Fenomeno dos Transportes[2]

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Fenomeno dos Transportes
1. CINEMÁTICA DOS FLUIDOS: CONCEITOS – PARTE 1
           
            A análise cinética dos fluidos baseia-se na classificação das propriedades e do regime de escoamento do fluido em questão. A primeira distinção é com relação às propriedades elásticas do fluido. Se a massa específica do fluido permanecer uniforme e constante, o fluido é classificado como incompressível, caso contrário, o fluido é classificado como compressível. Quase sempre os líquidos podem ser considerados como fluidos incompressíveis. Além dessa distinção, é importante identificar os diferentes regimes de escoamento de um fluido. Se as propriedades do fluido, em cada ponto do espaço, permanecerem constantes com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente (ouestacionário), já se as propriedades desse fluido em um determinado ponto variam com o tempo, este regime é denominado não permanente(ou não estacionário).
 
1.1 Experimento de Reynolds
            Em artigo publicado em 1883 o engenheiro britânico Osborne Reynolds apresentou uma demonstração visual da transição de regimes de escoamento. Nesse experimento, Reynolds empregou um reservatório de água com um tubo de vidro, contendo em uma de suas extremidades uma adaptação convergente. Além disso, esse tubo era ligado a um sistema externo com uma válvula, que permitia regular a vazão. No eixo do tubo de vidro era injetado um corante para a visualização do regime de escoamento (Figura 1). Por meio desse experimento Reynolds observou dois regimes de escoamento do fluido denominados de laminar e turbulento.
 
Figura 1: Ilustração artística do experimento de Reynolds (N. Rott, Annu. Rev. Fluid Mech. I990, 22: 1-11).
 
1.2 Escoamento Laminar
           No experimento de Reynolds, para pequenas vazões, o corante formava um filete contínuo paralelo ao eixo do tubo (Figura 2). Nesse regime, o escoamento é chamado de laminar e é caracterizado pelo fato da velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não variar com o tempo, nem em módulo nem em orientação. Assim, as partículas do fluido deslocam-se sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas (ou camadas), sendo que cada lâmina de fluido exerce uma força sobre a camada mais próxima, contudo, como o a vazão não é elevada, as lâminas não se misturam. Um regime laminar pode ser observado durante o escoamento suave de água na parte central de um rio de águas calmas.
 
Figura 2: Ilustração de regime de escoamento laminar no experimento de Reynolds (F. White, Fluid Mechanics, 2009).
 
1.3 Escoamento Turbulento
             Ainda considerando o experimento de Reynolds, com o aumento da vazão, a velocidade das partículas do corante aumenta, resultando no desaparecimento do filete colorido, já que as partículas fluidas rapidamente se misturam enquanto se movimentam (Figura 3). Esse regime de escoamento é denominado turbulento e é caracterizado pelo fato do campo de velocidades das partículas do fluido mudar com o tempo de forma aparentemente aleatória.
 
 
Figura 3: Ilustração de regime de escoamento turbulento no experimento de Reynolds (F. White, Fluid Mechanics,2009).
 
1.4 Tensão de Cisalhamento
             Considerando um fluido, inicialmente em repouso, entre placas ao submeter a placa superior a uma força F, essa será arrastada ao longo do fluido com velocidade v (Figura 4). Nesta configuração, a tensão de cisalhamento é definida como sendo a razão entre o módulo da força tangente à superfície (F) e a área (A) submetida à ação da força:
 
Figura 4: Deformação de um fluido submetido a uma força tangencial F (R. W. Fox, et al., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 2014).     
 
             Para fluidos newtonianos (fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação) em regime de escoamento laminar, a constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação (dv/dy) é a viscosidade absoluta(ou dinâmica), µ.         
 
 
onde v é a velocidade impressa pela força Ft e y é a altura da camada de fluido.
         A equação anterior é conhecida como lei de Newton da viscosidade e é aplicada para escoamentos laminares. Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes na média, a presença de flutuações aleatórias da velocidade torna a análise do escoamento turbulento difícil. Assim, para o regime de escoamento turbulento não existem relações universais entre a tensão e a velocidade média. Portanto, para o escoamento turbulento deve-se que considerar teorias semiempíricas e dados experimentais. 
 
1.5 Número de Reynolds (Re)
          Durante seus estudos sobre a transição entre os regimes de escoamentos laminar e turbulento Reynolds descobriu o parâmetro que permite determinar o regime de escoamento. Esse parâmetro é conhecido como número de Reynolds (Re):
 
 
sendo:
         ρ é massa específica do fluido;
         v é a velocidade média de escoamento do fluido;
         L é um comprimento característico da geometria de escoamento;
         µ é a viscosidade dinâmica do fluido; e
 é a viscosidade cinemática do fluido.
 
             Pode-se estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em relação às forças de pressão por meio do cálculo do número de Reynolds. Se o número de Reynolds for “grande”, os efeitos viscosos são desprezíveis; se o número de Reynolds for “pequeno” os efeitos viscosos são dominantes.
              Para escoamentos em tubos, sob condições normais, a transição para o regime de turbulência ocorre para:
 
Re ≈ 2300
2. CINEMÁTICA DOS FLUIDOS: CONCEITOS – PARTE 2
 
            As tensões em sólidos surgem quando estes são cilhados elasticamente, já para fluidos as tensões de cisalhamento são desenvolvidas em decorrência de escoamento viscoso. Assim, pode-se afirmar que sólidos são elásticos e fluidos são viscosos.  Grandezas como pressão, temperatura e massa específica são variáveis termodinâmicas características de qualquer sistema. Já a viscosidade é uma grandeza que caracteriza o comportamento mecânico de um fluido.
            A viscosidade é uma medida do atrito interno do fluido, assim, representa a resistência que um fluido oferece ao escoamento. Um fluido de viscosidade nula é denominado de fluido perfeito, ou superfluido, e um exemplo é o hélio líquido.
         Para a medição da viscosidade empregam-se instrumentos denominados de viscosímetros. Entre os tipos de viscosímetros, vale citar oViscosímetro de Stokes, no qual a viscosidade é determinada por meio de medições do tempo de queda livre de uma esfera através de um fluido estacionário. Nos estudos sobre viscosidade pode-se definir dois tipos de viscosidade: dinâmica e cinemática.
 
2.1 Viscosidade dinâmica (ou absoluta)
 
           Para fluidos newtonianos a tensão de cisalhamento de escoamento () é proporcional à taxa de deformação do fluido (dv/dy), e a constante de proporcionalidade entre essas grandezas é a viscosidade dinâmica (ou absoluta), µ. Dessa forma, para o escoamento unidimensional, tem-se a lei de Newton da viscosidade:
 
 
            Vale destacar que, as dimensões de são [F/L²] e as dimensões de (dv/dy) são [T-1]. Portanto, as dimensões da viscosidade dinâmica µ são [FT/L²]. Como as grandezas força, massa, comprimento e tempo são relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton, as dimensões de µ também podem ser representadas por [M/LT]. Na Tabela 1 a seguir são mostradas as unidades para viscosidade dinâmica no Sistema Internacional (ou MKS) e no sistema CGS.
 
  Tabela 1: Unidades para viscosidade dinâmica (µ) no Sistema Internacional e no CGS.
Nota do autor: No sistema CGS de unidades a viscosidade é dada em poise, símbolo P, em homenagem ao médico fisiologista e físico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille, que estudou o efeito da viscosidade no escoamento de fluidos em um tubo, com o propósito de entender a circulação sanguínea.
 
          A viscosidade é uma grandeza que depende do estado do fluido. Portanto, a viscosidadedepende da temperatura e da pressão. Para gases a viscosidade aumenta com temperatura, enquanto que para líquidos a viscosidade decresce com o aumento da temperatura. Na Tabela 2 são mostrados alguns valores de viscosidade em função da temperatura para: ar, água e óleo lubrificante SAE 30. A classificação SAE de óleos lubrificantes de motores e transmissões refere-se a uma denominação da Society of Automotive Engineers (Sociedade dos Engenheiros Automotivos dos Estados Unidos).
 
Tabela 2: Valores de viscosidade dinâmica em função da temperatura para alguns fluidos.
 
2.2 Viscosidade cinemática
 
            Em mecânica dos fluidos a viscosidade cinemática () é definida como sendo razão entre a viscosidade dinâmica (µ) e massa específica (ρ):
 
            Como a viscosidade dinâmica tem dimensões [M/LT] e a massa específica dimensões de [M/L³], então a viscosidade cinemática tem dimensões de [L²/T]. Ela é chamada de cinemática, pois essa grandeza não depende da massa do fluido. Na Tabela 3 são mostradas as unidades para viscosidade cinemática no SI e no CGS.
 
Tabela 3: Unidades para viscosidade cinemática () no Sistema Internacional e no CGS.
 
2.3 Exercício resolvido:
               Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido. Para uma altura d da camada, pode-se supor uma distribuição linear de velocidade no fluido. A viscosidade do líquido é 0,0065 g/cm e sua densidade relativa é 0,88.
 
 
Determinar:
(a) A viscosidade dinâmica do líquido, em Pa·s.
 
Solução:
 
         Lembrar que as dimensões da viscosidade dinâmica µ são [FT/L²] ou também podem ser representadas por [M/LT]. Portanto, µ = 0,0065 g/cm·s em unidade do SI pode ser determinada por:
 
 
 
(b) A viscosidade cinemática do líquido, em m²/s.
 
Solução:
 
            Lembrar que a densidade relativa (dr) de um líquido é a razão entre a massa específica deste líquido (ρ) e a massa específica da água (ρágua = 1000 kg/m³). Assim:
 
 
Portanto, a viscosidade cinemática do líquido é:
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior, em N/m².
 
Solução:
 
            Para a resolução deste item deve-se considerar a distribuição linear velocidade (figura). Como u varia linearmente com y, a taxa de deformação é:
 
 
 
Assim, a tensão de cisalhamento pode ser calculada como:
 
3. TIPOS DE VAZÕES E SUAS RELAÇÕES
 
3.1 Vazão volumétrica (Q)
            A vazão volumétrica (ou simplesmente vazão) corresponde à taxa de escoamento e pode ser calculada por meio da razão entre o volume () que passa por uma seção reta e o intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
 
 
            Considerando o escoamento de um fluido em uma região do espaço com seção de área A e distância s (Figura 1), a vazão volumétrica pode ser escrita como sendo:
 
 
 
Figura 1: Fluido escoando com velocidade média constante por uma região do espaço com seção reta de área A e comprimento s.
 
 
            A razão entre a distância e o tempo define a velocidade (v) do fluido. Portanto, a Eq.(2) fica:
 
 
            A equação anterior é válida somente se a velocidade for constante ao longo da seção considerada. Caso contrário, para determinar a vazão volumétrica deve-se analisar o perfil da velocidade ao longo da seção. De maneira geral pode-se calcular a vazão por meio de:
 
 
 
3.2 Vazão mássica (QM)
            Define-se a vazão mássica (ou vazão em massa) como sendo a razão entre a massa (m) e o tempo de escoamento (t) do fluido:
 
 
 
Como a massa do fluido pode ser determinada por meio da massa específica e do volume desse. Então:
 
 
Substituindo a Eq. (6) na Eq.(5) tem-se:
 
 
3.2.1 Relação entre vazão mássica e vazão volumétrica
            Como volume () por unidade de tempo (t) define a vazão volumétrica (Q, Eq.(1)), pode-se escrever a Eq.(7) como:
 
 
 
3.3 Vazão em peso (QG)
            A vazão em peso pode ser calculada por meio da razão entre a força peso (G) que passa por uma seção reta e o intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
 
 
 
            Por meio da segunda Lei de Newton do movimento tem-se que a força peso corresponde ao produto entre massa (m) e a aceleração da gravidade (g). Assim, a Eq.(9) pode ser escrita como:
 
 
 
3.3.1 Relação entre vazão em peso e vazão mássica
            A razão entre a massa (m) e o intervalo de tempo (t) define a vazão mássica (QM,) então a Eq.(10) fica:
 
 
 
3.3.2 Relação entre vazão em peso e vazão volumétrica
            Como a vazão mássica relaciona-se com a vazão volumétrica, substituindo a Eq. (8) na Eq. (11) tem-se:
 
 
 
            O produto entre a massa específica do fluido e a aceleração da gravidade determina a grandeza peso específico (γ). Portanto:
 
 
 
3.3.3 Exercício Resolvido:
       Os reservatórios I e II, da figura a seguir, são cúbicos. Eles são cheios pelas tubulações, respectivamente, em 100s e 500s. Determinar a velocidade da água na seção A indicada, sabendo-se que o diâmetro da tubulação é 1m.
 
 
 
Solução:
A vazão volumétrica total (QT) é soma da vazão em cada tubulação. Assim:
 
 
 
Porém, a vazão volumétrica total também se relaciona com a velocidade (v) da água na seção A por meio da Eq. (3). Portanto:
 
4. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
 
            No estudo do movimento de um fluido emprega-se o conceito de linhas de corrente (ou linhas de fluxo) para descrever como as partículas do fluido se movem. As linhas de corrente são definidas de modo que em cada ponto sua tangente é paralela ao vetor velocidade do fluido (Figura 1).
 
 
Figura 1: Linha de corrente em um fluido móvel. Em cada ponto da linha de corrente a velocidade do fluido é paralela à reta tangente.
 
 
            Um tubo imaginário limitado por linhas de corrente é definido como sendo um tubo de corrente (Figura 2). Como uma linha de corrente é paralela ao vetor velocidade do fluido, este flui ao longo do tubo e nenhum fluxo pode atravessar suas paredes. Desta forma, pode-se estabelecer uma expressão para a conservação da massa do fluido.
 
 
Figura 2: Tubo de corrente em um fluido que escoa em regime não turbulento.
 
 
            Para o tubo de corrente anterior, as velocidades das seções retas de área A1 e A2 são, respectivamente, v1 e v2. Considerando um elemento de fluido que penetra na parte inferior do tubo de corrente da Figura 2, o volume desse elemento (ΔV1) corresponde à área A1 vezes o comprimento de volume (ΔL1).
 
 
 
onde Δt é o tempo que o fluido leva para percorrer o elemento de volume naquela extremidade do tubo.
            Consequentemente, a massa de fluido que entra na extremidade inferior do tubo durante o intervalo Δt corresponde à massa específica ρ1 vezes o volume ΔV1. Assim:
 
 
 
            Analogamente a massa (m2) do fluido que sai pela extremidade superior durante o mesmo intervalo de tempo é:
 
 
 
 
            Como nenhum fluido se acumula no tubo, em regime permanente de escoamento, as duas massas m1 e m2 são iguais. Logo:
 
              
 
 
            Esta equação é conhecida como equação da continuidade e representa a conservação de massa em fluxo constante. Assim, em regime permanente a vazão mássica é conservada (QM1 = QM2). Além disso, se o fluido for incompressível, como a massa específica é constante, então ρ1 = ρ2, e a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2). Portanto:
 
 
 
Exemplo 1:
Um conduto de água se afunila de um raio de 12,5 mm para um raio de 9 mm. Sendo que a velocidade da água na parte de 12,5 mm é 1,8 m/s, determine:
 
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto;
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e isolando a velocidade v2 tem-se:
 
 
b) a vazão volumétrica;
 
Solução: A vazão volumétrica corresponde à velocidade vezes a área. Como o fluido é incompressível, a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2 = Q). Então:c) a vazão mássica;
 
Solução: A vazão mássica corresponde ao produto entre a massa específica do fluido (ρágua = 1000 kg/m³) e a vazão volumétrica. Logo,
 
 
 
 
Exemplo 2:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 1,7 m/s. O tubo se bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem-se:
 
 
(a) Quais são as vazões nos pontos A e B?
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e sabendo que os diâmetros de saída do fluido são iguais, logo, as vazões volumétricas são iguais nos dois tubos menores, então:
 
 
Como:   
Portanto:   
 
(b) Qual é a velocidade no ponto B?
Solução: Isolando a variável velocidade na expressão da vazão volumétrica, tem-se:
 
 
5. EQUAÇÃO DE BERNOULLI
 
            A equação da continuidade expressa a conservação da massa e relaciona a massa específica e a velocidade do fluido ao longo do fluxo. Empregando a análise em termos da energia e do trabalho, podem-se relacionar, além dessas grandezas, variáveis com a altura e pressão do fluido. A conservação da energia mecânica, aplicada ao escoamento de um fluido leva à equação, que foi obtida pelo matemático holandês Daniel Bernoulli no século XVIII, conhecida como Equação de Bernoulli (ou Equação da Energia). Essa equação é válida para:
         Escoamento pertinente;
         Fluido incompressível e perfeito (sem atrito); e
         Sem máquinas no trecho de escoamento do fluido.
            Para obter a Equação de Bernoulli considera-se a lei da conservação da energia por meio do teorema do trabalho e energia cinética:
 
 
 
onde W corresponde ao trabalho total realizado sobre o sistema e ΔEc é a variação da energia cinética.
            Considerando o fluido delimitado pelo tubo de corrente e pelas seções de área A1 e A2 (Figura 1), algum trabalho precisa ser realizadosobre o sistema para empurrar o fluido para o tubo e algum trabalho precisa ser realizado pelo sistema para o fluido sair do tubo.
 
 
Figura 1: Escoamento permanente de um fluido ao longo de um tubo de corrente.
 
 
            A força (F) exercida sobre uma seção de área A pelo fluido compressão p é dada pelo produto:
 
 
 
            Como trabalho (W) é definido como força vezes a distância percorrida pelo fluido (Δx), então:
 
 
 
 
sendo que o produto A·Δx corresponde ao volume ΔV.
            Assim, o trabalho realizado sobre o sistema é + p1·ΔV e o trabalho realizado pelo sistema é - p2·ΔV. Deste modo, a soma dos dois trabalhos (Wp) é:
 
 
 
            Já o trabalho (WG) realizado pela força da gravidade sobre o fluido de massa Δm durante a subida do tubo da Figura 1 é:
 
 
 
 
onde g é aceleração da gravidade e y1 e y2 são as alturas do fluido nos pontos 1 e 2, respectivamente. Portanto, o trabalho total é a soma do trabalho realizado para empurrar o fluido (Wp) e o trabalho da força gravitacional (WG). Ainda, segundo o teorema do trabalho e energia cinética (Eq. (1)) tem-se:
 
 
 
sendo que v1 e v2 correspondem, respectivamente, às velocidades nos pontos 1 e 2 do tubo de corrente. Como a massa pode ser representada em termos da massa específica do fluido (ρ) e de seu volume (ΔV) por meio da relação Δm = ρ·ΔV, então a Eq. (6) fica:
 
 
 
            Dividindo a Eq. (7) por ΔV e rearranjando os termos, tem-se:
 
 
 
            Dividindo a Eq. (8) por ρ·g, equivale ao peso específico do fluido , obtém-se:
 
 
 
 
            Esta equação é conhecida como Equação de Bernoulli e permite relacionar alturas, velocidades e pressões de dois pontos do escoamento de um fluido ao longo de uma linha de corrente. A seguir será indicado o significado de cada parcela dessa equação.
 
 
 
 
            De maneira geral, a Equação de Bernoulli pode ser escrita como:
 
 
 
sendo H a carga total de um seção e para o caso analisado na Figura 1 tem-se:
 
 
 
            Portanto, a Equação de Bernoulli expressa que em um fluido ideal, incompressível, em escoamento permanente e se não houver máquinas, as cargas totais se manterão constantes ao longo de uma linha de corrente.
 
Exemplo:
Em um reservatório vertical, com diâmetro interior de 1,5 m, tem um orifício a 2,5 m do nível da água. O diâmetro do orifício é de 15 mm. Determine a velocidade da água no jato que sai pelo orifício.
 
 
Solução: Aplicando a Equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, e como ambos os pontos estão à pressão atmosférica (p1 = p2), tem-se:
 
 
 
Considerando a equação da continuidade (), como a área A2 é muito maior do que A1, então a v2 é desprezível, em comparação com a velocidade v1. Portanto:
 
 
 
Adotando g = 10 m/s², obtém-se:
 
6. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
 
            Para escoamentos incompressíveis, a Equação de Bernoulli pode ser empregada para relacionar variações de velocidade e de pressão ao longo de uma linha de corrente. Com bases nessas relações é possível estudar o princípio de funcionamento de dois instrumentos de medição que serão detalhados a seguir.
 
6.1 Tubo de Venturi
            O tubo de Venturi (ou medidor de Venturi), assim chamado em homenagem ao físico italiano Giovanni Battista Venturi, é um instrumento empregado para medir a vazão volumétrica em condutos fechados. Na Figura 1 a seguir é representado um tubo de Venturi clássico com a localização dos pontos de tomada de pressão. Esse medidor causa uma obstrução ao escoamento do fluido devido à existência de uma garganta, na qual a área de escoamento é mínima, o que permite determinar a vazão do escoamento.
 
 
Figura 1: Esquema de um tubo de Venturi clássico e localização dos pontos de tomada de pressão.
 
            O tubo de Venturi é classificado como um medidor de obstrução de Bernoulli, devido ao fato da vazão ser relacionada com o diferencial de pressão entre as seções 1 e 2 por meio da utilização da equação da continuidade e da equação de Bernoulli. Para esse instrumento as considerações de escoamento permanente e ausência de perdas são válidas. Dessa forma, a equação de Bernoulli é:
 
 
 
onde:
y1 e y2    alturas do fluido nos pontos 1 e 2;
p1 e p2   pressões do fluido nos pontos 1 e 2;
v1 e v2    velocidades do fluido nos pontos 1 e 2;
g   aceleração da gravidade; e
   peso específico do fluido.
 
 
            Como y1 = y2, rearranjando a Eq. (1) tem-se:
 
 
 
            Empregando a equação da continuidade para os pontos 1 e 2 obtém-se:
 
 
 
sendo que A1 e A2 são as áreas da região 1 e 2.
            Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2) e isolando a velocidade v1 tem-se:
 
 
 
            Deste modo, a vazão (Q) pode ser determinada por:
 
 
 
 
6.2 Tubo de Pitot
            O tubo de Pitot é um dispositivo empregado para medir a velocidade de fluidos em escoamento de permanente e recebe esse nome em homenagem ao engenheiro francês Henri de Pitot, que projetou esse instrumento em 1732. Hoje em dia, tubos de Pitot são frequentemente utilizados no exterior de aviões para determinar a velocidade do avião em relação ao ar. Para compreender o princípio de funcionamento do tubo de Pitot é necessário definir as pressões: estática, de estagnação e dinâmica.
 
         Pressão estática é a pressão que partícula do fluido está submetida. Como não há variação de pressão em uma direção perpendicular às linhas de correntes, é possível medir a pressão estática utilizando uma tomada de pressão instalada na parede de um conduto em uma região onde as linhas de corrente são retilíneas.
         Pressão de estagnação (ou total) é obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito.
         Pressão dinâmica corresponde à diferença entre a pressão de estagnação e a pressão estática.
 
            Com base no tipo de tomada de pressão existem dois principais tipos de tubo de Pitot: tubo de Pitot simples e tubo de Pitot-estática. Na Figura 2 são mostrados esses doisde tubo de Pitot com detalhes sobre os pontos de tomada de pressão.
 
 
Figura 2: (a) Tubo de Pitot simples e (b) tubo de Pitot-estática. Os pontos A e B correspondem a pontos de estagnação, para os quais a velocidade do fluido é zero.
 
 
            Relacionando as variações de velocidade e na pressão ao longo de uma linha de corrente, por meio da equação de Bernoulli, e desprezando diferenças de elevação, tem-se:
 
 
 
onde p0 e v0 correspondem, respectivamente,  à pressão e à velocidade do fluido no ponto de estagnação e p corresponde à pressão de estática em um ponto do escoamento com  velocidade v.
            Como v0 = 0 (velocidade de estagnação), isolando a velocidade v na Eq. (6) tem-se:
 
 
 
Portanto, medindo-se a pressão de estagnação e a pressão estática é possível determinar a velocidade local do escoamento.
 
Exemplo:
Um tubo de Pitot é inserido em um escoamento de ar. Sabendo que no sistema está instalado um tubo em U com mercúrio como fluido manométrico, determine a velocidade de escoamento. (Dados: Hg = 136 000 N/m³ ; ar = 13 N/m³ ; g = 10 m/s²)
 
 
 
Solução: A velocidade de escoamento é dada por:
 
 
 
            Contudo, para determinar a diferença de pressão (p0 – p) utiliza-se a equação manométrica para um tubo em U. Assim:
 
 
     como   Hg >> ar
 
 
 
Portanto, a velocidade de escoamento é:
 
7. MÁQUINAS (BOMBAS E TURBINAS)
 
            Uma máquina é um dispositivo que realiza trabalho (adiciona energia) sobre um fluido ou extrai trabalho (extrai energia) de um fluido. As máquinas que adicionam energia a um fluido são denominadas bombas. Já as máquinas que extraem energia de um fluido são chamadasturbinas. Considerando dois pontos (1 e 2) de uma linha de corrente, na ausência de máquinas a energia por unidade de peso (carga, H1) no ponto 1 é igual à energia por unidade de peso (carga, H2) do ponto 2. Ou seja:
 
 
 
7.1 Bombas
            Como mencionado anteriormente, se a máquina for uma bomba, o fluido recebe um acréscimo de energia durante seu escoamento (Figura 1). Dessa forma, a carga do ponto 2 é maior do que no ponto 1 (H2 > H1) e a Eq. (1) deve ser reescrita considerando a energia fornecida pela bomba por unidade de peso do fluido (carga, HB). Logo:
 
 
 
Figura 1: Esquema de uma bomba inserida em um sistema de escoamento.
 
 
7.2 Turbinas
            Se a máquina do sistema for uma turbina (Figura 2), então a carga do ponto 2 é menor do que a do ponto 1 (H2 < H1) e a Eq. (1) deve ser reescrita considerando a energia extraída pela turbina por unidade de peso do fluido (carga, HT). Logo:
 
 
 
Figura 2: Esquema de uma bomba inserida em um sistema de escoamento.
 
 
7.3 Equação da energia na presença de uma máquina
            De maneira geral, a equação da energia de um sistema na presença de uma máquina pode ser escrita em termos da carga da máquina (HM):
 
 
 
Se:      HM > 0 (HM = HB)  a máquina é uma bomba
            HM < 0 (HM = HT)   a máquina é uma turbina
 
 
            Como as cargas nos pontos 1 e 2 são dadas por:
 
 
 
onde:
y1 e y2  alturas do fluido nos pontos 1 e 2;
p1 e p2  pressões do fluido nos pontos 1 e 2;
v1 e v2  velocidades do fluido nos pontos 1 e 2;
g  aceleração da gravidade; e
 peso específico do fluido.
 
            Substituindo a Eq. (5) na Eq. (4) e isolando a variável HM tem-se a equação da energia, para um fluido ideal, na presença de uma máquina:
 
 
  
7.3 Potência e Rendimento
            A grandeza potência (N) é definida como o trabalho realizado por uma força por unidade de tempo. Como trabalho relaciona-se com a energia mecânica do sistema, a potência de uma máquina pode ser descrita por:
 
 
 
            Multiplicando e dividindo a Eq. (7) pela força peso tem-se:
 
 
 
            Como o termo (energia mecânica/peso) representa a carga da máquina (HM), e o termo (peso/tempo) representa a vazão em peso (QG), então a Eq. (8) fica:
 
 
 
            A vazão em peso corresponde ao produto entre o peso específico do fluido () e a vazão volumétrica (Q). Portanto, a Eq (9) pode ser reescrita como:
 
 
 
            Assim, para o caso de uma bomba a potência recebida pelo fluido é:
 
 
 
            Já para o caso de uma turbina:
 
 
 
            Contudo, caso exista transmissão de potência, existirão perdas associadas e a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina. Para o caso de bombas, a potência recebida pelo fluido (N) é menor do que a potência da bomba (NB), como ilustrado na Figura 3.
 
 
Figura 3: Ilustração da transmissão de potência de um motor para uma bomba.
 
 
            Dessa forma, define-se o rendimento de uma bomba () como sendo a razão entre a potência recebida pelo fluido (N) e a fornecida pelo eixo da máquina (NB).
 
 
 
            Substituindo a Eq. (11) na Eq. (13):
 
 
 
            Vale ressaltar que, o rendimento de uma máquina é uma grandeza com valores entre 0 e 1. Por meio da Eq. (14) é possível determinar a potência de uma bomba.
 
 
 
            Para o caso da máquina ser uma turbina, o fluido cede potência para a turbina. Logo, a potência cedida pelo fluido (N) é maior do que a potência da turbina (NT), como ilustrado na Figura 4.
 
 
Figura 4: Ilustração da transmissão de potência de uma turbina para um gerador.
 
 
            Assim, o rendimento de uma turbina () é definido com a razão entre a potência da turbina (NT) e a potência cedida pelo fluido (N).
 
 
 
            Substituindo a Eq. (12) na Eq. (16) tem-se:
 
 
 
            Analogamente ao caso de uma bomba, é possível determinar a potência de uma turbina por meio da relação de rendimento da Eq. (17).
 
 
 
 
Exemplo:
O reservatório mostrado a seguir possui grandes dimensões e fornece água com uma vazão de 10 x 10-3 m³/s. Determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina. Considere que não há perdas nesse sistema.
Dados: água = 1 x 104 N/m³; A2 = 10 cm²; g = 10 m/s²
 
 
 
Solução: Utilizando a Eq. (6) para um fluido ideal tem-se:
 
 
 
Como:
As alturas dos pontos de interesse são: y1 = 20 m; y2 = 0;
O fluido está submetido à pressão atmosférica nos pontos 1 e 2  p1 = p2 = 0 (na escala efetiva);
O tanque é de grandes dimensões  v1 = 0; e
A velocidade do fluido no ponto 2 pode ser obtida por meio de:
 
 
Assim:
 
 
 
 
 
Como HM < 0, a máquina é uma turbina.
8. EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDO REAL
 
            Por meio da aplicação da Equação de Bernoulli para um fluido ideal verifica-se que a carga (H) em dois pontos ao longo de uma linha de corrente é constante.
 
 
 
             Porém, para fluidos reais as perdas por atrito não são desprezíveis e essas podem ser determinadas por meio do cálculo da perda de carga (Hp). Vale destacar que, no sistema do tipo FLT a dimensão da carga (ou energia por unidade de peso) é L, por essa razão, é comum a utilização do termo altura para essa grandeza.
            Considerando um fluido real, incompressível e em regime permanente de escoamento, a carga no ponto 1 (H1) é maior do que a carga no ponto 2 (H2), devido às perdas de carga (HP 1,2), Figura 1.
 
Figura 1: Escoamento de um fluido real na ausência de máquinas.
 
 
        Dessa forma, na equação da energia do sistema deve-se adicionar uma parcela correspondente às perdas:
 
 
            Logo, para um fluido real a perda de carga (HP 1,2) entre os pontos 1 e 2 é:
 
 
            Assim, para um escoamento sem atrito (Eq. (1)) em um tubo horizontal a pressão somente poderia variar se a velocidade variasse (por meio de uma variação do diâmetro do tubo). Já quando existem perdas por atrito, a Eq. (3) indica que ocorrerão variações da pressão mesmo para um tubo horizontal e de área constante.
 
            Além disso, se no sistema houver uma máquina (Figura 2), a Eq. (2) deve ser reescrita de modo a considerar a carga da máquina (HM):Figura 2: Escoamento de um fluido real na presença de uma máquina.
 
 
            Analogamente ao caso da potência recebida pelo fluido, é possível definir a potência dissipada pelo atrito (NDISS) por meio da relação:
 
 
 
8.1 Exercício Resolviso:
             O reservatório mostrado a seguir possui grandes dimensões e no sistema há uma bomba, com 5000 W de potência e 80% de rendimento. Sabendo que a velocidade no ponto 2 é 5 m/s, determine a perda de carga.
 
Dados: água = 1 x 104 N/m³; A2 = 10 cm²; g = 10 m/s²
 
 
Solução: Utilizando a Eq. (4) tem-se:
 
Como:
  As alturas dos pontos de interesse são: y1 = 10 m; y2 = 0;
 O fluido está submetido à pressão atmosférica nos pontos 1 e 2  p1 = p2 = 0 (na escala efetiva);
O tanque é de grandes dimensões  v1 = 0;
A velocidade do fluido no ponto 2 é v2 = 5 m/s; e
 A carga da bomba (HB) pode ser obtida por:
 
 
Portanto: