Exercicios Tema1 Polinomio Taylor

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Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o - Polinoˆmios de Taylor
Prof. Dr. Rafael Alves Bonfim de Queiroz∗
Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF, Juiz de Fora - MG, Brasil
Resumo. Abaixo seguem exerc´ıcios para voceˆ aplicar os conceitos aprendidos em sala
de aula. Divirta-se! Procure-me na minha sala no meu hora´rio de atendimento para
esclarecer suas du´vidas ou traga na aula seus questionamentos para discutirmos ou
envie-me e-mail (responderei em no ma´ximo 24 horas, mas na˜o leio/respondo e-mails
no final de semana).
1. Encontre o polinoˆmio de Taylor linear que aproxima a func¸a˜o f(x)=ex+2x em torno
do ponto x=0.
2. Determine o polinoˆmio de Taylor quadra´tico para f(x)=0,5ex+x2 em torno do ponto
a=0.
3. Encontre o polinoˆmio de Taylor P7(x) de grau 7 para a func¸a˜o f(x)=sin(x) em torno
do ponto a=0.
4. Descubra o valor de f(7) sabendo que f(4)=100, f ′(4)=54, f ′′(4)=20, f ′′′(4)=5, e
que todas as outras derivadas de ordem alta sa˜o nulas.
5. Calcule o valor de
√
27 sem usar calculadora.
6. Determine o valor de 8
√
1,1.
7. Encontre o valor de e1,1 assumindo que e = 2,71.
8. Determine uma aproximac¸a˜o atrave´s de um polinoˆmio de Taylor de grau 4 para
log(x).
9. Obtenha um limitante superior do erro para e0,5 quando esta expressa˜o e´ aproximada
por um polinoˆmio de Taylor cu´bico para ex em torno do ponto 0.
10. Seja f(x) = ex e a= 0. Determine n para que o erro ao se aproximar f(x) por um
polinoˆmio de Taylor de grau n seja menor do que 10−4 para −0,5≤x≤0,5.
∗Correspondeˆncia. Email: rafael.bonfim@ice.ufjf.br (Rafael Bonfim)
Curso: DCC008 Ca´lculo Nume´rico
2
11. Calcule f ′(1) para f(x)=ex usando diferenc¸a progressiva e central para h=0,01.
12. Considerando a Tabela 1, determine os valores da derivada desta func¸a˜o em x=0, x=
0,6 e x=1. Empregue as derivadas progressiva, central e regressiva, respectivamente.
Tabela 1: Dados provenientes de um experimento de F´ısica.
x f(x)
0,0 10,3
0,2 5,8
0,4 15,1
0,6 7,3
0,8 20,5
1,0 2,3
3
Gabarito - Tema 1: Polinoˆmios de Taylor
1. P1(x)=1+3x.
2. P2(x)=1,25x
2+0,5x+0,5.
3. P7(x)=x− x33! + x
5
5! − x
7
7! .
4. f(7)=374,5.
5.
√
27≈5,2.
6. 8
√
1.1≈1,012.
7. e1.1≈2,995.
8. P4(x)=(x−1)− (x−1)
2
2 +
(x−1)3
3 − (x−1)
4
4 .
9. P3(x)=1+x+
x2
2 +
x3
6 ; limitante superior e´ aproximadamente 0,0043. O erro encon-
trado e´ aproximadamente 0,0029.
10. n=5.
11. diferenc¸a progressiva: 2,7319; diferenc¸a central: 2,7183.
12. f ′(0)=−22,5; f ′(0,6)=16,875; f ′(1,0)=−91.