Mauro_ME310_cap3

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2013
ME-310. PROBABILIDADE II
CÁPITULO 3: Função característica
Mauro S. de F. Marques
– p. 1/20
Elementos básicos de números complexos
Um objeto z da forma
z = a+ ib, onde a, b ∈ R e i2 = −1
é chamado número complexo.
O símbolo i representa o número imaginário
√−1, a é chamada a parte real de z,R(z), e b a
parte imaginária de z, I(z). O conjunto dos números complexos é usualmente denotado por C.
Note que existe uma identificação natural entre C e R2:
C ←→ R2
a+ ib ! (a, b)
✲R
✻
I
✯
a
b
(a, b) ≡ z = a+ ib
θ
θ = arctan
(
b
a
)
\
msdfm
– p. 2/20
Operações com números complexos
Considere z = a+ ib, z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 ∈ C e
α ∈ R:
(i) Modulo de z: |z| = √a2 + b2.
(ii) Conjugado de z: z = a1 − ib.
(iii) αz1 + z2 = (αa1 + a2) + i(αb1 + b2).
(iv) z1z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1)
(≡ ao produto vetorial em R2).
(v) 1
z
= z|z| =
a
|z| − i
(
b
|z|
)
.
msdfm
– p. 3/20
Propriedades
(P1.) |R(z)| ≤ |z| e |I(z)| ≤ |z|.
(P2.) z1 + z2 = z1 + z2.
(P3.) z1z2 = z1z2.
(P4.) (1
z
) = 1
z
.
(P5.) z + z = 2R(z).
(P6.) z − z = 2I(z).
(P7.) zz = |z|2.
(P8.) z(z1 + z2) = zz1 + zz2.
msdfm
– p. 4/20
P8. Forma Polar:
✲R
✻
I
✯
a
b z = a+ ib
θ
a = |z| cos(θ)
b = |z| sin(θ)\
|z|
z = |z|( cos(θ) + i sin(θ)) ≡ |z|eiθ
eiθ
def.
= cos(θ) + i sin(θ).
As demonstrações são triviais!
msdfm
– p. 5/20
A integral de uma função assumindo valores complexos,
f(x) = f1(x) + if2(x), é definida por:∫
I
f(x)dx =
∫
I
f1(x)dx+ i
∫
I
f2(x)dx.
Analogamente para somatórios.
Em particular, para X uma variável aleatória
E(f(X)) = E(f1(X)) + iE(f2(X))
Exercício 1. Mostre que
i. ei(θ1+θ2) = eiθ1eiθ2).
ii.
∣∣E(eitX)∣∣ ≤ E(|eitX |).
iii. A função eitX − 1 é limitada em t.
– p. 6/20
APENDICE
Teorema da Convergência Dominada
VERSÃO 1 Seja (fn : n ≥ 1) uma sequência de funções de R em R, tal que:
1. limn−→∞fn(X) existe para todo x ∈ R.
2. Existe uma função g de R em R, tal que
∫
+∞
−∞
|g(x)|dx <∞∧ |fn(x)| < |g(x)|, ∀x ∈ R ∧ n = 1, 2, 3, · · ·
Então
limn−→∞
∫
+∞
−∞
fn(x)dx =
∫
+∞
−∞
limn−→∞fn(x)dx.
VERSÃO 1 Seja (Xn : n ≥ 1) uma sequência de variáveis aleatórias, tal que:
1. limn−→∞Xn(ω) existe para todo ω ∈ Ω.
2. Existe uma variável aleatória Y , tal que
E(|Y |) <∞∧ |Xn(ω)| < |Y (ω)|, ∀omega ∈ Ω ∧ n = 1, 2, 3, · · ·
Então
limn−→∞E(Xn) = E(limn−→∞Xn).
– p. 7/20
Função característica
Uma outra ferramenta importante no estudo de distribuições de
probabilidade, na verdade um outra maneira de caracterizar-las, é
o conceito conhecido como funca˜o caracterı´stica de X (ou de
FX); uma função assumindo valores complexos definida nos
reais por:
ϕX : R 7−→ C
t ϕX(t)
com
ϕX(t) = E
(
cos(tX)
)
+ iE
(
sin(tX)
)
.
Note que ϕX(t) existe para todo t pois como | cos(tX)| ≤ 1 e
| sin(tX)| ≤ 1 os respectivos valores esperados existem.
msdfm
– p. 8/20
Propriedades:
P1 ϕX(0) = 1.
P2
∣∣ϕX(t)∣∣ ≤ 1.
P3 ϕX(t) = ϕX(−t) = ϕ−X(t).
P4 ϕaX+b(t) = (cos(bt) + i sin(bt)
)
ϕX(at) =
exp(ibt)ϕX(at)
P5 Se X e Y são independentes, então
ϕX+Y = ϕXϕY .
P6 ϕX é uniformemente contínua.
msdfm
– p. 9/20
P1 ϕX(0) = E
(
cos(0X)
)
+ iE
(
sin(0X)
)
= cos(0) + i sin(0) = 1.
P2
∣∣ϕX(t)∣∣ = (E( cos(tX)))2 + (E( sin(tX)))2 ≤ E( cos2(tX))+ E( sin2(tX)) =
E
(
cos2(tX) + sin2(tX)
)
= E(1) = 1.
P3 ϕX(t) = E
(
cos(tX)
)
+ iE
(
sin(tX)
)
= E
(
cos(tX)
)− iE( sin(tX)) =
E
(
cos(−tX))+ iE( sin(−tX)) = ϕX(−t) = ϕ−X(t).
P4 ϕaX+b(t) = E
(
cos(t(aX + b)
)
+ iE
(
sin(t(aX + b)
)
=
E
(
cos(taX) cos(tb)−sin(taX) sin(tb))+iE( cos(taX) sin(tb)+cos(tb) sin(taX)) =
cos(tb)
(
E
(
cos(taX)+iE
(
sin(taX)
))
+i sin(tb)
(
E
(
cos(taX)+iE
(
sin(taX)
))
=
(cos(bt) + i sin(bt)
)(
E
(
cos(taX) + iE
(
sin(taX)
))
= (cos(bt) + i sin(bt)
)
ϕX(at).
msdfm
– p. 10/20
P5
ϕX+Y (t) = E
(
cos(t(X + Y )
)
+ iE
(
sin(t(X + Y ))
)
=
E
(
cos(tX) cos(tY )− sin(tX) sin(tY ))+ iE( cos(tX) sin(tY ) + cos(tY ) sin(tX)) =(
E
(
cos(tX) cos(tY )
)− E( sin(tX)sen(tY )))+
i
(
E
(
cos(tX) sin(tY )
)
+ E
(
cos(tY ) sin(tX)
)) ind.
=
(
E
(
cos(tX)
)
E
(
cos(tY )
)− E( sin(tX))E( sin(tY )))+
i
(
E
(
cos(tX)
)
E
(
sin(tY )
)
+ E
(
cos(tY )
)
E
(
sin(tX)
))
=
E
(
cos(tX)
)(
E
(
cos(tY )
)
+iE
(
sin(tY )
))
+iE
(
sin(tX)
)(
E
(
cos(tY )
)
+iE
(
sin(tY )
))
=
(
E
(
cos(tX)
)
+ iE
(
sin(tX)
))(
E
(
cos(tY )
)
+ iE
(
sin(tY )
))
= ϕX(t)ϕY (t).
msdfm
– p. 11/20
P6
0 ≤ ∣∣ϕX(t)− ϕX(s)∣∣2 =∣∣(E( cos(tX))+ iE( sin(tX)))− (E( cos(sX))+ iE( sin(sX)))∣∣2 =∣∣(E( cos(tX))− cos(sX))+ iE( sin(tX)− sin(sX))∣∣2 =(
E
(
cos(tX)
)− cos(sX))2 + (E( sin(tX)− sin(sX)))2 ≤
E
((
cos(tX)
)− cos(sX))2)+ E(( sin(tX)− sin(sX))2) =
E
(
cos2(tX) + cos2(sX)− 2 cos(tX) cos(sX) + sin2(tX) + sin2(sX)− 2 sin(tX) sin(sX)
)
=
2E
(
1− ( cos(tX) cos(sX) + sin(tX) sin(sX))) =
2E
(
1− ( cos(tX) cos(−sX)− sin(tX) sin(−sX))) =
Como
∣∣1− cos ((t− s)X)∣∣ ≤ 2, pelo Teorema da Convergência Dominada,
2E
(
1− cos ((t− s)X)) −→ 0, quando |t− s| → 0.
Logo ϕX é uniformemente contínua. msdfm
– p. 12/20
Função característica e momentos
Proposic¸a˜o 1. Se E
(|X|k) <∞ enta˜o
dk
dtk
ϕX(t)
existe para todo t e
dk
dtk
ϕX(t) = i
k
(
E
(
Xk cos(tX)
)
+ iE
(
Xk sin(tX)
))
.
Em particular,
dk
dtk
ϕX(0) ≡ d
k
dtk
ϕX(t)
∣∣t=0 = ikE(Xk).
msdfm
– p. 13/20
Demonstrac¸a˜o: (k=1)
ϕ(t+ h)− ϕ(t)
h
=
(
E(cos((t− h)X) + iE(sin((t− h)X))− (E(cos(tX) + iE(sin(tX))
h
=
(
E(cos((t− h)X)− E(cos(tX))+ i(E(sin((t− h)X)− E(sin(tX))
h
=
E
(
cos((t− h)X)− cos(tX)
h
)
+ iE
(
sin((t− h)X)− sin(tX)
h
)
.
Temos que mostrar que
lim
h→0
(ϕX(t− h)− ϕX(t)
h
)
=
lim
h→0
E
(
cos((t− h)X)− cos(tX)
h
)
+ i lim
h→0
E
(
sin((t− h)X)− sin(tX)
h
)
.
existe!
msdfm
– p. 14/20
Para tanto temos, pelo teorema do valor médio,
∣∣∣ cos((t− h)X)− cos(tX)
h
∣∣∣ = | sin(ξ)(tX − (t− h)X)||h| ≤ |h||X||h| = |X|
e ∣∣∣ sin((t− h)X)− sin(tX)
h
∣∣∣ = | cos(ξ′)(tX − (t− h)X)||h| ≤ |h||X||h| = |X|.
Por outro lado,
lim
h→0
cos((t− h)X)− cos(tX)
h
=
d
dt
cos(tX) = −X sin(tX)
e
lim
h→0
sin((t− h)X)− sin(tX)
h
=
d
dt
sin(tX) = X cos(tX).
msdfm
– p. 15/20
Portanto, como por hipótese E(|X|) <∞, segue pelo Teorema da Convergência Dominada:
lim
h→0
(ϕX(t− h)− ϕX(t)
h
)
=
lim
h→0
E
(
cos((t− h)X)− cos(tX)
h
)
+ i lim
h→0
E
(
sin((t− h)X)− sin(tX)
h
)
=
E
(
lim
h→0
cos((t− h)X)− cos(tX)
h
)
+ iE
(
lim
h→0
sin((t− h)X)− sin(tX)
h
)
=
E
(−X sin(tX))+ iE(X cos(tX)) = i(E(X cos(tX))+ iE(X sin(tX))) = d
dt
ϕX(t).
Logo,
d
dt
ϕX(0) = i
(
E
(
X cos(0X)
)
+ iE
(
X sin(0X)
))
= iE(X).
A demonstração para k > 1 segue de forma análoga por indução.
c.q.d
msdfm
– p. 16/20
Expansão de Taylor
– p. 17/20
Teoremas de Inversão
– p. 18/20
Caso multivariado
– p. 19/20
Função Característica da Normal Multivariada
– p. 20/20
	small Elementos b'asicos de n'umeros complexos
	small Operac c~oes com n'umeros complexos
	APENDICE
	Func c~ao caracter'{i }stica
	small Propriedades:
	small Func c~ao caracter'{i }stica e momentos
	Expansão de Taylor
	Teoremas de Inversão
	Caso multivariado
	small Função Característica da Normal Multivariada