P1_metodos_2S11_gabarito

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( )F620 ( )MS650 - Primeira Prova - 26/09/2011
RA: Nome:
(1) (i) Mostre que a se´rie de Fourier de ex no intervalo −pi < x < pi e´ dada por
S(x) =
2 sinhpi
pi
[
1
2
+
∞∑
n=1
(−1)n
n2 + 1
(cosnx− n sinnx)
]
.
(ii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o representada por essa se´rie para todo x ∈ R.
(iii) Use essa se´rie de Fourier para mostrar que
∞∑
n=1
1
n2 + 1
=
pi
2
cothpi − 1
2
.
(2) Os polinoˆmios de Hermite Hn(x) podem ser definidos pela fo´rmula de Rodrigues,
Hn(x) = (−1)nex2 d
n
dxn
e−x
2
,
(n = 0, 1, 2 . . .) e satisfazem a relac¸a˜o de ortogonalidade∫ +∞
−∞
e−x
2
Hn(x)Hm(x) dx = 2
nn!
√
piδmn.
Encontre o desenvolvimento da func¸a˜o
f(x) = x4
em uma se´rie de Fourier-Hermite.
(3) (i) Mostre que a transformada de Fourier de f(x) = e−ax
2
e´ dada por
F (k) =
1√
2a
e−k
2/4a.
(ii) Discuta o comportamento de f(x) e F (k) para diferentes valores de a e no limite em que
a→ 0.
(4) Use a transformada de Fourier para resolver a seguinte equac¸a˜o diferencial parcial:
∂u
∂t
= c2
∂2u
∂x2
+ β
∂u
∂x
, −∞ < x <∞, t > 0,
onde c > 0 e β > 0, e u(x, t) satisfazendo as condic¸o˜es
u(x, 0) = f(x), −∞ < x <∞,
u(x, t) e
∂u
∂t
(x, t) limitadas para |x| → ∞, t > 0.
i Valor das questo˜es: (1) 3,0 (2) 3,0 (3) 2,0 (4) 3,0.