Lista de Exercicios de Integrais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA - CCN
Bacharelado em Física
Disciplina: Cálculo II
Prof. Msc. Mykael Cardoso
Data: 30/10/2013 Período: 2013.2
1a Lista de Exercícios
Calcule:
1.
∫1
0
(x+ 3)dx
2.
∫1
−1
(2x+ 1)dx
3.
∫4
0
1
2
dx
4.
∫1
−2
(x2 − 1)dx
5.
∫3
1
dx
6.
∫2
−1
4dx
7.
∫3
1
1
x3
dx
8.
∫1
−1
5dx
9.
∫2
0
(x3 + 3x− 3)dx
10.
∫1
0
(
5x3 −
1
2
)
dx
11.
∫1
−1
(2x+ 3)dx
12.
∫0
1
(2x+ 3)dx
13.
∫−1
−2
( 1
x2
+ x
)
dx
14.
∫4
0
√
xdx
15.
∫4
1
1√
x
dx
16.
∫8
0
3
√
xdx
17.
∫0
−1
(x3 − 2x+ 3)dx
18.
∫1
0
8
√
xdx
19.
∫2
1
(
x3 + x+
1
x3
)
dx
20.
∫1
0
(x+ 4
√
xdx)
21.
∫3
1
(
5+
1
x2
)
dx
22.
∫3
−3
x3dx
23.
∫1
−1
(x7 + x3 + x)dx
24.
∫1
1
2
(x+ 3)dx
25.
∫4
1
(5x+
√
x)dx
26.
∫0
1
(x7 − x+ 3)dx
27.
∫2
1
1+ x
x3
dx
28.
∫1
0
(x+ 1)2dx
29.
∫4
1
1+ x√
x
dx
30.
∫1
0
(x− 3)2dx
31.
∫2
0
(t2 + 3t− 1)dt
32.
∫2
1
1+ t2
t4
dt
33.
∫1
1
2
(s+ 2)ds
34.
∫3
0
(u2 − 2u+ 3)du
35.
∫2
1
(s2 + 3s+ 1)ds
36.
∫1
−1
3
√
tdt
37.
∫3
1
(
1+
1
x
)
dx
38.
∫2
1
1+ 3x2
x
dx
39.
∫ pi
2
−pi3
cos 2xdx
40.
∫0
−pi
sen 3xdx
41.
∫1
−1
e2xdx
42.
∫1
0
1
1+ t2
dt
43.
∫ pi
4
0
sen xdx
44.
∫0
−1
e−2xdx
45.
∫ pi
3
0
(3+ cos 3x)dx
UFPI 1 Prof. Mykael Cardoso
46.
∫1
0
sen 5xdx
47.
∫ 1
2
0
1√
1− x2
dx
48.
∫2
0
2xdx
49.
∫1
0
2xex
2
dx
50.
∫1
0
2x
1+ x2
dx
51.
∫1
0
1
1+ x
dx
52.
∫1
−1
x3ex
4
dx
53.
∫ pi
3
0
(sen x+ sen 2x)
54.
∫ pi
2
0
(1
2
+
1
2
cos 2x
)
dx
55.
∫ pi
2
0
cos2 xdx
56.
∫ pi
2
0
sen 2xdx
57.
∫ pi
4
0
sec2 xdx
58.
∫1
0
3xdx
59.
∫1
0
3xexdx
60.
∫ pi
4
0
tg 2xdx
61.
∫4
1
√
5
x
dx
62.
∫0
−pi
3
cos θ
sen 2θ
dx
(
Sugestão para questão 55: Verifique que cos2 x = 12 +
1
2 cos 2x
)
63. Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
a) A é conjunto limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3.
b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gráfico de y =
√
x.
c) A é conjunto de todos (x,y) tais que x2 − 1 6 y 6 0.
d) A é o conjunto de todos (x,y) tais que 0 6 y 6 4− x2.
e) A é o conjunto de todos (x,y) tais que 0 6 y 6 |sen x|, com 0 6 x 6 2pi.
f) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2,y = 0 e pelo gráfico de y = x2 + 2x+ 5.
g) A = {(x,y) ∈ R2; 0 6 x 6 1 e √x 6 √3}.
h) A = {(x,y) ∈ R2; x > 0 e x3 − x > −x2 + 5x}.
i) A é o conjunto do plano limitado pela retas x = 0, x = pi2 e pelos gráficos de y = cos x e y = 1− cos x.
j) A é o conjunto do plano limitado pelos gráficos de y = x3 − x,y = senpix, com −1 6 x 6 1.
k) A é o conjunto de todos (x,y) tais que x > 0 e 1
x2
6 y 6 5− 4x2.
64. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t− 3, t > 0.
a) Calcule o deslocamento entre o instantes t = 1, t = 3.
b) Qual o espaço percorrido entre os instantes t = 1, t = 3?
c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes t = 1 e t = 3.
65. A função velocidade (em metros por segundo) é dada por uma partícula movendo-se ao longo de uma reta.
Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado em cada
um dos casos abaixo:
a) v(t) = 3t− 5, 0 6 t 6 3
b) v(t) = t2 − 2t− 8, 1 6 t 6 3.
66. A função aceleração (em m/s2) e a velocidade inicial são dadas por uma partícula movendo-se ao longo de
uma reta. Encontre a velocidade no instante t e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
UFPI 2 Prof. Mykael Cardoso
a) a(t) = t+ 4, v(0) = 5, 0 6 t 6 10;
b) a(t) = 2t+ 3, v(0) = −4, 0 6 t 6 3.
67. A densidade de uma barra linear de comprimento 4m é dada por ρ(x) = 9+ 2
√
x medida em quilogramas
por metro, onde x é medida em metros a partir de um extremo da barra. Ache a massa total da barra.
68. A água flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r(t) = 200− 4t litros por minutos,
onde 0 6 t 6 50. Encontre a quantidade de água que flui do tanque durante os dez primeiros minutos.
Calcule a integral definida.
69.
∫4
1
2x(x2 + 3)4dx
70.
∫5
−2
x2(x3 + 5)2dx
71.
∫2
0
(3x− 2)20dx
72.
∫2
−1
(2− x)9dx
73.
∫3
1
1+ 4x√
1+ x+ 2x2
dx
74.
∫0
−1
x
(x2 + 1)2
dx
75.
∫2
0
√
dx
5− 3x
dx
76.
∫3
1
x
x2 + 1
dx
77.
∫2
0
3
(2y+ 1)5
dx
78.
∫3
2
1
(5t+ 4)2,7
dt
79.
∫0
−2
√
4− tdt
80.
∫5
1
y3
√
2y4 − 1dy
81.
∫1
0
senpitdt
82.
∫pi
−pi
sec 2θtg 2θdθ
83.
∫3
1
(ln x)2
x
dx
84.
∫0
−pi
2
arctg x
1+ x2
dx
85.
∫ pi
2
0
cos
√
t√
t
dt
86.
∫4
1
√
xsen (1+ x
3
2 )dx
87.
∫1
0
cos θsen θdθ
88.
∫2
0
(1+ tg θ)5 sec2 θdθ
89.
∫3
1
ex
√
1+ exdx
90.
∫ pi
2
0
ecos tsen tdt
91.
∫2
−1
z2
3
√
1+ z3
dz
92.
∫1
0
ax+ b√
ax2 + 2bx+ c
dx
93.
∫2
0
dx
x ln x
94.
∫4
2
ex
ex + 1
dx
95.
∫2
−1
√
cotg xcossec 2xdx
96.
∫2
0
cos(pix )
x2
dx
97.
∫3
1
cotg xdx
98.
∫1
0
sen x
1+ cos2x
dx
99.
∫ pi
6
0
sen x
1+ cos2 x
dx
100.
∫ 3pi
2
pi
2
sec3 xtg xdx
101.
∫8
1
3
√
x3 + 1x5dx
102.
∫pi
0
sen t sec2(cos t)dt
103.
∫1
−1
x
1+ x2
dx
104. Responda:
a) Use a substituição u = pi− x para mostrar que∫pi
0
xf(sen x)dx =
∫pi
0
pi
2
f(sen x)dx.
b) Calcule a integral ∫pi
0
xsen x
1+ cos2 x
dx.
UFPI 3 Prof. Mykael Cardoso
Calcule a integral indefinida.
105.
∫
xe3xdx
106.
∫
x sec ctg xdx
107.
∫
x cos 2xdx
108.
∫
x3xdx
109.
∫
ln xdx
110.
∫
cossecwdw
111.
∫
(ln x)2dx
112.
∫
x sec2 xdx
113.
∫
xarctg xdx
114.
∫
x2 ln xdx
115.
∫
xex
(x+ 1)2
dx
116.
∫
x2sen 3xdx
117.
∫
sen x ln(cos x)dx
118.
∫
sen (lnx)dx
119.
∫
ex cos xdx
120.
∫
x5ex
2
dx
121.
∫
x3√
1− x2
dx
122.
∫
sen 2x
ex
dx
Calcule a integral definida.
123.
∫2
0
x23xdx
124.
∫2
−1
ln(x+ 2)dx
125.
∫ pi
3
0
sen 3x cos xdx
126.
∫ pi2
2
0
cos
√
2xdx
127.
∫2
0
xe2xdx
128.
∫pi
−pi
z2 cos 2zdz
129.
∫ pi
4
0
e3xsen 4xdx
130.
∫1
0
xarcsen xdx
131.
∫4
2
sec−1
√
tdt
132.
∫ 3pi
4
pi
4
xcotg xcossec xdx
Calcule.
133.
∫√
1− 4x2dx
134.
∫
1√
4− x2
dx
135.
∫
1
4+ x2
dx
136.
∫
x2
√
1− x2dx
137.
∫√
9− (x− 1)2dx
138.
∫
1
x
√
1+ x2
dx
139.
∫√
−x2 + 2x+ 3dx
140.
∫
x2(x+ 1)10dx
141.
∫
x2
√
x− 1dx
142.
∫
1
1+
√
x
dx
143.
∫
2
(1+
√
x)3
dx
144.
∫
x2 + 1√
2x− x2
dx
145.
∫√
1+
√
xdx
146.
∫
1
x2 + 2x+ 5
dx
147.
∫
xarcsen xdx
148.
∫
x(arctg x)2dx
149.
∫
arctg
√
xdx
150.
∫
arctg ex
ex
dx
151. Sejam m e n constantes não nulas. Verifique que∫
mu+ n
1+ u2
du =
m
2
ln(1+ u2) + narctgu+ K.
Use a questão anterior para calcular as questões abaixo.
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Física Cálculo II
152.
∫
x+ 1
4+ x2
dx
153.
∫
2x− 1
9+ 4x2
dx
154.
∫
2x+ 1
x24x+ 5
dx
155.
∫
x− 1
9+ x2
dx
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