Estatística Aula 08 - Variável Aleatória Contínua

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Variáveis Aleatórias 
Continuas
Histograma de peso ao nascer de 100 crianças
Peso ao nascer(Kg)
Fr
eq
uê
nc
ia
 A
bs
ol
ut
a
1 2 3 4 5
0
5
10
15
20
25
Pensando em Probabilidade com freqüência relativa
P( 3 ≤ X < 3.5) = 23/100 = 0,23
Histograma de peso ao nascer de 100 crianças
Peso ao nascer(Kg)
D
en
si
da
de
 d
e 
Fr
eq
uê
nc
ia
1 2 3 4 5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
Histograma de densidade = área das barra é igual à freqüência relativa
Probabilidade
Histograma de peso ao nascer de 100 crianças
Peso ao nascer(Kg)
D
en
si
da
de
 d
e 
Fr
eq
uê
nc
ia
1 2 3 4 5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
Vamos descrever o histograma por uma função matemática
f(x) - chamada função densidade de probabilidade
Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas são descritas 
através de suas funções densidade de probabilidade
0 2 4 6 8
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
x
f(x
)
Como calcular probabilidades para variáveis aleatórias continuas?
P(2 ≤ X ≤ 4) = área abaixo da curva entre 2 e 4
Propriedades da Função densidade de probabilidade:
1) f(x) ≥ 0
2) Área abaixo da função densidade de probabilidade igual a 1



1dx)x(f

b
a
dx)x(f b) X P(a
Qualquer função matemática com as propriedades acima define um modelo de 
probabilidade para uma variável aleatória contínua
0x ) P(X 
4)
5)
Exemplo 1:
1xxdx2dx)x(f
 0)x(f
contrário caso se 0 
1x0 se x2
)x(f
1
0
2
1
0




 




75,025,01xxdx2dx)x(f)5,0X(P 1
5,0
2
1
5,0
1
5,0
 
9975,0e1)1(eedxe2)3X(P
110edxe2dx)x(f 0)x(f
contrário caso se 0 
0 xse e2
)x(f
663
0
x2
3
0
x2
0
x2
0
x2
x2




 










0 1 2 3 4 5
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
x
f(x
)
Exemplo 2:
Média e Variância de uma variável aleatória 
contínua
 
 
2
222
22
dx)x(xfdx)x(fx)X(E)X(E
dx)x(fx)X(VAR
dx)x(xf)X(E



















 
3
1)X(DP
9
1
9
89
9
4
2
1
3
2
2
1)X(VAR
2
1
4
x2dxx2dx)x(fx)X(E
)X(E)X(E)X(VAR
3
2
3
x2dxx2dx)x(xf)X(E
 
contrário caso se 0 
1x0 se x2)x(f
2
1
0
41
0
322
22
1
0
31
0
2














 






Exemplo 1:
2
1)10(
2
10
2
exe
dxexedxxe2)X(E
e- dx ve2dv dx du x u 
 vduuvudv :partespor Integrando
dxxe2dx)x(xfE(X)
contrário caso se 0 
0 xse e2
)x(f
0
x2
0
x2
0
x2
0
x2
0
x2
x2x2
0
x2
x2








 
















Exemplo 2:
 
2
1)X(DP
4
1
4
1
2
1)X(E)X(E)X(VAR
acima integral a desenvolva:Exercicio
2
1dxe2x)X(E
22
0
x222


 


Função Distribuição Acumulada
Dada uma variável aleatória contínua X com função 
densidade de probabilidade f(x) a função distribuição 
acumulada de X é dada por
FX(x) = P(X ≤ x) para -∞≤ x ≤ ∞



x
X dx)x(f)x(F
25,05,0)5,0(F)5,0X(P
1 x se 1
1x0 se x
0 x se 0
)x(F
101dt0tdt)t(fdt)t(f)x(F 1X se
xttdt20dt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F 1X0 se
0dt0dt)t(f)x(F)xX(P 0X se
 
contrário caso se 0 
1x0 se x2
)x(f
2
X
2
X
x
1
1
0
2
x
1
1
X
2x
0
2
x
0
x
0
0x
X
x
0
x
X















 







Exemplo 1:
0025,09975,01)3X(P1)3X(P
9975,0e1)3(F)3X(P
0 x se e-1
0 x se 0
)x(F
e1)1(eedte2dt)t(f)x(F 0 xSe
0dt0dt)t(f)x(F 0x Se
 
contrário caso se 0 
0 xse e2
)x(f
)3(2
X
2x-X
x2x2x
0
 t2
x
0
 t2
x
X
xx
X
 x2












 








Exemplo 2:
Exemplo 2:
Proposição: Para todos os valores de x para os quais FX(X) é 
derivável












0 x se 2e
0 x se 0
)x(f 
0 x se e-1
0 x se 0
)x(F 
:Exemplo
2x-
2x-X
)x(F
x
)x(f X


Quantis de uma variável aleatória contínua
O quantil de ordem p de uma variável aleatória X é o valor Q(p) tal que 
P(X ≤ Q(p)) = FX(Q(p)) = p
1438,0
2
)75,0ln(0,251 0,25? p ordem 
3465,0
2
)5,0ln()5,0ln(25,05,01
?5,0)( que x talde valor o é isto 0.5, ordem de quantil o é 
0 xse 1
0 xse 0
)( 
contrário caso se 0 
0 xse 2
)(
 2
 2 2
 2
 2















 





xedepercentiloE
xxee
xFQual
e
xF
e
xf
x
xx
X
xX
x