Exercícios de Álgebra Linear II

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Lista 3 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Encontre a base ortonormal do R3 (com relac¸a˜o ao produto interno usual) obtida
pelo processo de ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt a partir da base
{(2, 6, 3), (−5, 6, 24), (9,−1,−4)}.
2. Considere V = R3 com o produto interno usual. Encontre uma base ortogonal de
V que contenha o vetor v = (1, 2, 3).
3. Determine uma base ortonormal do subespac¸o W ⊂ R4 dado por
W = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y + 2t = 0}.
Considere o produto interno usual.
4. Considere R2,R3 com o produto interno usual. Determine uma base ortonormal
para Ker(F ), onde F : R3 → R2 e´ dado por F (x, y, z) = (x− y − z, 2z − x).
5. Determinar uma base ortonormal para o subespac¸o W ⊂ R3 gerado pelos vetores
(1, 1, 1) e (1,−2, 3) em relac¸a˜o ao produto interno dado por
〈u, v〉 = x1y1 + 2x2y2 + x3y3
para todo par de vetores u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3).
6. Considere V = R3 com um produto interno 〈., .〉 e ‖.‖ induzida por esse produto
interno. Seja {g1, g2, g3} uma base ortonormal de V . Para todo u ∈ V na˜o nulo,
definem-se os cossenos diretores de u com relac¸a˜o a` base dada por cos(α) = 〈u,g1〉‖u‖ ,
cos(β) = 〈u,g2〉‖u‖ e cos(γ) =
〈u,g3〉
‖u‖ . Provar que:
a. u = ‖u‖((cos (α))g1 + (cos (β))g2 + (cos (γ))g3)
b. cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
7. Considere V = M2(R) com o produto interno 〈A,B〉 = tr(BTA). Determine:
a. O aˆngulo entre A =
(
1 −1
0 1
)
e B =
(
2 1
−1 1
)
.
b. Uma base ortonormal para V a partir da base formada pelos vetores
(
1 1
−1 0
)
,(
0 2
5 −2
)
,
(
−6 0
6 9
)
e
(
3 −2
0 1
)
.
8. Considere V = Rn com produto interno usual e norma ‖.‖ induzida por esse produto
interno. Dado o vetor unita´rio u = (α1, . . . , αn) ∈ V , forme a matriz A = (αiαj) ∈
Mn×n(R). Seja H : Rn → Rn o operador linear cuja matriz na base canoˆnica e´
In − 2A. Mostre que, para todo v ∈ Rn, tem-se Hv = v − 2〈v, u〉u e conclua que
‖Hv‖ = ‖v‖.
9. Considere M2(R) o espac¸o vetorial das matrizes de ordem 2 × 2 munido com o
produto interno 〈A,B〉 = tr(BTA). Exiba uma base ortonormal (de acordo com
esse produto interno), a partir da base
(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 1
)
,
(
1 1
1 1
)
.
10. O que acontece se o processo de Gram-Schmidt e´ aplicado a uma lista de vetores
que na˜o e´ L. I. ?
11. Seja V = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ Rn uma base, com vj = (α1j, α2j, . . . , αnj), j = 1, . . . , n.
Seja U a base ortonormal do Rn obtida a partir de V pelo processo de Gram-Schmidt.
Prove que U e´ a base canoˆnica do Rn, se e somente se, αij = 0 para todo i > j e
αii > 0, ∀i = 1, . . . , n.