Tranformada de Fourier

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INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS PALMEIRA DOS ÍNDIOS
ENGENHARIA CIVIL
FÍSICA GERAL II
Palmeira dos Índios-AL
2015
ERICK RÓGENES SIMÃO SORES
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Trabalho solicitado pelo Prof. Manoel, como requisito para avaliação da disciplina de Física Geral II.
Palmeira dos Índios-AL
2015
Introdução
Jean-Baptiste Joseph Fourier nasce em Auxerre (França) no dia 21 de março de 1768 foi um matemático e físico , seu maior trabalho foi o estudo sobre a decomposição de funções periódicas em uma soma infinita de senos e cossenos, esses somatórios são umas séries, que receberam seu nome, séries de Fourier. Essas séries tem largas aplicações e surgiram como solução aos problemas da condução do calor. Uma consequência dos estudos dessas séries é a transformada de Fourier, nome dado também em sua homenagem. 
O trabalho de Fourier sobre a propagação do calor permitiu-lhe modelar a evolução da temperatura através de séries trigonométricas. Fourier escreveu "Theorie analytique de la chaleur" (Teoria Analítica do Calor) em 1822, esse trabalho foi um marco na física-matemática. Esse livro contribui aos fundamentos da termodinâmica e representou uma evolução importantíssima para a modelização matemática dos fenómenos físicos. Contudo, as demonstrações feitas nessa pesquisa sofreram duras críticas de Laplace e Lagrange. Anos depois essas demonstrações foram aperfeiçoadas por matemáticos como Johann Dirichlet, François Budan de Boislaurent e Jacques Charles François Sturm, que apresentaram em 1829 a versão final do teorema de Fourier.
Fourier faleceu em Paris (França) em 16 de maio de 1830.
Desenvolvimento
Antes de analisarmos a transformada de Fourier, devemos entender a ideia precursora, a que antecedeu todo esse estudo que foram as séries de Fourier. 
A ideia de decompor funções em uma soma de senos e cossenos surgiu naturalmente na história da ciência, com o problema da condução de calor. Esse problema é do início do século XIX, Joseph Fourier iniciou seus estudos sobre a transmissão do calor, naquele período de revolução industrial o problema de dissipação de calor era muito importante, porém não havia muito conhecimento acerca disso.
Fourier começou seus estudos analisando uma barra, ele propôs aquecer essa barra nas suas duas extremidades, e começou observar como que o calor se propagava ao longo da barra.
Para facilitar suas observações ele considerou que a barra era isolada lateralmente, restringindo a transmissão do calor às extremidades. Matematicamente o problema foi simplificado porque a ideia é entender como a temperatura evolui em cada ponto da barra ao longo do tempo, ou seja, depende agora somente de uma variável posição e do tempo, sabendo a temperatura da barra nas duas extremidades e uma função(f(x,0)) que mostra a distribuição inicial da temperatura no instante 0.Podemos considerar o comprimento(L) da barra igual a 
Fourier formulou hipóteses para resolver seu problema:
u(x,0)=f(x)=distribuição inicial
u(0,t)=u(π,t)=0
A partir dessas hipóteses sabemos que o problema consistia em encontra uma função u(x,t)= temperatura em um ponto de abscissa “x” em um instante “t”. Sabendo:
u(0,t)
u(π,t)
u(x,0)
0≤x≤π
t≥0
Usando técnica de separação de variáveis, Fourier formulou outra hipótese:
Derivando parcialmente em função do tempo, obteve-se:
 (I)
E derivando duas vezes em função da posição:
 (II)
Sabe-se a partir da literatura de hoje que a fórmula do calor é:
(III)
Substituindo as equações I e II na equação III, temos:
 (IV)
Arranjando a equação IV temos:
Analisando essa equação vemos que o lado direito depende somente do tempo e que o lado esquerdo depende somente da posição, podemos concluir que ambos os lados da equação são constantes. Segue-se:
Encontramos então:
(V)
(VI)
A equação V tem como solução:
Já a equação VI tem três soluções que dependem do valor de 
Para esse caso temos que: 
Daí: 
(
(
Como uma função exponencial nunca é 0:
Logo:
 
Isso não nos interessa, então descartamos essa possibilidade.
Para esse caso temos: 
Daí: 
Como uma função exponencial nunca é 0:
Pelo mesmo motivo da formulação anterior descartamos essa hipótese.
Nessa situação temos como solução: 
Daí: 
(
(
(
Temos:
 (Não queremos esse resultado pelos motivos citados nas outras formulações)
Logo temos a solução geral:
 
Determinamos no início f(x) e agora temos que:
Analisando essa conclusão Fourier poderia pensar que ele teria chegado a solução do problema do calor para funções do tipo senoidal, mas ele foi além e pensou que poderia resolver o problema para todas as funções que pudessem ser decompostas como somas de senos. Foi a partir dessa ideia que ele começou analisar quais funções podiam ser decompostas dessa forma, e por meio de outras análises ele chegou à conclusão de que um grupo enorme de funções pode ser decompostas dessa maneira. Foi assim que surgiu a ideia da série de Fourier.
As séries de Fourier são voltadas para funções periódicas, já as transformadas de Fourier são definidas para um conjunto de funções muito mais ampla.
Sabemos que fundamentalmente as transformadas são somatórios de funções trigonométricas. Essa ideia foi implementada no estudo de ondas. A genialidade de Fourier foi ver que por mais que seja complicada a onda final, ele pode ser modelada como uma combinação de senos e cossenos, tanto em um intervalo infinito (transformada discreta) como em um pequeno intervalo (transformada discreta).
Essa descoberta é importantíssima, porque se conseguimos descobrir quais combinações de funções trigonométricas precisam ser adicionadas para modelar a onda final, saberemos quais frequências de ondas precisam ser somadas para modelar a função. Conhecendo assim a composição exata da onda estudada.
A transformada de Fourier de uma função f(x) é definida como:
	
	(VII)
O termo f(x) representa a função não periódica que você está tentando representar de uma maneira mais simples (a função original da onda). O termo e-2iπwxx  é a maneira de representas as senoides.
O que nos chama atenção é que essa integral nos possibilita separa os componentes da senoide. Assim o resultado da equação nos fornece quais ondas compõem a onda final, essa informação é dada através da amplitude e tempo de atraso de cada função que compõem o somatório.
Isto é a transformada de Fourier, uma função que explica que frequências estão sobrepostas na função original.
A transformada inversa, que recupera a função original é definida como:
	
	(VIII)
São inúmeras as aplicações dessas transformadas. Por exemplo na física é possível estudar ondas de uma maneira muito mais simples graças a esse mecanismo (como foi citado anteriormente). Analisando exemplos mais práticos vemos que só conseguimos transmitir arquivos de áudio graças a Fourier, já que os arquivos de áudio originais são muito grande, quando se plica a transformada nesse caso é possível analisar que existem alguns componentes que são dominantes e outros que quase não aparecem, a transformada decompões o arquivo e faz uma espécie de filtro separando os componentes de frequências importantes e excluindo os de papel menos importante. A partir daí surge o arquivo MP3 que pode ser compartilhado por todos e que transporta apenas as frequências necessárias que podem ser capitadas por nossos ouvidos. Esse arquivo é muito menor que o original.
As transformadas também são usadas nas imagens (pelo mesmo motivo que os áudio). A imagens do tipo JPG só existem graças as transformadas de Fourier, já que a transformada foi desenvolvida, em primeiro lugar, para ajudar Fourier a resolver problemas relacionados com o fluxo de calor através de materiais. Isso significa que ela também funciona em problemas que são espaciais. Arquivos de imagem sem perdas têm a cor de cada pixel definida separadamente. Quando você salva como JPG, a imagem é dividida em pedaçospequenos e a transformada de Fourier é aplicada a cada um dos blocos. Ela fornece uma descrição das frequências espaciais sobre como cor e brilhos variam ao longo deste pequeno pedaço da imagem. Assim como no caso de MP3, o JPG joga fora alguns componentes de alta frequência, que, no caso de uma imagem, fornecem os detalhes nítidos. Para a maioria de nós, nossos olhos não podem detectar diferenças sutis de cor. Portanto, jogar fora os componentes que dão a variação de pixel para a pixel não altera a aparência da imagem.
Esses exemplos são apenas citações das diversas áreas que as transformadas podem ser aplicadas.Com sua ideia despretensiosa de estudar o calor Fourier deu um grande passo para a ciência que auxiliou a entender diversas áreas da ciência.
 
Conclusão
Diante do exposto vê-se que as aplicações da transformada de Fourier consistem no fato de que alguns problemas do nosso dia a dia são difíceis de solucionar diretamente. Pode ser mais fácil resolver o problema transformado e aplicar a transformada inversa na solução. Deve-se levar em consideração a dificuldade envolvida em aplicar a transformada ao problema original e em aplicar a transformada inversa na solução do problema transformado.
É por conta disso que essas transformadas desempenham um papel ímpar no mundo. Elas funcionam como uma ponte que nos capacitam a visualizar o problema de outra perspectiva, facilitando a resolução do problema, e ao mesmo tempo nos permitir voltar com a solução para a perspectiva original, nos dando a possibilidade de aplicar os resultados obtidos.
Como vimos nesse trabalho a Matemática e a Física em todo tempo auxiliam a evolução da humanidade, Fourier jamais imaginaria a imensidão de sua contribuição para a compreensão do mundo, afinal “tudo” pode ser visto como senos e cossenos.
 
Referências bibliográficas
https://www.passeidireto.com/arquivo/979002/transformada-de-fourier, acessado em 28 de agosto de 2015.
http://gizmodo.uol.com.br/transformada-fourier-usos/, acessado em 3 de setembro de 2015. 
http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeFourier.pdf, acessado em 3 de setembro de 2015.
http://www.cin.ufpe.br/~ags/Sinais/Aplica%E7%E3o%20da%20Transformada%20de%20Fourier%20no%20processamento%20digital%20de%20imagens.pdf, acessado em 10 de setembro de 2015.
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAxdMAD/transformadas-series-fourier, acessado em 10 de setembro de 2015.
http://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap05.pdf, acessado em 10 de setembro de 2015.
http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm, acessado em 15 de setembro de 2015.
https://www.repository.utl.pt/handle/10400.5/1910, acessado em 15 de setembro de 2015.