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UFC – Departamento de Matema´tica – UFC
EDO - Resumo da Aula 1
Prof. Cleon S. Barroso
1 EDO de Primeira Ordem
O objeto de estudo na primeira parte do curso sa˜o as equac¸o˜es da forma
dy
dt
= f(t, y),
em que t e´ a varia´vel independente e f(t, y) e´ uma func¸a˜o de t e y.
1.1 Problemas Ba´sicos
Precisamente, estudaremos:
• Condic¸o˜es para a existeˆncia de soluc¸o˜es.
• Me´todos para a determinac¸a˜o de soluc¸o˜es.
1.2 Motivac¸a˜o
Existem va´rias razo˜es que motivam o estudo de EDO’s. Entre elas, citamos:
• F´ısica - Com a dinaˆmica dos movimentos; eletricidade,etc.
• Ecologia - Com o estudo do crescimento populacional.
• Mecaˆnica - Com o estudo de problemas hidra´ulicos.
1.3 Exemplos
Exemplo 1. Suponha que um objeto de massa m esta´ caindo na atmosfera nas proximidades
do n´ıvel do mar. Obtenha uma equac¸a˜o deferencial que descreva o movimento da queda.
Soluc¸a˜o. A der resolvido em sala de aula.
Exemplo 2. Um determinado reme´dio e´ injetado na veia de um paciente de hospital. O l´ıquido,
contendo 5mg/cm3 do reme´dio, entra na corrente sangu´ınea do paciente a uma taxa de 100 cm3/h.
O reme´dio e´ absorvido pelos tecidos do corpo, ou deixa a corrente sangu´ınea de outro modo, a
uma taxa proporcional a` quantidade presente, com um coeficiente de proporcionalidade igual a
0, 4h−1. Supondo que o reme´dio e´ distribu´ıdo uniformemente na corrente sangu´ınea, escreva uma
equac¸a˜o diferencial para a quantidade de reme´dio presente na corrente sangu´ınea em qualquer
instante de tempo.
Soluc¸a˜o. Seja q(t) a quantidade de reme´dio presente na corrente sangu´ınea no instante t. Com
base no texto, ha´ ainda duas quantidades envolvidas:
• Quantidade qe de reme´dio que entra na corrente sangu´ınea;
• Quantidade qs de reme´dio que sai da corrente sangu´ınea.
Informac¸o˜es:
• Em uma hora a quantidade, ou volume, total de l´ıquido que entra na corrente sangu´ınea e´
igual a 100 cm3. Como em cada cm3 ha´ 5mg do reme´dio, em uma hora entra na corrente
sangu´ınea uma quantidade total de reme´dio igual a 500mg. Sendo assim, por um ca´lculo de
regra de treˆs, no instante t entra uma quantidade de 500tmg do reme´dio. Portanto,
qe(t) = 500t
• Sabe-se que essa quantidade de 500tmg do reme´dio, que entra no instante t, tende a desa-
parecer da corrente sangu´ınea, seja por absorc¸a˜o dos tecidos ou de outro modo.
• Por hipo´tese, no instante t, o reme´dio sai a uma taxa 0, 4q(t). Isso significa que
dqs(t)
dt
= 0, 4q(t).
Assim, usando o T.F.C., a quantidade total de reme´dio que sai da corrente sangu´ınea no
instante t e´ igual a
qs(t) =
∫ t
0
0, 4q(s)ds.
• Portanto, a seguinte equac¸a˜o e´ va´lida:
quantidade que sai + quantidade presente = quantidade que entra
• Ou seja, matematicamente, temos a seguinte equac¸a˜o:∫ t
0
0, 4q(s)ds + q(t) = 500t
Conclusa˜o Final. Derivando a equac¸a˜o acima com relac¸a˜o a t, obtemos:
0, 4q(t) +
dq
dt
= 500, ou seja,
dq
dt
= 500− 0, 4q
1.4 Exerc´ıcios
1. Considere uma populac¸a˜o de ratos do compo que habitam uma certa a´rea rural. Suponha
que, na auseˆncia de predadores, a populac¸a˜o de ratos cresce a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o
atual. Suponha ainda que diversas corujas moram na mesma vizinhanc¸a e que elas matam 15 ratos
do campo por dia. Obtenha uma equac¸a˜o diferencial que descreva o crescimento populacional dos
ratos. (Explique cada passo de sua deduc¸a˜o!!)
2. Um pequeno lago conte´m, inicialmente, 1.000.000 de galo˜es (aproximadamente 4.550.000 litros)
de a´gua e uma quantidade desconhecida de um produto qu´ımico indeseja´vel. O lago recebe a´gua
contendo 0, 01 grama dessa substaˆncia por gala˜o a uma taxa de 300 galo˜es por hora. A mistura
sai a` mesma taxa, de modo que a quantidade de a´gua no lago permanece constante. Suponha que
o produto qu´ımico esteja distribu´ıdo uniformemente no lago.
(a) Escreva uma equac¸a˜o diferencial para a quantidade de produto qu´ımico no lago em um instante
qualquer.
(b) Qual a quantidade de produto qu´ımico que estara´ no lago apo´s um per´ıodo muito longo de
tempo?
2
2 EDO’s Lineares - Me´todo dos Fatores Integrantes
A EDO de primeira ordem
dy
dt
= f(t, y)
e´ dita ser linear se a func¸a˜o do lado direito f depende linearmente da varia´vel y. Tais equac¸o˜es
possuem o seguinte formato geral,
dy
dt
+ p(t)y = g(t),
em que p(t) e g(t) sa˜o func¸o˜es de t.
2.1 Exemplo - Equac¸o˜es com coeficiente constantes
EDO’s lineares de primeira ordem incluem por exemplo a`s de coeficientes constantes, ou seja,
equac¸o˜es da forma
dy
dt
= −ay + b, em que a, b ∈ R.
2.2 Me´todo dos Fatores Integrantes
Considere a equac¸a˜o
dy
dt
+ p(t)y = g(t).
Ome´todo dos fatores integrantes consiste em multiplicar em ambos os lados da equac¸a˜o acima
por uma func¸a˜o µ (chamada fator integrante), e em seguida tentar determina´-la de modo que a
equac¸a˜o resultante
dy
dt
µ+ p(t)yµ = g(t)µ (1)
seja integra´vel. Isso significa que gostar´ıamos que µ fosse tal que
d
dt
(
yµ
)
=
dy
dt
µ+ p(t)yµ.
Se isso for poss´ıvel, enta˜o a equac¸a˜o (1) pode ser resolvida como:
d
dt
(
yµ
)
= g(t)µ =⇒ y · µ =
∫
µ(t)g(t)dt+ C =⇒ y = 1
µ(t)
(∫
µ(t)g(t)dt+ C
)
Condic¸o˜es de Integrabilidade. Derivando o produto y · µ, obtemos
d
dt
(
yµ
)
=
dy
dt
µ+ y
dµ
dt
.
Portanto, para que a equac¸a˜o (1) seja integra´vel e´ necessa´rio que
y
dµ
dt
= p(t)yµ.
Cancelando eur´ısticamente y em ambos os lados da equac¸a˜o acima e supondo, temporariamente
que µ > 0, obtemos que
dµ
dt
= p(t)µ =⇒ 1
µ
dµ
dt
= p(t) =⇒ µ
′
µ
= p(t) =⇒ d
dt
(
lnµ
)
= p(t)
donde segue-se que
lnµ =
∫
p(t)dt+ C =⇒
o qual para efeito de ca´lculo, podemos supor C = 0, donde segue
=⇒ µ(t) = exp
(∫
p(t)dt
)
.
3
2.3 Exerc´ıcios
1. Use o me´todo dos fatores integrantes para resolver as EDO’s abaixo:
(a)
dp
dt
= 0, 5p− 450
(b)
dv
dt
= 9, 8− v5
(c)
dy
dt
+ 12y =
1
2e
t/3
(d)
dy
dt
− 2y = 4− t
(e) ty′ + 2y = 4t2
2. Resolva os Problemas de Valores Iniciais (PVI) abaixo:
(i) ty′ + 2y = t2 − t+ 1, y(1) = 1/2, t > 0.
(ii) t3y′ + 4t2y = e−t, y(−1) = 0, t < 0.
(iii) y′ + (2/t)y = cos t/t2, y(pi) = 0, t > 0.
3. Resolva os problemas abaixo (Variac¸a˜o dos Paraˆmetros para EDO’s de 1a. Ordem):
(i) y′ + (1/t)y = 3 cos t, t > 0.
(ii) ty′ + 2y = sen t, t > 0.
(iii) 2y′ + y = 3t2.
4