Lista1

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Lista 1 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Considere a aplicac¸a˜o 〈., .〉 : R2×R2 → R dada por 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1+tx2y2,
onde t ∈ R. Para quais valores de t essa aplicac¸a˜o corresponde a um produto interno
sobre R2?
2. Seja V um espac¸o euclidiano com produto interno 〈., .〉. Para que valores de α ∈ R
a aplicac¸a˜o (u, v)→ α〈u, v〉 tambe´m e´ um produto interno sobre V ?
3. Seja 〈., .〉 um produto interno sobre um espac¸o vetorial real V . Mostre que se
〈u, v〉 = 0, para todo vetor v, enta˜o u = o.
4. Seja V um espac¸o vetorial real e T : V → V um isomorfismo (transformac¸a˜o linear
bijetora). Prove que se 〈u, v〉 e´ um produto interno sobre V , enta˜o a aplicac¸a˜o
PT : V × V → R dada por PT (u, v) = 〈T (u), T (v)〉 tambe´m e´ um produto interno
sobre V .
5. Mostre que a soma de dois produtos internos sobre um espac¸o vetorial real V tambe´m
e´ um produto interno sobre V .
6. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R3 (produto interno usual) para mostrar
que, dados nu´meros reais positivos a1, a2, a3, temos
(a1 + a2 + a3)
(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)
≥ 9.
7. Sejam a, b, c nu´meros reais positivos satisfazendo a+ b+ c = 1. Mostre que(
1
a
− 1
)(
1
b
− 1
)(
1
c
− 1
)
≥ 8.
8. Seja V um espac¸o euclidiano e a norma ‖u‖ = √〈u, u〉. Mostre que se |〈u, v〉| =
‖u‖‖v‖ enta˜o u e v sa˜o linearmente dependentes.
9. Considere V = M2(R) munido do produto interno 〈A,B〉 = tr(BTA). Seja ‖A‖ =√〈A,A〉. Calcule ‖A‖ sendo A = ( 1 0
0 0
)
.
10. Sejam u, v vetores na˜o nulos de um espac¸o euclidiano V com produto interno 〈., .〉.
Considerando em V a norma ‖.‖ proveniente desse produto interno, mostre que
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖‖v‖ cos (θ), onde θ e´ o aˆngulo entre u e v.
11. Nas condic¸o˜es do exerc´ıcio anterior, mostre que ∀u, v ∈ V ,
‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2.
12. Seja V um espac¸o vetorial com norma ‖.‖. Prove as seguintes propriedades:
a. ‖u+ v‖ ≥ ‖u‖ − ‖v‖, ∀u, v ∈ V .
b. | ‖u‖ − ‖v‖ | ≤ ‖u− v‖, ∀u, v ∈ V .