquanto (x + y)
2
 e (x – y)2 são suas formas fatoradas 
respectivamente. 
OBS* Nem todo trinômio é um quadrado perfeito 
a) verifique se o trinômio 
22 2510 baba 
é quadrado perfeito 
 Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados, no caso, 
temos a
2
 e 25b
2
. 
 A seguir, determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: 
aa 2
 e 
bb 525 2 
 
 Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das duas raízes: 
abba 105..2 
, se o 
resultado for igual ao termo restante do trinômio dado, dizemos que o trinômio é 
quadrado perfeito, caso não, não temos trinômio do quadrado perfeito 
 Então: 
   
fatoradaforma
perfeito
quadradodotrinômio
bababa
222 52510 
 
a)
22 4129 yxyx 
 b)
11025 2  xx
 
 
 
 
 17 
6.5 – Fatorando a soma ou a diferença de dois cubos 
 
  
    
  
fatoradaforma
cubosdois
dediferença
fatoradaformacubosdesoma
yxyxyxyx
yxyxyxyx
2233
2233
.
.


 
Exercícios 
1) Dê a forma fatorada das expressões: 
ayayaye
yyxd
ananc
xb
yya
40200120)
)
2126)
100)
4914)
23
32
2
2





 
22
22
22
222
69)
1816)
66)
4)
cbcbi
ammah
yxg
zyxf




 
2 – Sabendo que x + a = 15 e x = 4, determine o valor numérico do polinômiox3 + ax2 
3 – Sabe-se que ax2 + axy = 324 e x + y = 12.Nessas condições, determine o valor de ax 
4 – Dado o polinômio x3 + xy2 + x2y + y3, determine o valor numérico do polinômio 
sabendo que x + y = 2,5 e x
2
 + y
2
 = 6,4 
5 – Sabendo que m + n = 12,5 e m – n = 2, qual é o valor numérico do polinômio m2 – 
n
2
. 
6- Escreva o polinômio 
         222222 xaxaaxxaaxx 
 na sua forma 
mais simples, dando a seguir a sua forma fatorada. 
7- Escreva na forma reduzida o polinômio 
    2222 2 xaxxaxa 
e, a seguir, 
fatore o polinômio. 
8 – Sabe-se que x + y = 13 e x – y = 10. Nessas condições, determine o valor numérico 
da expressão
   2222 22 yxyxyxyx 
 
Respostas 
1)
         222 )216)1010)7) yxydnacxxbya 
 
          22222 3)14)6)22)15340) cbiamhyxgzxyzxyfyyaye 
 
2) 240 3) 27 4) 16 5) 25 6)
  axax  22
 7)
 22xa 
 
8) 269 
 18 
7 – Simplificação de fração algébrica 
Para simplificar frações algébricas, usamos a fatoração, para transformar em produto. 
22
22
2
22 2
)
2
2
))
ca
caca
c
abbx
xa
b
yxy
yx
a






 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Simplifique 
2
2
22
35
23
22
33
99
)
)
153
55
)
)
)
yxy
xyx
e
yxynxn
nn
d
y
xyxy
c
nmm
nm
b
aab
cbc
a










 
4
32
22
33
43
22
2
2
2
4
224
)
)
1
)
63
44
)
)
x
xxx
j
cbabcca
ba
i
baa
ba
h
x
xx
g
xyx
axx
f










Respostas: 
1)
2
3
3
2
2
2
))
1
)
3
2
))
3
))
3
1
)))
x
x
j
c
ba
i
a
ab
h
x
g
yx
ax
f
y
x
e
yx
n
d
x
c
m
nm
b
a
c
a







 
8 – Funções 
Aqui nos interessa a construção do gráfico das funções 
8.1 – Função de 1º grau 
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B 
 19 
 O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00 por consulta num certo 
período. 
 O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00 por consulta no mesmo 
período. 
O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas. Determine: 
a)A equação da função correspondente a cada plano 
b)Faça o gráfico dos dois planos no mesmo sistema cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
8.2 – função do 2º grau 
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e 
o espaço em volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 m de tela, os 
diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para 
que a área seja a maior possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
8.3 – Função modular 
Denomina-se função modular f, de R em R+, tal que f(x) = | x | , ou seja: 
 
 






0,
0,
xparax
xparax
xf
 
Faça o gráfico da função 
  2 xxf
 
 
 
 
 
 
 
8.4 – função exponencial 
Denomina-se função exponencial f, de R em R+, tal que 
  xaxf 
, com a > 0 e a ≠ 1 
Faça o gráfico das funções: a) 
   
x
x xfbxf 





3
1
)2
 
 
 
 
 
 
 
8.5 – função logarítmica 
Denomina-se função logarítmica f, de 
*
R
 em R, tal que 
    xxfouxxf ea lnlog 
 
Com a > 0 e a ≠ 1 e x > 0. Faça o gráfico das funções: a)
    xxfbxxf
2
12 log)log 
 
 
 
 21 
 
9 – Trigonometria na circunferência 
9.1 – Ciclo trigonométrico 
É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um 
plano cartesiano ortogonal. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o 
sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o 
lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se 
dá no sentido contrário ao anterior 
 
9.2 – Medidas de arcos e ângulos 
9.2.1 – Grau 
Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual 
estamos medindo o arco. 
9.2.2 – Radiano 
Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual 
estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao 
comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad. 
 
9.2.3 – Arcos de uma volta 
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a 
medida do arco é igual a C=2 r, então: 
 
   22 
r
r
raiodoocompriment
ABarcodoocompriment
ABm
 
 22 
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é, 
2 rad=360 graus 
Podemos estabelecer os resultados seguintes 
Desenho 
 
Grau 90 180 270 360 
Radiano /2 3 /2 2 
9.3 – Razões trigonométricas no ciclo 
Temos 6 razões trigonométricas importantes no ciclo trigonométrico: SENO, 
COSSENO, TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE. 
Todas são medidas de segmentos determinadas nos eixos: eixo x, eixo y ou paralelos a 
estes. 
 
9.4 – Relações trigonométricas 
0,
1
cot
0,
cos
cot
0cos,
cos
1cos22




tgxcom
tgx
gx
senxcom
senx
x
gx
xcom
x
senx
tgx
xxsen
 
xgx
xtgx
senxcom
senx
x
xcom
x
x
22
22
cot1seccos
1sec
0,
1
seccos
0cos,
cos
1
sec




 
 
 23 
 
 
 
 
 
 
tgbtga
tgbtga
batg
tgbtga
tgbtga
batg
asenabasenbasen
asenbbasenbasen
bsenasenbaba
basenbaba
.1
.1
cos.cos.
cos.cos.
.cos.coscos
cos.cos.coscos










 
  
 
 
atg
tga
atg
aasenasen
a
asen
asena
a
2
2
2
22
1
2
2
cos.22
1cos2
21
cos
2cos












9.5 – Sinais das razões trigonométricas 
Seno e Cossecante Cosseno e Secante Tangente e Cotangente 
 
 
 
 
Resolvendo 
1 – Dado 
3
1senx
, com 
  x
2
, determine as outras funções trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Simplifique a expressão
gx
xx
y
cot1
seccossec



 
 
 
 
 
+ + 
 
 
- - 
- + 
 
 
+ - 
- + 
 
 
- + 
 24 
Exercícios 
1 – Encontre o seno, a secante e a cotangente do arco x do 2º quadrante cujo cosseno 
vale – 0,6. 
2 – Seja tgx = 2, com 0 < x < 
2

, calcule as demais razões trigonométricas. 
3 – Sendo cossec x = -5/3, com 
2
3  x
, calcule tgx. 
4 – Calcule o valor da expressão 
gxtgx
xx
y
cot3
secseccos3



, sendo 
5
3
senx
e x 

 ao 1º 
quadrante. 
5 – Simplifique a expressão 
  1cot.1 22  xgxtg
 
6 – Simplifique a expressão 
xx
senxx
cosseccos
sec


 
7 – Dados 
2
0
2
0,
3
2
cos
5
4   beacombeasen ,determine: 
a)sen(a + b) b)cos(a – b) c)tg(a + b) 
8 – Sendo 
0cos
6
5
 xesenx
, obtenha 
xsen2
 
9 – Simplifique a expressão 
xsen
xg
xg 2
2
2
cot1
cot


 
 
Respostas 
1)
75cot....6666,1sec8,0  gxxsenx
 
2)
2
5
seccos5sec
2
1
cot
5
5
cos
5
52
 xxgxxsenx
 
3)
4
3
 4)
19
15
 
xx 22 seccos.sec)5
 6)
tgx
 
7)a)
22
54525
)
15
546
)
15
538 
cb
 
8)
18
115 9)cos 2x