Álgebra Linear II - Matrizes Unitárias e Propriedades

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Lista 9 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Mostre que se uma matriz U ∈Mn(C) e´ unita´ria, tem-se UUT = UTU = I.
2. Sejam V um espac¸o vetorial complexo com produto interno complexo, β1, β2 bases
ortonormais de V . Mostre que a matriz de mudanc¸a de base de β1 para β2 e´ unita´ria.
3. Seja V um espac¸o euclidiano. Mostre que qualquer duas das propriedades abaixo a
respeito de um operador T ∈ L(V ) implicam a restante:
a. T e´ auto-adjunto;
b. ‖Tu‖ = ‖u‖, ∀u ∈ V , ‖.‖ induzida pelo produto interno em V ;
c. T 2 = I.
(Dica: para (b),(c)→ (a), use o fato que 〈Tu, Tv〉 = 〈u, v〉)
4. Seja V um espac¸o euclidiano e S, T ∈ L(V ) auto-adjuntos. Mostre que T ◦ S e´
auto-adjunto se, e so´ se, S e T comutam.
5. Determine uma matriz unita´ria tal que a primeira linha e´ (1/2, i/2, 1/2− i/2).
6. Mostre que o produto e que a inversa de matrizes unita´rias sa˜o unita´rias.
7. Seja V espac¸o euclidiano e PW o operador projec¸a˜o ortogonal de V sobre um subes-
pac¸o W . Mostre que o operador kI + PW e´ positivo definido se k > 0.
8. Seja A =
(
2 i
i 2
)
. Mostre que A e´ normal. Determine uma matriz unita´ria P tal
que PAP−1 e´ diagonal.
9. Mostre que uma matriz triangular e´ normal se e so´ se e´ diagonal.
10. Seja V um espac¸o vetorial complexo com produto interno complexo. Suponha que
T ∈ L(V ) e´ normal. Mostre que T e´ auto-adjunto se e so´ se seus autovalores sa˜o
reais.
11. Para cada matriz abaixo, determine uma matriz unita´ria U que a diagonaliza:
a. A =
(
1 i
−i 2
)
b. B =
(
1 2 + 3i
2− 3i −1
)