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23/07/2013
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Experimentos 
fatoriais
Prof Cleusa Bianchi Krüger
Introdução
• Tratamentos de um só tipo ou fator. Quando comparávamos
tipos de rações, raças, por exemplo, todos os demais fatores
(idade, peso, manejo, etc..) deveriam estar constantes.
• Porém pode-se estudar vários fatores (tratamentos)
simultaneamente para chegar ao resultado de interesse.
• Para isso o pesquisador avalia dois ou mais tipos de
tratamentos e verifica se há ou não interação entre os tipos
estudados.
Experimentos ditos FATORIAIS e os tipos de 
tratamentos são os FATORES=níveis do fator.
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Conceitos
 Fator: uma causa de variação conhecida e de interesse do
pesquisador (um tipo de tratamento).
 Nível: subdivisão do fator;
 Efeito principal: pode-se estudar isoladamente o efeito de cada
fator no experimento.
 Efeito da interação: quando existir, estudar o comportamento de
cada fator, na presença ou ausência de níveis dos demais fatores.
Exemplos
• Efeitos de medicamentos e doses.
• Efeitos de raça e época de desmame.
• Irrigação e cultivares.
• Rações e doses de nutrientes.
• Espécies, níveis de adubação e calagens.
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Os delineamentos: DIC, DBC e DQL eram empregados
com somente um fator de tratamento
Experimento
(uma fator) Dados Anova
Teste F 
significativo?
Aceita 
H0
Não
Tipo de 
fator Rejeita 
H0
Sim
Qualitativo
Teste de médias
Quantitativo
Análise de 
regressão
E agora??
• Os experimentos fatoriais não se constituem em um
delineamento experimental, mas sim um esquema orientado
de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e
podem ser instalados em qualquer delineamento
experimental.
Experimentos
(dois fatores)
Ex: proteína e fibra 
em ração
Dados Anova
Teste F significativo?
Aceita 
H0
Não
Tipo de fator Rejeita 
H0
Sim
Qualitativo
Teste de médias
Quantitativo
Análise de 
regressão
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Experimentos fatorial
• Permite tirar conclusões mais amplas.
• Podemos estudar o comportamento de uma 
fator quando associado a outros.
Exemplo:
• Ensaio visando melhor desempenho produtivo de COELHOS, para
testar o teor de fibras e o teor de proteína ao mesmo tempo (na
ração).
• Tratamentos: depende dos níveis de fibra e de proteína que
queremos fixar e a necessidade de se verificar se existe interação
entre os 2 fatores (fibra e proteína).
• Definido: o fator fibra (F) tem 2 níveis. O fator proteína (P) tem 3
níveis. Teremos então o esquema 2x3=6 tratamentos/grupos
experimentais. Dois fatores = experimento bifatorial.
T 1: F1P1, 
T 2: F1P2, 
T 3: F2P1, 
T 4: F2P2,
T 5: F1P3 e
T 6: F2P3
I X J = TRATAMENTOS (2X3=6) e K= repetições
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Exemplo:
• Sorteia: cada UE pode receber qualquer
tratamento em qualquer das K repetições (2).
Fator Níveis
Proteína P1 P2
Fibra F1 F2 F3
P1F1 P2F1 P1F2 P2F2 P1F3 P2F3
P2F1 P1F3 P2F3 P1F2 P2F2 P1F1
DIC= todas as unidades experimentais são homogêneas 
(12 coelhos da mesma ninhada e de mesmo peso)
P1F1 P2F1 P1F2 P2F2 P1F3 P2F3
P2F1 P1F3 P2F3 P1F2 P2F2 P1F1
Bloco 1
Bloco 2
DBC= bloco= conjunto de unidades experimentais homogêneas
12 Coelhos alojados em diferentes posições dentro de um galpão.
Exemplo:
• Interação:
Uma das principais informações que se pode obter nos
experimentos fatoriais é o estudo da interação entre os fatores,
isto é, verificar se as diferenças nas respostas dos níveis de um
fator são similares ou diferentes em todos os níveis do outro
fator ou fatores.
• Organização dos dados para análise:
Variável resposta: Yijk como sendo a observação obtida na
unidade experimental que recebeu o nível i do fator P e o
nível j do fator F, na repetição K.
P1F1 P2F1 P1F2 P2F2 P1F3 P2F3
P2F1 P1F3 P2F3 P1F2 P2F2 P1F1
Y 132 (UE recebeu o 
nível 1 do fator P e o 
nível 3 do fator F na 
repetição 2 (bloco 2).
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Resultados de um experimento bifatorial no delineamento blocos ao acaso com K
repetições
Pi Fj Blocos Yij.
1 2 3
1 1 8 7 9
1 2 10 12 11
1 3 12 14 16
2 1 3 5 18
2 2 6 8 7
2 3 9 10 7
Y..k Y...= 
Total de 
tratamento
Total geral
Total de 
bloco 1
Modelo matemático
ijkijjiijky   )(






ijk
ij
j
i
ijky





)(
é o valor do i-ésimo tratamento na j-ésima parcela e na k-ésima repetição
é a constante geral do modelo (normalmente a média)
é o efeito do i-ésimo nível do fator A
é o efeito da j-ésimo nível do fator B
é o efeito da interação entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B
é o erro experimental entre i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B 
na k-ésima repetição.
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Conceitos e interpretações dos efeitos principais 
A e B e das interações AB
Efeito simples de um fator: é uma medida da variação que ocorre
com a característica em estudo correspondente à variação nos
níveis desse fator, em cada um dos níveis do outro fator.
18: efeito simples do fator B em A1; 
30: efeito simples do fator B em A2; 
9: efeito simples do fator A em B1; 
21: efeito simples do fator A em B2.
A1 A2 TOTAIS Efeito simples (B)
B1 14 23 37 (23-14=9)
B2 32 53 85 (53-32= 21)
TOTAIS 46 76 122
Efeito simples de A (32-14=18) (53-23=30)
18: efeito simples do fator B em A1; 
30: efeito simples do fator B em A2; 
9: efeito simples do fator A em B1; 
21: efeito simples do fator A em B2.
B2
B1
Efeito simples 
de B em A1 Efeito simples 
de A em B1
A1 A2
Efeito simples de B 
em A2
Efeito 
simples 
de A em 
B2
Graficamente
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Conceitos e interpretações dos efeitos principais 
A e B e das interações AB
Efeito principal de um fator: é uma medida da variação que
ocorre com a característica em estudo correspondente à
variação nos níveis desse fator, em média de todos os níveis do
outro fator. O efeito principal de um fator é a média dos efeitos
simples desse fator, isto é:
(18+30)/2=24 efeito principal de A. (9+21)/2= 15 efeito principal de B. 
Ou
(85-37)/2=24 efeito principal de A. (76-46)/2= 15 efeito principal de B.
A1 A2 TOTAIS Efeito simples (B)
B1 14 23 37 (23-14=9)
B2 32 53 85 (53-32= 21)
TOTAIS 46 76 122
Efeito simples de A (32-14=18) (53-23=30)
Conceitos e interpretações dos efeitos principais 
A e B e das interações AB
Efeito da interação entre 2 fatores: é uma medida da variação
que ocorre com a característica em estudo, correspondente à
variação nos níveis de um fator, ao passar de um nível a outro do
outro fator. O efeito da interação entre dois fatores é o efeito
adicional devido à ação conjunta dos fatores.
A interação entre os dois fatores A e B é:
Efeito da interação AxB: (30-18)/2=6
Efeito da interação BxA: (21-9)/2= 6
Tanto faz calcular a interação AxB como a BxA.
A1 A2 TOTAIS DIFERENÇA
B1 14 23 37 (23-14=9)
B2 32 53 85 (53-32= 21)
TOTAIS 46 76 122
(32-14=18) (53-23=30)
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• Em a e b não há interação.
• Em c e d existe interação pela diferença na grandeza da
resposta.
• Não há interação tem paralelismo entre as retas. A interação
ocorre devido a um sinergismo entre os fatores (+) ou devido a
um antagonismo entre fatores (-).
B2
B1
B2
B1
B2
B1
B1
B2
A1 A2 A1 A2
A1 A2 A1 A2
Vantagens:
• permitem estudar os efeitos simples e principais
dos fatores e os efeitos das interações entre
eles.
• Todas as parcelas (UE) são utilizadas no cálculos
dos efeitos principais dos fatores e dos efeitos
da interações, razão pela qual o número de
repetições é elevado.
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Desvantagens:
• Devido as possíveis combinações entre os níveis
dos fatores o número de tratamentos aumenta
bastante, com isso fica difícil distribuí-los em
blocoscasualizados. Obrigação de usar a técnica
de confundimento ou blocos incompletos
equilibrados.
• A análise estatística é mais trabalhosa, em
comparação aos experimentos simples, e a
interpretação se torna mais difícil a medida que
aumentamos o número de níveis de fatores no
experimento.
Delineamento adotado
• O mais empregado em estudos fatoriais tem sido o DBC.
• Os GL do tratamento devem ser desdobrados de acordo com 
o esquema fatorial.
• Exemplo: um experimento fatorial 2x3, com dois níveis de 
fibra –FATOR A (F1 e F2) e 3 níveis de proteína –FATOR B (P1, 
P2 e P3), instalado em 4 repetições (blocos ao acaso). 
Causas de variação GL
Bloco GLBLOCO = J-1=3
Tratamentos GLTRAT = I-1= 5
Erro GLE = (I-1)(J-1)= 15
Total GLTOTAL = IJ-1=23
Causas de variação GL
Bloco GLBLOCO = K-1=3
A GL A= I-1= 1
B GL B= J-1= 2
A X B GLE = (I-1)(J-1)= 2
Erro GLE = (IJ-1)(K-1)= 18
Total GLTOTAL = IJK-1=23
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ANOVA
Causas de variação GL SQ QM FCAL
Bloco GLBLOCO = K-1=3 SQBLOCO SQBLOCO/GLBLOCO QMBLOCO/QME
A GL A= I-1= 1 SQA SQA/GLA QMA/QME
B GL B= J-1= 2 SQB SQB/GLB QMB/QME
A X B GLE = (I-1)(J-1)= 2 SQAXB SQAB/GLAB QMAB/QME
Erro GLE = (IJ-1)(K-1)= 
18
SQERRO SQE/GLE
Total GLTOTAL = IJK-1=23 SQTOTAL
  CYIJSQ
k kBLOCO
  2../1
  CYJKSQ
i iA
  2../1
  BAij ijAB SQSQCYKSQ   2./1
  CYIKSQ
j jB
  2../1
IJKYC /2...
CYSQ
ijk ijkTOTAL
 2
ABBABloTotalE SQSQSQSQSQSQ  cos
Teste de hipóteses
• Para o efeito da interação AB
a) Estabelecer as hipóteses: 
• H0= abij= 0 (interação entre os fatores A e B não diferem de
zero, ou seja, a interação não é significativa).
• H1= abij 0 (interação difere de zero, ou seja, a interação é
significativa).
b) Estabelecer o nível de significância do teste.
c) Calcular o valor da estatística Fcal: Fcal= QMAB/QME .
d) Ver o valor de Ftabelado: Ftab=Fα (GLAB/GLE ).
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Teste de hipóteses
e) Conclusão:
 Se Fcal>Ftab rejeitamos H0 e concluímos que existe interação
em nível  de probabilidade de erro. A interação estimada
não pode ser atribuída ao acaso, ou seja, é significativa. Existe
interação entre os fatores A e B.
 Se Fcal<Ftab, não rejeitamos H0 e concluímos que não existe
interação entre os fatores A e B. A interação estimada pode
ser atribuída ao acaso, ou seja, não é significativa.
Em publicações é comum a utilização do símbolo “*” para
representar um efeito significativo, ou seja, quando rejeita H0 e
“ns” para um efeito não significativo, ou seja, quando não rejeita
H0.
Quando a interação é significativa analisa-se o
comportamento dos níveis dentro de cada nível do outro fator.
 Comparação de médias ( fatores qualitativos ou quantitativos
com 2 níveis).
 Regressão (fatores quantitativos com mais de 2 níveis).
Teste de hipóteses
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Quando a interação não é significativa: não rejeitamos
H0: abij= 0, então testamos as hipóteses sobre os efeitos
principais dos fatores A e B.
Teste de hipótese para o efeito do fator A
a) Estabelecer as hipóteses: 
• H0: ai= 0 (para todo e qualquer i), ou seja, as médias dos níveis
do fator A não diferem.
• H1: ai 0 (para algum i), ou seja, as médias dos níveis do fator
A diferem.
b) Estabelecer o nível de significância do teste.
c) Calcular o valor da estatística Fcal: Facal= QMA/QME .
d) Ver o valor de Ftabelado: Ftab=Fα (GLA/GLE ).
Teste de hipóteses
e) Conclusão:
 Se Fcal>Ftab rejeitamos H0 em nível  de probabilidade de
erro e concluímos que há efeito (principal) do fator A. A
diferença entre as médias dos níveis do fator A não pode ser
atribuída ao acaso. Os efeitos do fatores A é significativo. Se
A=qualitativo comparamos as médias dos níveis do fato A
através de testes de comparação múltipla de médias e se for
quantitativo estudamos por regressão.
 Se Fcal<Ftab, não rejeitamos H0 e conclui-se que o fator A
não influenciou na resposta observada. A diferença entre as
médias dos níveis do fator A pode ser atribuída ao acaso. O
efeito do fator A não é significativo.
Teste de hipóteses
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Teste de hipótese para o efeito do fator B
a)Estabelecer as hipóteses: 
•H0: bj= 0 (para todo e qualquer j), ou seja, as médias dos níveis
do fator B não diferem.
•H1: bbj 0 (para algum j), ou seja, as médias dos níveis do fator B
diferem.
b) Estabelecer o nível de significância do teste.
c) Calcular o valor da estatística Fcal: Facal= QMB/QME .
d) Ver o valor de Ftabelado: Ftab=Fα (GLB/GLE ).
Teste de hipóteses
e) Conclusão:
 Se Fcal>Ftab rejeitamos H0 em nível  de probabilidade de erro
e concluímos que há efeito (principal) do fator B. A diferença
entre as médias dos níveis do fator B não pode ser atribuída ao
acaso. Os efeitos do fatores B é significativo. Se B=qualitativo
comparamos as médias dos níveis do fato B através de testes
de comparação múltipla de médias e se for quantitativo
estudamos por regressão.
 Se Fcal<Ftab, não rejeitamos H0 e conclui-se que o fator B não
influenciou na resposta observada. A diferença entre as médias
dos níveis do fator B pode ser atribuída ao acaso. O efeito do
fator B não é significativo.
Teste de hipóteses
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Teste de hipótese para o efeito do blocos
a) Estabelecer as hipóteses: 
• H0: b2= 0 (blocos não heterogêneos).
• H1 :b2 0 (blocos heterogêneos).
b) Estabelecer o nível de significância do teste.
c) Calcular o valor da estatística Fcal: Facal= QMBlocos/QME .
d) Ver o valor de Ftabelado: Ftab=Fα (GLBlocos/GLE ).
e) Conclusão:
 Se Fcal>Ftab rejeitamos H0 e concluímos que os blocos são heterogêneos,
em nível  de probabilidade de erro ou de significância, ou seja, o uso de
blocos foi eficiente.
 Se Fcal<Ftab, não rejeitamos H0 e concluímos que os blocos não são
heterogêneos, ou seja, o uso de blocos não foi eficiente. Em próximos
experimentos podemos utilizar o DIC, pois o bloqueamento não foi
eficiente.
Teste de hipóteses
Exemplo prático
• Considerando os dados de um experimento
em blocos casualisados com 4 repetições, no
esquema fatorial 3x2, para avaliar o ganho de
peso de 3 raças de coelhos (Rex, Nova
Zelândia e Califórnia) alimentados com 2
cultivares de capim (IAPAR 61 e UPFA 21) .
Fator A=Raça: R
Fator B=Capim: C
Repetições=4
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Tratamentos Repetição Totais
1 2 3 4
1- R1C1 3 3,5 4 4,2 14,7
2- R1C2 7 8,2 9 9,1 33,3
3- R2C1 2,6 3,4 3,2 3,7 12,9
4- R2C2 5 7 6 5,6 23,6
5- R3C1 2,5 3,5 3,2 2,8 12,0
6- R3C2 5 5,5 6 5,7 22,2
25,1 31,1 31,4 31,1 118,7 
1 5 2 3 6 4
2 1 3 5 6 4
1 5 2 4 3 6
3 4 6 1 2 5
Croqui
ANOVA
Causas de variação GL SQ QM FCAL
Bloco GLBLOCO = K-1 SQBLOCO SQBLOCO/GLBLOCO QMBLOCO/QME
A GL A= I-1 SQA SQA/GLA QMA/QME
B GL B= J-1 SQB SQB/GLB QMB/QME
A X B GLE = (I-1)(J-1) SQAXB SQAB/GLAB QMAB/QME
Erro GLE = (IJ-1)(K-1) SQERRO SQE/GLE
Total GLTOTAL = IJK-1 SQTOTAL
  CYIJSQ
k kBLOCO
  2../1
  CYJKSQ
i iA
  2../1
  BAij ijAB SQSQCYKSQ   2./1
  CYIKSQ
j jB
  2../1
IJKYC /2...
CYSQ
ijk ijkTOTAL
 2
ABBABloTotalE SQSQSQSQSQSQ  cos
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Causas de variação GL SQ QM FCAL
Bloco 3 4,66 1,55 7,96 *
A 2 13,66 6,83 35,208 *
B 1 65,01 65,01 334,95 *
A X B 2 5,5 2,77 14,29 *
Erro 15 2,92 0,19
Total 23 91,8
ANOVA
CONCLUSÕES: Ocorreu interação significativa entre A x B, ou seja, existe uma tendência
entre os efeitos de raça e cultivar de capim para promover ganho de peso de coelhos.
Os efeitos das raças dependem das cultivares de capim; ou os efeitos das cultivares
dependem das raças utilizadas..
Se faz o desdobramento da interação RxC= teste de médias.
Dados 
Tabela de dados geral: para calcular efeitos de blocos e totais.
Tabela com totais de tratamento e dos efeitos principais para efeitos de A, B e AxB.
Preencher a ANOVA.Teste de médias por Tukey
• Interação não é significativa:
Fator A e D qualitativos, ver qual foi significativo:
Se A *: DMS= 
Se B *: DMS= 
JK
QMe)GL(I;qΔ Eα
IK
QMe)GL(J;qΔ Eα
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Teste de médias por Tukey
• Interação significativa: temos que estudar o
comportamento dos níveis de um fator
DENTRO de cada nível do outro fator.
• A e B são qualitativos: comparar as médias do
fator A dentro de B.
• Ou as médias do fator B dentro de A.
K
QMe)GL(I;qΔ Eα
K
QMe)GL(J;qΔ Eα
Teste de médias por Tukey
• Interação significativa:
Quadro das médias dos tratamentos e dos
efeitos principais
K
QMe)GL(I;qΔ Eα
K
QMe)GL(J;qΔ Eα
R1 R2 R3
C1 3,675 3,225 3
C2 8,325 5,9 5,55
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Teste de médias por Tukey
K
QMe)GL(I;qΔ Eα
R1 R2 R3
C1 3,675 A 3,225 A 3 A
C2 8,325 A 5,9 B 5,55 B
• Raças dentro da cultivar 1
3,675-3,225= 0,45<0,70; NS
3,675-3= 0,675<0,70: NS
3,225-3= 0,225<0,70; NS. 
Raças dentro da cultivar 2
8,325-5,9=2,425>0,70 Sig
8,325-5,55= 2,825>0,70 Sig
5,9-5,55= 0,40<0,7: NS
Teste de médias por Tukey
R1 R2 R3
C1 3,675 A b 3,225 A b 3 A b
C2 8,325 A a 5,9 B a 5,55 B a
• Cultivares dentro de raça 1 
8,325-3,675= 4,65>0,65, Sig
Cultivares dentro de raça 2
5,9-3,225= 2,675>0,65 Sig
Cultivares dentro de raça 3 
5,55-3= 2,5> 0,65.
K
QMe)GL(J;qΔ Eα
Médias seguidas da mesma letra maiúscula na horizontal e minúscula na vertical não diferem 
significativamente entre si pelo teste de Tukey a 5%.. 
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Teste de médias por Tukey
R1 R2 R3
C1 3,675 A b 3,225 A b 3 A b
C2 8,325 A a 5,9 B a 5,55 B a
Conclusão: 
• Para a cultivar 1 as raças não diferem entre si.
• Para a cultivar 2 a melhor raça é a Raça 1.
• Para as raças 1, 2 e 3 a cultivar 2 é melhor para promover maior ganho de peso 
em coelhos.
Médias seguidas da mesma letra maiúscula na horizontal e minúscula na vertical não diferem 
significativamente entre si pelo teste de Tukey a 5%.. 
Exercício-genes
• O pesquisador supõe que diferentes raças e diferentes percentuais de concentrado na ração
possam produzir bovinos com diferentes peso ao longo do período experimental e que ainda
possa haver interação entre raças e diferentes percentuais de concentrado. Então fez um
experimento bifatorial 3x4 no delineamento blocos ao acaso com três repetições e avaliou o
peso dos bovinos (Kg/animal).
• O pesquisador avaliou 3 níveis do fator A que foram constituídos por 3 percentuais de
concentrado na ração (A1= 38%, A2 = 42% e A3 = 44%) e 4 níveis do fator D, constituídos por 4
raças (D1 = nelore; D2 = angus, D3 = charoles e D4 = brangus). Analise o experimento a 5% de
probabilidade de erro.
• a) Conforme os dados abaixo: Ai Bj Blocos
1 2 3
1 1 8 7 9
1 2 10 12 11
1 3 12 14 16
1 4 17 16 18
2 1 3 5 7
2 2 6 8 7
2 3 9 10 8
2 4 15 13 14
3 1 1 3 2
3 2 2 6 4
3 3 5 7 6
3 4 7 11 9
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Exercício-genes
Ai Bj Blocos
1 2 3
1 1 8 7 9
1 2 16 18 17
1 3 8 10 12
1 4 11 10 12
2 1 3 5 7
2 2 6 8 7
2 3 15 16 14
2 4 9 7 8
3 1 1 3 2
3 2 5 9 7
3 3 2 4 3
3 4 11 15 13
• O pesquisador supõe que diferentes raças e diferentes percentuais de concentrado na ração
possam produzir bovinos com diferentes peso ao longo do período experimental e que ainda
possa haver interação entre raças e diferentes percentuais de concentrado. Então fez um
experimento bifatorial 3x4 no delineamento blocos ao acaso com três repetições e avaliou o
peso dos bovinos (Kg/animal).
• O pesquisador avaliou 3 níveis do fator A que foram constituídos por 3 percentuais de
concentrado na ração (A1= 38%, A2 = 42% e A3 = 44%) e 4 níveis do fator D, constituídos por 4
raças (D1 = nelore; D2 = angus, D3 = charoles e D4 = brangus). Analise o experimento a 5% de
probabilidade de erro.
• a) Conforme os dados abaixo:
Procedimentos complementares para a análise de experimentos
BIFATORIAIS nas diferentes situações de interação (H0= não
significativo; H1=significativo) e para fator qualitativo ou
quantitativo.
Interação Fator A Fator B Procedimento
H0 Quali Quali Fator A: teste de F + teste de médias.
Fator B: teste de F + teste de médias.
H0 Quali Quanti Fator A: teste de F + teste de médias.
Fator B: regressão + equação + gráfico+ máxima 
eficiência.
H0 Quanti Quanti Fator A: regressão + equação + gráfico+ máxima 
eficiência.
Fator B: regressão + equação + gráfico+ máxima 
eficiência.
H1 Quali Quali Comparar médias de A dentro de Bj ou Comparar 
médias de B dentro de Ai. 
H1 Quali Quanti Regressão de B dentro de Ai com gráficos+máxima 
eficiência.
H0 Quanti Quanli Regressão de A dentro de Bj com gráficos+máxima 
eficiência.
H0 Quanti Quanti Superfície de reposta
23/07/2013
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Bibliografia
• BANZATTO, D.A.; KRONCA, S. do N.
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• STORCK, L. et al. Experimentação Vegetal. 2
ed. Santa Maria: UFSM, 2006. 198 p.
• CARGNELUTTI FILHO, A. et al. Experimentação
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2009, 204p.