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Resistência dos Materiais II
Estruturas III
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Capítulo 5
Flambagem
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5.1 – Experiências para entender a 
flambagem
1) Pegue uma régua escolar de plástico e pressione-a
entre dois pontos bem próximos, um a cinco
centímetros do outro. Você está simulando uma
estrutura em compressão simples. Agora,
pressione dois pontos distantes 15cm um do outro.
Algo começa a aparecer nessa nova posição, é
visivelmente mais fácil criar condições para a
barra começar a encurvar. A barra está começando
a sofrer o fenômeno da flambagem. Faça agora
com pontos distantes a 30cm. Force a régua até a
ruptura. A régua se quebra, pois o plástico é um
material frágil.
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2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Você notará que a lata,
sem se quebrar, amassa. Não quebrou porque, ao contrário do plástico
que é frágil, o alumínio é dúctil e se deforma bastante antes de perder
sua unidade.
 Peças comprimidas de grande altura podem flambar, fato que é
reduzido sensivelmente se a altura for pequena.
 Quanto maior for a espessura da peça comprimida, menor a tendência
a flambar.
 Quanto mais flexível for o material
(menor E), mais fácil é a ocorrência da
flambagem.
Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulação de uma
quantificação do limite que se pode colocar uma peça comprimida,
para que ela não flambe.
Conclusões
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5.2 – Carga crítica – fórmula de Euler 
para coluna ideal com apoios de pinos
Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a
uma força de compressão axial são denominados
colunas.
Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente reta
antes da carga. A carga é aplicada no centroide da
seção transversal.
A deflexão lateral que ocorre é denominada
flambagem.
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar
quando está na iminência de sofrer flambagem é
denominada carga crítica, Pcr.
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Essa equação diferencial linear homogênea de segunda 
ordem com coeficientes constantes de solução geral é:
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L:
  
2
2
d y
EI M Py
dx
   
       
   
1 2 cos
P P
y C sen x C x
EI EI
 
  
 
2
2
0
d y P
y
dx EI
 
   
 
10
P
C sen L
EI
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O menor valor de P é obtido com n=1, de modo que a carga crítica é:
 
   
 
  
 
  
 
1
1
0
0 0
0
P
C sen L
EI
C y
P
sen L
EI

 
  
 
P
L n
EI

 
2 2
2
 1,2,3....
n EI
P n
L


2
2cr
EI
P
L
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Pcr ⟶ carga crítica ou carga axial
σcr ⟶tensão crítica
E ⟶módulo de elasticidade para o material
I ⟶ menor momento de inércia para a área da seção 
transversal
L ⟶ comprimento da coluna sem apoio
i⟶ menor raio de giração da coluna
λ=L/i ⟶ índice de esbeltez – medida da flexibilidade 
da coluna
 
2
2
2
2
 
/
cr
cr
EI
P
L
E
σ
L i




I
i
A

 
2 2
2
2
2
( )
 
/
cr
cr
E Ai
P
L
P E
A L i



 
 
 
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Gráfico Tensão crítica x λ
2
2
 
cr
P E
A


 
 
 
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A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo
principal da seção transversal que tenha o menor
momento de inércia (o eixo menos resistente).
Na coluna da figura ao lado, sofrerá flambagem em
torno do eixo a-a e não do eixo b-b.
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1)Um tubo de aço A-36 com 7,2m de
comprimento e a seção transversal
mostrada ao lado deve ser usado como
uma coluna presa por pinos na
extremidade. Determine a carga axial
admissível máxima que a coluna pode
sofrer flambagem. Resposta:
Exercício de fixação
200
250e
E GPa
MPa


Pcrit=228,2kN
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2)Uma coluna de aço A-36 tem 4m de
comprimento e está presa por pinos
em ambas as extremidades. Se a área
da seção transversal tiver as dimensões
mostradas na figura, determine a carga
crítica. Resposta:
Exercício de fixação
200
250e
E GPa
MPa


Pcrit=22,7kN
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O elemento estrutural A-36 W200 X 46
de aço mostrado na figura ao lado deve
ser usado como uma coluna acoplada
por pinos. Determine a maior carga
axial que ele pode suportar antes de
começar a sofrer flambagem ou antes
que o aço escoe.
Exemplo 1-
2 6 4 6 45890 mm , 45,5 10 mm , 15,3 10 mm
250 , 200
x y
e
A I I
MPa E GPa
    
 
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Ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y (menor):
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média na coluna é:
Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,
Resposta:
 2 3 2 6 42 3
2 2
(200 10 / ) 15,3 10 mm
1887,6 10 1887,6
(4000 )cr
N mmEI
P N kN
L mm
  
    
3
2 2
1887,6 10
320,5 320,5
5890 mm mm
cr
cr
P N N
MPa
A
    
3
2 2
250 1472,5 10 1472,5
mm 5890
N P
P N kN
mm
    
1472,5P kN
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A fórmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades
acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas
podem ser apoiadas de outro modo.
Le é denominado comprimento efetivo da coluna.
Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado para
calcular Le.
KLLe 
5.3- Colunas com vários tipos de 
apoios
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Portanto, temos,
   
2 2
2 2
 
/
cr cr
e e
EI E
P
L L i
  
λ=Le/i ⟶índice de esbeltez efetivo
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3)Determinar a carga crítica se a coluna for engastada na base e presa
por pinos no topo.
Resposta:
Exercício de fixação
Pcrit=46,4kN
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4) O elemento estrutural W200x100 é feito de
aço A—36 e usado como uma coluna de 7,5m
de comprimento. Podemos considerar que a
base dessa coluna está engastada e que o topo
está preso por um pino. Determine a maior
força axial P que pode ser aplicada sem
provocar flambagem. Considere:
Exercício de fixação-
E = 200GPa
Ix = 113(10
6)mm4
Iy = 36,6(10
6)mm4
σe=250MPa
A=12700mm2 Resposta: Pcrit=2621,2kN
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5.4 – A fórmula da secante
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Essa equação tem solução geral é:
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L:
   
2
2
( )
d y
EI M P e y
dx
   
        
   
1 2 cos
P P
y C sen x C x e
EI EI
   
     
   
2
2
d y P P
y e
dx EI EI
 
   
 
 
  
 
1
[1 cos ]
P
e L
EI
C
P
sen L
EI
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Usando identidades trigonométricas:
Deflexão máxima: (x=L/2)
 
    
 
1 2
P L
C e tg
EI
cos 1
2
P L P P
y e tg sen x x
EI EI EI
      
             
       
  
    
   
sec 1
2máx
P L
y e
EI
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máx
P Mc
A I
  
2
1 sec
2
e
máx
LP ec P
A i i EA
  
   
  

  
    
   
  
    
   
sec 1
2
sec 1
2
máx
máx
M Py
P L
y e
EI
P L
M Pe
EI
sec 1
2
máx
P P L cPeA EI I
  
    
  
σmáx ⟶ tensão elástica máxima na coluna
P ⟶ carga vertical aplicada a coluna
e ⟶ excentricidade da carga P
c ⟶ distância do eixo neutro até a fibra 
externa da coluna onde ocorre a tensão de 
compressão máxima
A ⟶ área da seção transversal da coluna
Le ⟶ comprimento não apoiado da coluna no 
plano de flexão.
E ⟶ módulo de elasticidade para o material
i⟶ raio de giração
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Gráficos Aço A-36
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5) A coluna W8x48 de aço estrutural A-36 está
engastada na base e presa por pino no topo. Se
for submetida à carga excêntrica de 75kip,
determine se ela falha por escoamento. A
coluna está escorada de modo a não sofrer
flambagem em torno de y-y. Considere:
Exercício de fixação-
E = 29(103)ksi
σe = 36ksi
Resposta: não falha
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6) Um elemento estrutural W10x15 de aço A-36 é usado como uma
coluna engastada. Determine a carga excêntrica máxima P que pode
ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou
escoamento. Considere:
Exercício de fixação-
E = 29(103)ksi
σe = 36ksi
d=9,99in
P=36,8kN
A = 4,41in2
Ix = 68,9in
4
Iy = 2,89in
4
ix=3,95in
Resposta:
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7) A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada abaixo. Se
estiver engastada na base e livre no topo, determine a força máxima
que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento.
Considere:
Exercício de fixação-
E = 70 GPa
σe = 95MPa
Resposta: P=23,6kN