P2_metodos_2S12_gabarito

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( )F620 ( )MS650 - Segunda Prova - 26/11/2012
RA: Nome:
(1) Resolva o seguinte problema:
ut = k uxx, 0 < x < pi, t > 0, k = cte > 0,
u(x, 0) = sin2 x,
ux(0, t) = 0,
ux(pi, t) = 0.
(2) Resolva, usando coordenadas polares, o seguinte problema:
∇2u = 0, a < r < b, 0 ≤ θ ≤ 2pi,
u(a, θ) = T0,
u(b, θ) = T1.
OBS: Em coordenadas polares ∇2u = urr + r−1ur + r−2uθθ.
(3) Encontre a soluc¸a˜o do problema
2xyux + (x
2 + y2)uy = 0,
com
u = exp
(
x
x− y
)
em x+ y = 1.
(4) Encontre a forma canoˆnica da seguinte equac¸a˜o diferencial parcial:
uxx + 2xuxy + x
2uyy = 0.
i Valor das questo˜es: (1) 3,5 (2) 3,5 (3) 2,0 (4) 1,0.
Formula´rio Eventualmente U´til
Γ(z) =
∫ ∞
0
e−ttz−1 dt, Γ(z + 1) = zΓ(z), Jν−1(x) + Jν+1(x) =
2ν
x
Jν(x), Jν−1(x)− Jν+1(x) = 2J ′ν(x),
d
dx
(x−νJν(x)) = −x−νJν+1(x), d
dx
(xνJν(x)) = x
νJν−1(x),
∫ a
0
Jν
(
ανnt
a
)
Jν
(
ανmt
a
)
tdt = δmn
a2
2
J2ν+1(ανn).