Estatítica Aula 05 - Probabilidade 2

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Eventos Independentes
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não 
diz nada sobre a ocorrência do outro
P(A|B) = P(A)
(ou P(B|A) = P(B))
Então se A e B são independentes
)()(
)()|( AP
BP
BAPBAP == I )()()( BPAPBAP =∩
Exemplo: Uma sala de aula tem 30 alunos, 20 homens e 10 mulheres. 
Dois alunos são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade do primeiro ser 
mulher e o segundo ser homem 
1) se as retiradas são realizadas com reposição.
2) se as retiradas são realizadas sem reposição.
Para 3 eventos A, B e C quaisquer
P(A ∩ B ∩ C)=P(A) x P(B|A) x P(C| (A ∩ B)
Independência para 3 eventos
Os eventos A, B e C são independentes se e somente se:
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
P(A ∩ C) = P(A) x P(C)
P(B ∩ C) = P(B) x P(C)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C)
Os resultados acima podem ser generalizados para n eventos
Teorema de Bayes
Exemplo: Uma empresa produz 3 linhas de produção responsáveis por 
respectivamente 20%, 30% e 50% dos itens produzidos. A probabilidade de um item 
apresentar defeito varia com a linha de produção e são iguais a 0,03; 0,05 e 0,08. 
Se um item produzido pela empresa apresenta defeito, qual a probabilidade dele ter 
vindo da empresa A?
A – item é produzido pela linha de produção 1
B – item é produzido pela linha de produção 2
C – item é produzido pela linha de produção 3
D – item é defeituoso
P(A) = 0,20 P(B) = 0,30 P(C)=0,50 
P(D | A) = 0,03 P(D | B) = 0,05 P(D | C)=0,08 
P(A | D)=?
Partição do Espaço Amostral
Os eventos A1, A2, ...., Ak formam uma partição do espaço amostral se eles 
são mutuamente exclusivos e se sua união é igual ao espaço amostral. 
Ai ∩ Aj = φ para todo para (i,j) com i ≠j
A1 U A2 U....U Ak = S
Exemplo:
Teorema de Bayes: Suponha que os eventos A1, A2, ..., Ak formam uma 
partição do espaço amostral S e que suas probabilidades sejam conhecidas. 
Suponha ainda que, para um evento B se conheçam as probabilidades P(B|Aj), 
para todo i = 1,..., k. Então, para qualquer j
k,....,1i,
)A(P)A|B(P
)A(P)A|B(P)B|A(P k
1i
ii
jj
j ========
∑∑∑∑
====
BA
C
S