Exercícios de Álgebra Linear II

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Lista 7 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Considerando as matrizes abaixo como representando operadores lineares em Cn (n
adequado para cada matriz), encontre seus autovalores e autovetores:
a.
(
0 1
−1 0
)
b.
 −1 −2 00 −1 1
1 0 0

c.
 3 0 00 2 −5
0 1 −2
 d.

2 5 1 1
1 4 2 2
0 0 6 −5
0 0 2 3

2. Mostre que uma matriz A e sua transposta AT tem o mesmo polinoˆmio carac-
ter´ıstico.
3. Para cada uma das matrizes abaixo, encontre todos os seus autovalores. No caso
real, se poss´ıvel, encontre uma matriz P na˜o singular que diagonaliza a matriz. Caso
P na˜o exista para o caso real, encontre-a (se existir) no caso complexo.
a.
(
2 −3
2 −5
)
b.
(
2 4
−1 6
)
c.
(
1 −4
3 −7
)
d.
 1 −3 33 −5 3
6 −6 4
 e.
 3 −1 17 −5 1
6 −6 2
 f.
 1 2 21 2 −1
−1 1 4

4. Dada uma matriz A diagonaliza´vel, encontre uma expressa˜o para An, onde n ∈ N.
Use esta expressa˜o para calcular A10 sendo, A =
(
1 2
0 −1
)
.
5. Seja B =
 8 12 00 0 12
0 0 6
. Determine uma matriz real A tal que A3 = B.
6. Prove que toda matriz A ∈ Mn(C) diagonaliza´vel e´ tal que seu determinante e´ o
produto de seus autovalores.
7. Considerando A =
 4 5 02 3 1
0 4 1
, x1 = [1 − 1 2]T , x2 = [5 3 2]T , pode-se mostrar
que x1 e x2 determinam direc¸o˜es invariantes de A. Podemos afirmar que:
a. Todos os autovalores de A sa˜o reais e positivos;
b. A possui ao menos 1 autovalor que e´ um nu´mero complexo;
c. A possui um autovalor nulo;
d. A possui 2 autovalores repetidos;
e. nenhuma das alternativas anteriores esta´ correta.
8. Seja V um espac¸o euclidiano e T ∈ L(V ) um operador ortogonal. Prove:
a. Se T possui autovalores, estes sa˜o iguais a 1 ou −1.
b. Se T deixa invariante o subespac¸o U ⊂ V , enta˜o T deixa invariante o com-
plemento ortogonal U⊥ de U .