Paridade Inversa Crescimento

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EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
EP 06 
Pré-Cálculo 
________________________________________________________________________ 
Caro aluno 
Um tema que será estudado nesse EP será a paridade das funções, isto é, você vai ver as 
definições de função par e de função ímpar e aprenderá a identificar graficamente as funções 
pares e as funções ímpares. 
Você ainda verá a definição de função inversa e como identificar se uma função admite inversa. 
Aprenderá a encontrar a função inversa e o gráfico da função inversa. 
Outro tema abordado são as definições e interpretações gráficas de funções crescentes e 
decrescentes em intervalos do seu domínio. 
Ainda nesse EP você vai rever uma questão importante: simetria no plano, ela permite a 
visualização ou interpretação gráfica no estudo das funções pares e ímpares e das funções 
inversas, que serão estudadas nesse EP. 
Você poderá ler sobre as funções pares e ímpares no Livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, 
Aula 24 – Domínios e operações com funções, na pág. 113. As funções inversas você encontrará 
no Livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, Aula 27 – Funções invertíveis,-na pág 149. E poderá 
estudar as funções crescentes e decrescentes no Livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, Aula 
27 – Funções invertíveis, na pág. 154. 
Vamos lá para mais uma etapa importante dos nossos estudos! Leia as definições com bastante 
atenção. As observações e os exemplos são muito importantes para a compreensão desses temas. 
É muito importante que façam os exercícios e confiram suas soluções com as soluções 
apresentadas no Gabarito. 
 
Simetria no plano cartesiano, uma questão importante! 
Vamos falar de simetria de um ponto em relação ao eixo 𝑥, ao eixo 𝑦, a origem. 
 
 Simetria de um ponto em relação ao 
e 𝑶𝒙. 
O ponto 𝑄, simétrico do ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) em 
relação ao eixo 𝑂𝑥 é o ponto de 
coordenadas (𝑎, −𝑏). 
 Simetria de um ponto em relação ao 
eixo 𝑶𝒚 
O ponto 𝑄, simétrico do ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) em 
relação ao eixo 𝑂𝑦 é o ponto de 
coordenadas (−𝑎, 𝑏). 
 
 
 
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 Simetria de um ponto em relação à origem 
 
O ponto 
Q
, simétrico do ponto 
),( baP
 em relação à 
origem, é o ponto de coordenadas 
),( ba 
. 
 
OBSERVAÇÃO: o simétrico da origem, o ponto 𝑂(0,0) 
com relação ao eixo𝑥, com relação ao eixo 𝑦 e com relação à origem é ele mesmo. 
 
OBSERVAÇÃO: a simetria em relação à origem pode ser obtida por uma simetria em relação ao 
eixo 𝑦, seguida de uma simetria em relação ao eixo 𝑥, ou seja, 
 𝑃(𝑎, 𝑏) 
𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎
𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 
𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜𝑦
→ 𝑆(−𝑎, 𝑏) 
𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎
𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 
𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑄(−𝑎,−𝑏) 
 𝑃(𝑎, 𝑏) 
 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 
𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 à 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚
 
→ 𝑄(−𝑎, −𝑏) 
Simetria com relação ao eixo y Simetria com relação ao eixo x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria com relação à origem 
 
 
 
 
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Subconjunto simétrico da reta 
Um subconjunto 
A
da reta numérica é dito simétrico em relação à origem se, para cada 
Ax
, 
o seu simétrico
x
também está em 
A
. 
Exemplos de subconjuntos simétricos: 
)3,1()1,3(,}2,2-{-IR,]5,5[,)3,3( 
 
OBSERVAÇÃO: O simétrico de 0 na reta numérica é o próprio 0, pois −0 = 0. Assim se 𝑥 = 0 , 
está num subconjunto 
A
da reta numérica, o seu simétrico 𝑥 = − 0 sempre está nesse 
subconjunto 𝐴 . 
 Função Par 
Seja 
A
um subconjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
Uma função 
IR: Af
 é uma função par se 
)()( xfxf 
, para todo 
x
em 
A
 
)(xfx 
 
Portanto se o par ordenado
),( ba
está no 
gráfico de uma função par, então o par 
ordenado 
),( ba
também está. 
A leitura gráfica de uma função par é que seu 
gráfico é simétrico em relação ao eixo 𝒚. 
 
 
Portanto, se fizermos o gráfico de 
f
 para 𝑥 ≥ 0 , 𝑥 ∈ 𝐴 , para obter o gráfico inteiro, basta 
refletir o que temos em relação eixo 𝑦 . 
Exemplo: 
24 4)( xxxf 
 
Observe que o domínio é ℝ , que é um conjunto simétrico 
em relação à origem da reta numérica. 
Lembrando que 
44 )()()()()( xxxxxx 
 e mais 
geralmente, que 
nn xx  )(
, se 
n
 é um número par, 
temos que; 
)(4)(4)()( 2424 xfxxxxxf 
. 
Logo, 
24 4)( xxxf 
 é uma função par. 
ATENÇÃO: você vai aprender em Cálculo I a construir o gráfico da função, desenhado aqui. 
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 Função Ímpar 
 
Seja 
A
um subconjunto simétrico em relação à origem da reta numérica . 
Uma função 
IR: Af
 é uma função ímpar se 
)()( xfxf 
, para todo 
x
em 
A
. 
 
)(xfx 
 
Portanto se para 𝑎 ≠ 0 , o par ordenado
),( ba
está no gráfico de uma função ímpar, então o par 
ordenado 
),( ba 
também está. 
A leitura gráfica de uma função ímpar é que seu gráfico 
é simétrico em relação à origem 
 
Para esboçar o gráfico de uma função ímpar 
 𝑓 , basta esboçar o seu gráfico para os valores 
𝑥 ≥ 0 , 𝑥 ∈ 𝐴 , pois poderemos obter o restante 
do gráfico fazendo uma sequência de duas 
reflexões: reflete-se essa parte do gráfico em torno 
do eixo 𝑦, e em seguida faz-se uma reflexão em 
torno do eixo 𝑥. Obtemos assim a parte do gráfico 
de 𝑓 para os valores 𝑥 ≤ 0 , 𝑥 ∈ 𝐴 . 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: se 𝑥 = 0 pertencer ao domínio de uma função ímpar então 
𝑓(0) = 0. De fato, sendo 𝑥 = 0 o seu próprio simétrico temos que −0 = 0 e consequentemente 
𝑓(−0) = 𝑓(0). Como 𝑓 é uma função ímpar, por hipótese, então, 𝑓(−0) = −𝑓(0). Portanto, 
𝑓(0) = −𝑓(0). Como o único número que é o seu próprio simétrico é o zero, então 𝑓(0) = 0 . 
CONSEQUÊNCIA: se 𝑥 = 0 pertencer ao domínio de uma função e 𝑓(0) ≠ 0, então 𝑓 não é uma 
função ímpar 
Exemplo: 
xxxf 3)( 3 
 
Observe que o domínio é ℝ , que é um conjunto 
simétrico em relação à origem da reta numérica . 
Lembrando que 
33 )()()()( xxxxx 
 e mais 
geralmente, que 
nn xx  )(
, se 
n
 é um número ímpar, 
temos que: 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 − 3(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥 = −(𝑥3 − 3𝑥) = −𝑓(𝑥) 
Logo, 
xxxf 3)( 3 
 é uma função ímpar. 
Note que 𝑓(0) = 03 − 3.0 = 0 
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ATENÇÃO: você vai aprender em Cálculo I a construir o gráfico da função, desenhado aqui. 
 
Mais exemplos 
No gráfico da função ao lado, observe que 
todos os pontos do gráfico diferentes do 
ponto (0,2) tem um ponto simétrico em 
relação á origem (0,0) no gráfico. Isso leva a 
pensar que a função é ímpar. Mas a função 𝑓 
não é ímpar porque o simétrico do ponto 
(0, 2) do gráfico com relação a origem, é o 
ponto (0, −2) que não é ponto do gráfico. Se 
esse ponto pertencesse ao gráfico, 𝑓 deixaria 
de ser função, pois teria duas imagens 
distintas para 𝑥 = 0 , a saber o 2 e o −2 
 
Está desenhado ao lado o gráfico da função 
𝑔(𝑥) = {
𝑥
4
− 2 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥
4
 + 2 𝑠𝑒 𝑥 > 0
0 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
 
A função 𝑔 é uma funçãoímpar. Para justificar, vamos 
calcular o valor de 𝑔 em alguns valores simétricos em relação à origem da reta numérica. 
1 > 0, 𝑔(1) =
1
4
+ 2 =
9
4
 e −1 < 0, 𝑔(−1) =
−1
4
− 2 = −
9
4
 
Logo, 𝑔(−1) = −𝑔(1). 
4 > 0, 𝑔(4) =
4
4
+ 2 = 3 𝑒 − 4 < 0, 𝑔(−4) =
−4 
4
− 2 = −3 
Logo, 𝑔(−4) = −𝑔(4). 
−8 < 0, 𝑔(−8) =
−8
4
− 2 = −4 𝑒 − (−8) = 8 > 0, 𝑔(−(−8)) = 𝑔(8) =
8
4
+ 2 = 4 = 
 = −(−4) = −𝑔(−8). Logo, 𝑔(−(−8)) = −𝑔(−8) 
Sendo 0 = −0 e 𝑔(0) = 0 temos: 
𝑔(−0) = 𝑔(0) = 0 = −0 = −𝑔(0) 
Mais geralmente, podemos observar do gráfico, que os pontos do gráfico são simétricos em 
relação à origem (0,0), ou podemos justificar fazendo as contas a seguir. 
 
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Caso 1: para 𝑥 > 0 e, consequentemente, −𝑥 < 0 . 
𝑔(𝑥) =
𝑥
4
+ 2 𝑒 𝑔(−𝑥) =
−𝑥
4
− 2 = −(
𝑥
4
+ 2 ) = −𝑔(𝑥). 
 
Caso 2: para 𝑥 < 0 e, consequentemente, −𝑥 > 0 . 
𝑔(𝑥) =
𝑥
4
− 2 𝑒 𝑔(−𝑥) =
−𝑥
4
+ 2 = −(
𝑥
4
− 2 ) = −𝑔(𝑥). 
Caso 3: 𝑥 = 0 
𝑔(−0) = 𝑔(0) = 0 = −0 = −𝑔(0) 
Portanto 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥) para todo 𝑥 real. 
A maioria das funções não são pares nem ímpares. 
 
Um exemplo: 
23 3)( xxxf 
 
Observe que o domínio é ℝ , que é um 
conjunto simétrico em relação à origem da 
reta numérica . 
Temos que: 
2323 3)(3)()( xxxxxf 
 
Como 
)(33)( 2323 xfxxxxxf 
 
e 
)(33)( 2323 xfxxxxxf 
, 
então a função 
f
 não é par e nem ímpar. 
ATENÇÃO: você vai aprender em Cálculo I a construir o gráfico da função, desenhado aqui. 
 
Mas, veja que interessante, 
"Toda função
f
, definida num domínio simétrico
A
, pode ser escrita, de maneira única, como a 
soma de uma função par com uma função ímpar". 
Veja como podemos conseguir isso. 
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥)
2
+
𝑓(𝑥)
2
=
𝑓(𝑥)
2
+
𝑓(−𝑥)
2
−
𝑓(−𝑥)
2
+
𝑓(𝑥)
2
=
𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
2⏟ 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑝𝑎𝑟
+
𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
2⏟ 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
Usando a definição de função par e de função ímpar, mostramos que: 
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𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
2
 é uma função par e 
𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
2
 é uma função ímpar 
EXEMPLO: 
Vimos que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 não é par nem ímpar. Usando o resultado anterior vamos 
escrevê-la como soma de uma função para com uma função ímpar: 
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
2⏟ 
𝑝𝑎𝑟
+
𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
2⏟ 
í𝑚𝑝𝑎𝑟
=
(𝑥3−3𝑥2)+((−𝑥)3−3(−𝑥)2)
2
+
(𝑥3−3𝑥2)−((−𝑥)3−3(−𝑥)2)
2
= 
(𝑥3−3𝑥2)+(−𝑥3−3𝑥2)
2
+
(𝑥3−3𝑥2)−(−𝑥3−3𝑥2)
2
=
−3𝑥2−3𝑥2
2
+
𝑥3+𝑥3
2
=
−6𝑥2
2
+
2𝑥3
2
= −3𝑥2⏟ 
𝑝𝑎𝑟
+ 𝑥3⏟
í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
Mais uma importante Simetria no plano cartesiano. 
Vamos falar de simetria de um ponto em relação à reta 𝒚 = 𝒙. 
 
 Simetria de um ponto em relação à reta 𝒚 = 𝒙. 
 
O ponto 
Q
, simétrico do ponto 
),( baP
 em relação à reta 
𝑦 = 𝑥, é o ponto de coordenadas (𝑏, 𝑎). 
 
Exemplos: 
 
(2, 3) 𝑒 (3, 2) (os dois pontos estão no 1º. Quadrante) 
 
(2, −3) 𝑒 (−3, 2) (um no 4º. Quadrante e outro no 2º. 
Quadrante) 
 
(−2,−4) 𝑒 (−4,−2) (os dois pontos estão no 3º. Quadrante) 
 
 
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Funções Inversas 
 
Para falar de Função Inversa precisamos do conceito de função um a um. 
Definição: Uma função 
IR: Df
é dita injetiva, ou um a um, se nunca assume o mesmo 
valor duas vezes, isto é: 
 se 
Dx 1
, 
Dx 2
 e 
21 xx 
 então 
)()( 21 xfxf 
 
ou, também podemos dizer da seguinte forma: 
 Uma função 
IR: Df
é dita injetiva, ou um a um, 
 se Dx 1 , Dx 2 e )()( 21 xfxf  então 21 xx  . 
Observação: Gostaríamos de chamar a atenção que os termos: “um-a-um”, “injetora”, “injetiva”, 
“biunívoca” têm todos o mesmo significado. 
Se conhecemos o gráfico da função, então para verificar se a função é um a um podemos usar o 
Teste da Reta Horizontal, que diz: 
 
Teste da Reta Horizontal: Uma função é um a um se e somente se toda reta horizontal 
intersecta seu gráfico no máximo em um ponto. 
 
Exemplo 1: A função 
1)( 2  xxf
, definida para todos os 
reais, é um-a-um? 
 Não! Esta função não é injetiva. Basta ver, por 
exemplo, que 
)2(1231)2()2( 22 ff 
. 
Portanto, 
2
 e 
2
 têm a mesma imagem. 
Também podemos chegar a essa mesma conclusão vendo 
que existem retas horizontais que intersectam o gráfico de 
1)( 2  xxf
 mais de uma vez. Portanto, pelo Teste da Reta Horizontal, 
f
 não é uma função 
um-a-um. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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Exemplo 2: A função 
3)( xxg 
, definida para todos os reais, é um-a-um? 
 Sim! Esta função é injetiva. 
Sejam 
1x
 e 
2x
números reais, tais que e 
21 xx 
 
Suponhamos que 
3
2
3
1 )()( xx  . 
Sabemos que se dois números reais são iguais então eles 
têm a mesma raiz cúbica. 
Logo, 
21
3 3
2
3 3
1 )()( xxxx  . 
Também, do gráfico da função 
3)( xxg 
, vemos que toda 
reta horizontal intersecta esse gráfico em apenas um ponto. 
Portanto, pelo Teste da Reta Horizontal, 
g
 é uma função um-a-um. 
As funções um-a-um são importantes, pois são exatamente essas funções que possuem inversa. 
Definição: Seja 
f
uma função um a um com domínio 
A
e imagem 
B
. Esta função é inversível. 
Sua função inversa 
1f
tem domínio 
B
e imagem 
A
, e é definida por: 
 
bafabf  )()(1
, para todo 
Bb
. 
Essa definição diz que: 
 
)(Im)()(Im)(
)()(
""""""
::
11
1
1
1
ffDomeffDom
abfbaf
aemvoltadebtrazfentãobemalevafse
ABfeBAf







 
 
Do quadro acima temos que, 
abfbaf   )()( 1
. 
Assim, 
o ponto 
),( ba
 está no gráfico da função 𝑓 ⟺ o ponto 
),( ab
 está no gráfico da função 
1f
. 
Lembremos que os pontos 
),( ba
 e 
),( ab
 são simétricos com relação à reta 
xy
. Dado um 
deles, faz-se a sua reflexão com relação à reta 
xy
, para obter o outro. 
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Portanto, 
O gráfico de 
1f
 é obtido refletindo-se o gráfico de 
f
 em torno da reta 
xy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Na definição de função inversa supomos que o conjunto 𝐵 = 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓. 
Mas, em alguns livros isso não e´ suposto, nesse caso fica subtendido que 
𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓, isso significa que 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓 ⊂ 𝐵 (o conjunto imagem pode ter 
menos elementos que o conjunto contradomínio ou ambos podem ter os mesmos elementos). 
Quando os dois têm os mesmos elementos, isto é, quando 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓, 
diz-se que a função 𝑓 é sobrejetora (ou sobrejetiva). Por esse motivo, nos livros que é suposto 
apenas que 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓, para que a função admitainversa é preciso admitir que ela 
seja sobrejetora. 
 
Uma outra definição para FUNÇÃO INVERTÍVEL, equivalente a que foi apresentada aqui neste EP, 
é a definição adotada no livro de Pré-Cálculo, Vol.2, Módulo 4, Aula 27, página 149. É a seguinte: 
“Definição 27.1 
Uma função 
f
 é chamada invertível, quando existe uma função 
g
, tal que 
xxfg )()( 
 e 
yygf )()( 
 
para todos 𝑥 e 𝑦 onde as composições estão definidas. A função 
g
 quando existe, é chamada 
inversa de 
f
 e é designada por 
1f
”. 
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É bastante interessante termos conhecimento dessas duas definições, pois poderemos, nos nossos 
exercícios, fazer uso da definição que for mais conveniente. 
Segundo a definição que apresentamos aqui neste EP, temos que: 
para 
)( fDomx
 e 
)( 1 fDomy
: 
yxfxyf  )()(1
 
Logo, 
xyfxff   )())(( 11
, para todo 
x

)( fDom
 
 
yxfyff  )())(( 1
, para todo 
y

)( 1fDom
 
Ou seja, 
 
 
 
A primeira lei diz que se começarmos em 
x
, aplicando 
f
, e em seguida 
1f
, obteremos de volta 
x
. Assim, 
1f
 desfaz o que 
f
 faz. 
E 
f
 desfaz o que 
1f
 faz. 
 
 
Exemplo 3: Suponha que 
BAf :
seja a função definida 
segundo o diagrama: 
a) 
f
 é um-a-um? 
b) Encontre 
)5(1f
,
)7(1f
,
)10(1 f
. 
Solução: 
O diagrama mostra que valores distintos do domínio têm imagens 
distintas, logo 
f
 é um-a-um e, portanto, é inversível. 
Do diagrama, concluímos que: 
1)5(1 f
,
3)7(1 f
, 
8)10(1 f
. Uma ilustração: 
 
 
 
Preste muitíssima atenção: 
 
1
 que aparece em
1f
NÃO é um expoente, é uma notação. 
 
)(
1
)(1
xf
significanãoxf 
! 
  1)(
)(
1 
 xf
xf
 é o número real 
)( xf
 elevado a potência 
.1
 
xxff  ))((1
, para todo 
x

)( fDom
 
yyff  ))(( 1
, para todo 
y

)( 1fDom
 
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Se a noção de função inversa ficou bem clara, vemos que somos capazes de responder as 
seguintes questões: 
Exemplo 4: Sabendo que 
352)( 3  xxxf
, encontre 
y
, tal que 
1)(1  yf
. 
Solução: 
Mesmo sem conhecer a expressão da função inversa 
1f
, podemos responder a questão acima, 
pois 
 
yfyf  )1(1)(1
 
Assim, 
1031512)1( 3  fy
 
Outra questão que podemos responder: 
Exemplo 5: Sabendo que 
352)( 3  xxxf
, encontre o valor de 
)3(1f
. 
Solução: 
 
Sabemos que, 
 
3)()3(1  xfxf
 
Basta resolver a equação 
352)(3 3  xxxf
. 
Mas, 
052,00)52(0523352 2233  xpoisxxxxxxx
. 
Portanto, já que 
3)0( f
então 
0)3(1 f
. 
Como achar a Função Inversa de uma função 
f
um a um? 
1- Escreva 
)( xfy
. 
2- Resolva essa equação para 
x
em termos de 
y
(se possível). 
3- Para expressar 
1f
como uma função de 
x
, troque 
x
 por 
y
. 
 A equação encontrada é 
)(1 xfy 
. 
 
Exemplo 6: Considerando 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ, a função 
2)( xxf 
tem inversa? 
A função 
2)( xxf 
não tem inversa, pois não é um a 
um. O gráfico ao lado mostra que essa função não 
satisfaz o Teste da Reta Horizontal. Vemos, por 
exemplo, que 
)2(4)2( ff 
. 
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Mas, as funções 
),0[),0[:1 f
 
 
2xx 
 
 e 
),0[]0,(:2 f , 
 
2xx 
 
cujos gráficos são:
 
 
 
 
 
 
 
 
são funções um a um e portanto, admitem inversas, 
),0[),0[:11 
f
 
]0,(),0[:12 
f
 
Vamos encontrar as expressões dessas inversas. 
Escrevemos 
2xy
e resolvemos essa equação para 
x
: 
xyxyxy  22
. Então, 
0,0,  yxseyx
 ou 
0,0,  yxseyxyx
 
Trocando 
x
por 
y
temos: 
0,0,0,0,  xysexyouxysexy
. 
Temos que 
),0[)()(Im 1
1
1 
 fDomf
então 
0)(11 
 xfy
e assim a função inversa de 
1f
 será 
xxf  )(11
, que é um número sempre positivo ou nulo. 
Temos que 
]0,()()(Im 2
1
2 
 fDomf
então 
0)(12 
 xfy
e assim a função inversa de 
2f
 
será 
xxf  )(12
, que é um número sempre negativo ou nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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Note que os gráficos de 
1f
 e 
1
1
f
 são simétricos com relação à reta 
xy 
. O mesmo acontece 
com os gráficos das funções 
2f
 e 
1
2
f
. 
 
Funções monótonas 
Função crescente 
Definição: 
Dizemos que uma função 
IR: Df
 é 
crescente em um subconjunto 
DA 
 se 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
 
 
 
 
 
 
Função decrescente 
Definição: 
Dizemos que uma função 
IR: Df
 é decrescente em 
um subconjunto 
DA 
 se 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
 
 
Função constante 
Definição: 
Dizemos que uma função 
IR: Df
 é constante em um subconjunto 
DA 
 se 
∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 
 
Função monótona 
EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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Dizemos que uma função é monótona em um subconjunto 
DA 
 se não se altera de crescente 
para decrescente em 
DA 
 nem de decrescente para crescente em 
DA 
. 
 
Funções monótonas não-decrescentes 
Definição: 
Dizemos que uma função 
IR: Df
 é monótona não-decrescente em um subconjunto 
DA 
 se 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 
Função 
cresce
nte 
Observe que “monótona não decrescente” significa “constante ou crescente” 
EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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Funções monótonas não-crescentes 
Definição: 
Dizemos que uma função 
IR: Df
 é monótona não-crescente em um subconjunto 
DA 
 
se 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que “não crescente” significa “constante ou decrescente” 
 
ATENÇÃO 
 Quando dizemos que uma função é monótona em um conjunto 
A
 queremos dizer que essa 
função é crescente, decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescente neste 
conjunto. 
 Observe que toda função crescente em um conjunto 
A
 também é monótona não-
decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em um conjunto S também é 
monótona não-crescente neste conjunto. 
 Uma função é estritamente monótona em um conjunto 
A
 se ou ela é crescente ou ela é 
decrescente neste conjunto. 
 Existem funções que não 
são monótonas. Por exemplo, a 
função descrita graficamente 
na figura ao lado não é 
monótona no conjunto 
]5,8,5[A
. Contudo, ela é 
monótona em: 
]0,5[
, onde é decrescente 
]4,0[
, onde é crescente 
]6,4[
 onde é decrescente 
]5,8,6[
 onde é crescente 
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Exemplo: Exemplo 
Mostre que a função 
2)( xxf 
 é crescente no intervalo 
),0[ A
. 
De fato: 
Sejam 
),0[, 21  Axx
, com 
21 xx 
.Assim, 
210 xx 
, donde 
02 x
 e 
012  xx
. Como 
02 x
 e 
01 x
 então 
012  xx
. 
Sendo o produto de dois números reais positivos, também um número real positivo, segue que: 
        )()(00)()( 12
2
1
2
2
2
1
2
21212 xfxfxxxxxxxx 
 
Mostramos então que, 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
. 
Portanto, concluímos que a função 
2)( xxf 
 é crescente no 
intervalo 
),0[ A
. 
 
 
Mas, MUITA ATENÇÃO, pode ser muito difícil mostrar que 
uma função é monótona, por isso, nesta nossa disciplina, 
estamos, sobretudo, interessados em saber se uma função 
é monótona observando o gráfico dessa função. 
________________________________________________________________________________ 
Vamos apresentar dois resultados importantes que relacionam os conceitos de função crescente 
ou função decrescente, função injetora, função invertível. 
Vamos lembrar que se o contradomínio de uma função 𝒇 coincide com a imagem dessa função 𝒇, 
isto é, se 
𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ , então dizemos que a função 𝑓 dada é sobrejetora. 
Resultados: 
Seja 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ 
 (I) A função 𝑓 é crescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é injetora no intervalo 
 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é invertível no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ . 
 (II) A função 𝑓 é decrescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é injetora no 
intervalo 𝐼 ⊂ ℝ ⟹ a função 𝑓 é invertível no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ . 
Observamos que é bastante útil os resultados acima. Se tiver curiosidade, veja a prova desses 
resultados, dadas a seguir. 
Para provar vamos lembrar as seguintes definições: 
 A função 𝑓 é crescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ se satisfaz: 
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 
 A função 𝑓 é decrescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ se satisfaz: 
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 
EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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 A função 𝑓 é injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ se satisfaz: 
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 
Também precisamos lembrar a seguinte propriedade que vamos simbolizar por propriedade (*): 
Dada uma função 𝑓 sobrejetora, vale a propriedade: 
a função 𝑓 é invertível no intervalo I ⊂ ℝ ⟺ a função 𝑓 é injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ. 
Agora vamos provar as Propriedades (I) e (II) acima, começando por (I). 
Estamos supondo que 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ e que a função 𝑓 é crescente no intervalo 
𝐼 ⊂ ℝ. 
Para provar que a função 𝑓 será injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, precisaremos verificar que é 
verdadeiro que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ ; 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
Mas, 𝑥1 ≠ 𝑥2 significa que apenas um dos dois casos é verdadeiro: (𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 ou (𝑖𝑖) 𝑥1 >
𝑥2. 
Caso (𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 
𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
Logo, nesse caso está provado que a função é injetora em 𝑰 ⊂ ℝ. 
Caso (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2 ⟹ 𝑥2 < 𝑥1 
𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) ⟹ 𝑓(𝑥2) ≠ 𝑓(𝑥1). 
Logo está provado que em qualquer um dos dois casos, a função 𝒇 é injetora em 𝑰 ⊂ ℝ. 
Agora, 𝑓 injetora em 𝐼 ⊂ ℝ 
 (∗) 
⇒ função 𝑓 invertível em I ⊂ ℝ. (cqd) 
A prova da propriedade (II) é semelhante, substitua as interrogações, como exercício: 
Suponha que 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ 𝐼𝑚(𝑓) ⊂ ℝ e que a função 𝑓 é decrescente no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ. 
Para provar que a função 𝑓 será injetora no intervalo 𝐼 ⊂ ℝ , precisaremos verificar que é 
verdadeiro que 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ , 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ ? ? ? ? ? ? ? 
Mas, 𝑥1 ≠ 𝑥2 significa que apenas um dos dois casos é verdadeiro: 
(𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 ou (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2. 
Caso (𝑖) 𝑥1 < 𝑥2 
𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ ? ? ? ? ? ? ? ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
Logo nesse caso está provado que a função é injetora em 𝐼 ⊂ ℝ. 
Caso (𝑖𝑖) 𝑥1 > 𝑥2 ⟹ 𝑥2 < 𝑥1 
𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ ? ? ? ? ? ? ⟹ 𝑓(𝑥2) ≠ 𝑓(𝑥1). 
Logo está provado que em qualquer um dos dois casos, a função 𝑓 é injetora em 𝐼 ⊂ ℝ. 
Agora, 𝑓 injetora em 𝐼 ⊂ ℝ 
 (∗) 
⇒ função 𝑓 invertível em I ⊂ ℝ. (cqd) 
 
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E agora, aos exercícios: 
________________________________________________________________________ 
 
Exercício 1: 
Dê o ponto simétrico dos pontos: I) 
)4,1(P
, II) 
)3,2(Q
em relação à: 
a) eixo 𝑥 b) eixo 𝑦 c) origem d) reta 𝑥. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 2: 
a) Se o ponto 
)3,
7
1
( 
estiver no gráfico de uma função par,
f
, que outro ponto também 
deverá estar no gráfico? 
b) E se este ponto estiver no gráfico de uma função ímpar,
g
, que outro ponto também deverá 
estar no gráfico? 
________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Uma função 
f
tem domínio 
],[ 66 xx
e a parte do seu gráfico 
para 
],0[ 6xx
está mostrada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Complete o gráfico de 
f
supondo que ela é uma função par e 𝑓(0) = 𝑦1. 
b) Complete o gráfico de 
f
supondo que ela é uma função ímpar e 0 ∉ 𝑑𝑜𝑚 (𝑓). 
________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Nas funções a seguir, dê a sua paridade, ou seja, determine as que são pares, as que 
são ímpares e, nos casos em que a função não for nem par nem ímpar, escreva-a como uma soma 
de uma função par com uma função ímpar. 
a) 
67
4
1
35)( 347  xxxxxf
 b) 
42)( xxxg 
 
c) 
2
3
1
2
)(
x
x
xh


 d) 
1
1
)( 26
2


 xx
x
x
xj
 
e) 
43 15)( xxxk  f) 4)(  xxl 
g) 5 353)( xxxm  h) 5 454)( xxxn  
i) 4 343)( xxxo  . 
________________________________________________________________________________ 
EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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Exercício 5: As figuras a seguir representam gráficos de funções. Identifique entre elas aquelas que 
representam gráficos de funções invertíveis e, nestes casos, esboce sobre a própria figura o gráfico 
da função inversa 
 Gráfico de 
f
 Gráfico de 
g
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de 
h
 Gráfico de 
j
 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: As funções a seguir são invertíveis. Em cada caso, determine a função inversa, dando o 
domínio, a imagem e a lei de formação. Em cada caso, esboce os gráficos da função, da sua 
inversa, da reta
xy
 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
a) 
1
1
}1{}1{:



x
x
x
g

lRlR
 b) 
34
),3[),4[:


xx
r

 c) 
1
:
3 

xx
h

lRR 
________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 7: Seja 
1
),1[]0,(:
2 

xx
f

 
a) Determine a inversa 
1f
 e verifique que 
)()()()( 11 xffxff   
. 
b) Esboce os gráficos de 
f
, 
1f
, 
xy
 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
________________________________________________________________________________EP 06 – 2016-2 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções Pré-Cálculo 
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Exercício 8: Seja 
xxxf 3)( 3 
, para 
22  x
. 
a) Explique por que a função 
f
, cujo gráfico está na 
figura ao lado, não tem inversa em seu domínio. 
b) Subdivida o domínio em três intervalos adjacentes 
sobre cada um dos quais a função 
f
 tem uma inversa. 
 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: Dê o domínio das funções a seguir e esboce os seus respectivos gráficos. Essas 
funções definem parte de uma curva já estudada. Elas são invertíveis? 
a) 
216)( xxf 
 b) 
14)(  xxg
 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: Seja 
4
)(
2
3


x
x
xf
uma função invertível. 
a) Encontre 
x
se 
3)(1  xf
 b) Ache o valor de 
)1(1f
. 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 11: 
A figura ao lado apresenta o gráfico do 
polinômio 
51243)( 234  xxxxp
, 
restrito a um intervalo 
IRI
. 
a) Diga qual é o domínio dessa função. 
Responda na forma de intervalo. 
b) Esta função é monótona? Justifique sua 
resposta! 
c) Marque no eixo 
xO
 os intervalos onde 
essa função é decrescente. Diga quais são 
esses intervalos. 
d) A função é monótona no intervalo 
]2,1[
? Justifique sua resposta. 
e) Marque no eixo 
xO
 os intervalos onde 
essa função é crescente. Diga quais são 
esses intervalos. 
f) Diga qual é a imagem dessa função. 
Responda na forma de intervalo. 
________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 12: 
Desenhe, caso exista, o gráfico de uma função 
g
 que satisfaz (simultaneamente) as seguintes 
condições: 
a) O domínio de 
g
é 
]3,1[]1,3[ D
 
b) A função 
g
 é decrescente em 
]1,3[ 
. 
c) A função 
g
 é decrescente em 
]3,1[
. 
d) A função 
g
 é não é decrescente em 
]3,1[]1,3[ D
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 13: 
a) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 
x
xh
1
)( 
é decrescente no 
intervalo 
),0( 
. 
b) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 
x
xh
1
)( 
é decrescente no 
intervalo 
)0,( 
. 
c) A função 
x
xh
1
)( 
é decrescente no seu domínio, que é 
),0()0,( 
? Justifique sua 
resposta! 
________________________________________________________________________ 
Exercício 14: 
Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 
2)( xxf 
 é decrescente no 
intervalo 
]0,(A
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 15: 
Mostre que se 
)(xfy
é uma função crescente em um intervalo 
],[ ba
então 
)()( xfxgy 
é 
uma função decrescente neste mesmo intervalo. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 16: 
Esboce o gráfico da função: 










2,23
22,3
2,23
)( 2
xsex
xsex
xsex
xfy 
a) Determine os intervalos onde 
f
 é crescente, onde 
f
 é decrescente. 
b) Determine os intervalos onde 
2)( xf
. Mostre no gráfico, a parte do gráfico que satisfaz 
essa condição. 
c) A função 
f
 é invertível? Justifique sua resposta! 
d) Se a sua resposta para o item c) foi não, escolha dois possíveis intervalos onde é possível 
inverter a função 
f
. Justifique sua escolha. 
________________________________________________________________________