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2013 ME-310. PROBABILIDADE II CÁPITULO 3: Função característica Mauro S. de F. Marques – p. 1/20 Elementos básicos de números complexos Um objeto z da forma z = a+ ib, onde a, b ∈ R e i2 = −1 é chamado número complexo. O símbolo i representa o número imaginário √−1, a é chamada a parte real de z,R(z), e b a parte imaginária de z, I(z). O conjunto dos números complexos é usualmente denotado por C. Note que existe uma identificação natural entre C e R2: C ←→ R2 a+ ib ! (a, b) ✲R ✻ I ✯ a b (a, b) ≡ z = a+ ib θ θ = arctan ( b a ) \ msdfm – p. 2/20 Operações com números complexos Considere z = a+ ib, z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 ∈ C e α ∈ R: (i) Modulo de z: |z| = √a2 + b2. (ii) Conjugado de z: z = a1 − ib. (iii) αz1 + z2 = (αa1 + a2) + i(αb1 + b2). (iv) z1z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1) (≡ ao produto vetorial em R2). (v) 1 z = z|z| = a |z| − i ( b |z| ) . msdfm – p. 3/20 Propriedades (P1.) |R(z)| ≤ |z| e |I(z)| ≤ |z|. (P2.) z1 + z2 = z1 + z2. (P3.) z1z2 = z1z2. (P4.) (1 z ) = 1 z . (P5.) z + z = 2R(z). (P6.) z − z = 2I(z). (P7.) zz = |z|2. (P8.) z(z1 + z2) = zz1 + zz2. msdfm – p. 4/20 P8. Forma Polar: ✲R ✻ I ✯ a b z = a+ ib θ a = |z| cos(θ) b = |z| sin(θ)\ |z| z = |z|( cos(θ) + i sin(θ)) ≡ |z|eiθ eiθ def. = cos(θ) + i sin(θ). As demonstrações são triviais! msdfm – p. 5/20 A integral de uma função assumindo valores complexos, f(x) = f1(x) + if2(x), é definida por:∫ I f(x)dx = ∫ I f1(x)dx+ i ∫ I f2(x)dx. Analogamente para somatórios. Em particular, para X uma variável aleatória E(f(X)) = E(f1(X)) + iE(f2(X)) Exercício 1. Mostre que i. ei(θ1+θ2) = eiθ1eiθ2). ii. ∣∣E(eitX)∣∣ ≤ E(|eitX |). iii. A função eitX − 1 é limitada em t. – p. 6/20 APENDICE Teorema da Convergência Dominada VERSÃO 1 Seja (fn : n ≥ 1) uma sequência de funções de R em R, tal que: 1. limn−→∞fn(X) existe para todo x ∈ R. 2. Existe uma função g de R em R, tal que ∫ +∞ −∞ |g(x)|dx <∞∧ |fn(x)| < |g(x)|, ∀x ∈ R ∧ n = 1, 2, 3, · · · Então limn−→∞ ∫ +∞ −∞ fn(x)dx = ∫ +∞ −∞ limn−→∞fn(x)dx. VERSÃO 1 Seja (Xn : n ≥ 1) uma sequência de variáveis aleatórias, tal que: 1. limn−→∞Xn(ω) existe para todo ω ∈ Ω. 2. Existe uma variável aleatória Y , tal que E(|Y |) <∞∧ |Xn(ω)| < |Y (ω)|, ∀omega ∈ Ω ∧ n = 1, 2, 3, · · · Então limn−→∞E(Xn) = E(limn−→∞Xn). – p. 7/20 Função característica Uma outra ferramenta importante no estudo de distribuições de probabilidade, na verdade um outra maneira de caracterizar-las, é o conceito conhecido como funca˜o caracterı´stica de X (ou de FX); uma função assumindo valores complexos definida nos reais por: ϕX : R 7−→ C t ϕX(t) com ϕX(t) = E ( cos(tX) ) + iE ( sin(tX) ) . Note que ϕX(t) existe para todo t pois como | cos(tX)| ≤ 1 e | sin(tX)| ≤ 1 os respectivos valores esperados existem. msdfm – p. 8/20 Propriedades: P1 ϕX(0) = 1. P2 ∣∣ϕX(t)∣∣ ≤ 1. P3 ϕX(t) = ϕX(−t) = ϕ−X(t). P4 ϕaX+b(t) = (cos(bt) + i sin(bt) ) ϕX(at) = exp(ibt)ϕX(at) P5 Se X e Y são independentes, então ϕX+Y = ϕXϕY . P6 ϕX é uniformemente contínua. msdfm – p. 9/20 P1 ϕX(0) = E ( cos(0X) ) + iE ( sin(0X) ) = cos(0) + i sin(0) = 1. P2 ∣∣ϕX(t)∣∣ = (E( cos(tX)))2 + (E( sin(tX)))2 ≤ E( cos2(tX))+ E( sin2(tX)) = E ( cos2(tX) + sin2(tX) ) = E(1) = 1. P3 ϕX(t) = E ( cos(tX) ) + iE ( sin(tX) ) = E ( cos(tX) )− iE( sin(tX)) = E ( cos(−tX))+ iE( sin(−tX)) = ϕX(−t) = ϕ−X(t). P4 ϕaX+b(t) = E ( cos(t(aX + b) ) + iE ( sin(t(aX + b) ) = E ( cos(taX) cos(tb)−sin(taX) sin(tb))+iE( cos(taX) sin(tb)+cos(tb) sin(taX)) = cos(tb) ( E ( cos(taX)+iE ( sin(taX) )) +i sin(tb) ( E ( cos(taX)+iE ( sin(taX) )) = (cos(bt) + i sin(bt) )( E ( cos(taX) + iE ( sin(taX) )) = (cos(bt) + i sin(bt) ) ϕX(at). msdfm – p. 10/20 P5 ϕX+Y (t) = E ( cos(t(X + Y ) ) + iE ( sin(t(X + Y )) ) = E ( cos(tX) cos(tY )− sin(tX) sin(tY ))+ iE( cos(tX) sin(tY ) + cos(tY ) sin(tX)) =( E ( cos(tX) cos(tY ) )− E( sin(tX)sen(tY )))+ i ( E ( cos(tX) sin(tY ) ) + E ( cos(tY ) sin(tX) )) ind. = ( E ( cos(tX) ) E ( cos(tY ) )− E( sin(tX))E( sin(tY )))+ i ( E ( cos(tX) ) E ( sin(tY ) ) + E ( cos(tY ) ) E ( sin(tX) )) = E ( cos(tX) )( E ( cos(tY ) ) +iE ( sin(tY ) )) +iE ( sin(tX) )( E ( cos(tY ) ) +iE ( sin(tY ) )) = ( E ( cos(tX) ) + iE ( sin(tX) ))( E ( cos(tY ) ) + iE ( sin(tY ) )) = ϕX(t)ϕY (t). msdfm – p. 11/20 P6 0 ≤ ∣∣ϕX(t)− ϕX(s)∣∣2 =∣∣(E( cos(tX))+ iE( sin(tX)))− (E( cos(sX))+ iE( sin(sX)))∣∣2 =∣∣(E( cos(tX))− cos(sX))+ iE( sin(tX)− sin(sX))∣∣2 =( E ( cos(tX) )− cos(sX))2 + (E( sin(tX)− sin(sX)))2 ≤ E (( cos(tX) )− cos(sX))2)+ E(( sin(tX)− sin(sX))2) = E ( cos2(tX) + cos2(sX)− 2 cos(tX) cos(sX) + sin2(tX) + sin2(sX)− 2 sin(tX) sin(sX) ) = 2E ( 1− ( cos(tX) cos(sX) + sin(tX) sin(sX))) = 2E ( 1− ( cos(tX) cos(−sX)− sin(tX) sin(−sX))) = Como ∣∣1− cos ((t− s)X)∣∣ ≤ 2, pelo Teorema da Convergência Dominada, 2E ( 1− cos ((t− s)X)) −→ 0, quando |t− s| → 0. Logo ϕX é uniformemente contínua. msdfm – p. 12/20 Função característica e momentos Proposic¸a˜o 1. Se E (|X|k) <∞ enta˜o dk dtk ϕX(t) existe para todo t e dk dtk ϕX(t) = i k ( E ( Xk cos(tX) ) + iE ( Xk sin(tX) )) . Em particular, dk dtk ϕX(0) ≡ d k dtk ϕX(t) ∣∣t=0 = ikE(Xk). msdfm – p. 13/20 Demonstrac¸a˜o: (k=1) ϕ(t+ h)− ϕ(t) h = ( E(cos((t− h)X) + iE(sin((t− h)X))− (E(cos(tX) + iE(sin(tX)) h = ( E(cos((t− h)X)− E(cos(tX))+ i(E(sin((t− h)X)− E(sin(tX)) h = E ( cos((t− h)X)− cos(tX) h ) + iE ( sin((t− h)X)− sin(tX) h ) . Temos que mostrar que lim h→0 (ϕX(t− h)− ϕX(t) h ) = lim h→0 E ( cos((t− h)X)− cos(tX) h ) + i lim h→0 E ( sin((t− h)X)− sin(tX) h ) . existe! msdfm – p. 14/20 Para tanto temos, pelo teorema do valor médio, ∣∣∣ cos((t− h)X)− cos(tX) h ∣∣∣ = | sin(ξ)(tX − (t− h)X)||h| ≤ |h||X||h| = |X| e ∣∣∣ sin((t− h)X)− sin(tX) h ∣∣∣ = | cos(ξ′)(tX − (t− h)X)||h| ≤ |h||X||h| = |X|. Por outro lado, lim h→0 cos((t− h)X)− cos(tX) h = d dt cos(tX) = −X sin(tX) e lim h→0 sin((t− h)X)− sin(tX) h = d dt sin(tX) = X cos(tX). msdfm – p. 15/20 Portanto, como por hipótese E(|X|) <∞, segue pelo Teorema da Convergência Dominada: lim h→0 (ϕX(t− h)− ϕX(t) h ) = lim h→0 E ( cos((t− h)X)− cos(tX) h ) + i lim h→0 E ( sin((t− h)X)− sin(tX) h ) = E ( lim h→0 cos((t− h)X)− cos(tX) h ) + iE ( lim h→0 sin((t− h)X)− sin(tX) h ) = E (−X sin(tX))+ iE(X cos(tX)) = i(E(X cos(tX))+ iE(X sin(tX))) = d dt ϕX(t). Logo, d dt ϕX(0) = i ( E ( X cos(0X) ) + iE ( X sin(0X) )) = iE(X). A demonstração para k > 1 segue de forma análoga por indução. c.q.d msdfm – p. 16/20 Expansão de Taylor – p. 17/20 Teoremas de Inversão – p. 18/20 Caso multivariado – p. 19/20 Função Característica da Normal Multivariada – p. 20/20 small Elementos b'asicos de n'umeros complexos small Operac c~oes com n'umeros complexos APENDICE Func c~ao caracter'{i }stica small Propriedades: small Func c~ao caracter'{i }stica e momentos Expansão de Taylor Teoremas de Inversão Caso multivariado small Função Característica da Normal Multivariada
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