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Profª. Drª. Mikele Cândida Sousa de Sant’Anna Aula 2. Viscosidade de um Fluido 1. Conceitos de Viscosidade Para fluidos de baixo peso molecular, a propriedade física que caracteriza a resistência ao escoamento é a Viscosidade A viscosidade é função da temperatura! Isaac Newton 1642-1727 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) Fluido inicialmente em repouso Placa inferior posta em movimento Desenvolvimento de velocidades em escoamento transiente Distribuição final de velocidades em escoamento permanente. Fig.1. Desenvolvimento de perfil laminar permanente de velocidades para um fluido contido entre duas placas 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) Um par de placas grandes paralelas, cada uma com uma área A No espaço entre elas existe um fluido Separadas por uma distância Y O sistema está inicialmente em repouso, mas no instante t=0 a placa inferior é posta em movimento na direção positiva de x a uma velocidade constante V. 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) Conforme o tempo passa, o fluido ganha momento até que finalmente se estabelece o perfil linear e permanente de velocidades. Y V A F 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) A força deve ser proporcional à área e à velocidade e inversamente proporcional à distância entre as placas. A constante de proporcionalidade µ, é uma propriedade do fluido, definida como viscosidade. Adota-se F/A pelo símbolo →τxy, que é a força na direção x numa área perpendicular à direção y. Fica entendido que essa é a força exercida pelo fluido com y menor sobre o fluido com y maior Substituímos V/Y → dv/dy dy dv xy Lei de Newton da viscosidade 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) dy dv xy - Descreve a resistência ao escoamento de todos os gases e líquidos com peso molecular menor que cerca de 5000. - Esses fluidos são classificados como newtonianos - Líquidos poliméricos, suspensões, pastas, lamas e outros fluidos complexos não podem ser descritos pela equação e são chamados não-newtonianos. Viscosidade cinemática v Pa) (N/m 2 xy (m/s) xv (m) y sPamsmPa dy dv xy .)(/ 1 1 1 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) Note que para gases em baixa densidade, a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura, enquanto para líquidos a viscosidade geralmente diminui com o aumento da temperatura. 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) 2. Lei de Newton da viscosidade (Transporte Molecular de Momento) Nos gases o momento é transportado pelas moléculas em voo livre entre colisões. Nos líquidos o transporte se dá predominantemente devido as forças intermoleculares que os pares de moléculas experimentam conforme transitam entre seus vizinhos. 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade A viscosidade foi definida em termos de um escoamento cisalhante simples e permanente, no qual vx é uma função de y apenas, e vy e vz são zero. Usualmente estamos interessados em escoamentos mais complicados nos quais as três componentes da velocidade podem depender de todas as três coordenadas e possivelmente do tempo. 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade A velocidade do fluido pode ter diferentes direções em locais distintos e pode depender do tempo t. As componentes da velocidade são então dadas por: ),,,( tzyxvv xx ),,,( tzyxvv yy ),,,( tzyxvv zz Em tal situação existirão nove componentes de tensão τij (onde i e j podem ter as designações x, y e z), em vez do componente τyx 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade Temos um pequeno elemento de volume com forma de cubo no interior do campo de escoamento, cada face tendo uma área unitária. O centro do elemento de volume está na posição x, y, z. Em qualquer instante do tempo podemos seccionar o elemento de volume de maneira a remover metade do fluido nele contido QUE FORÇA DEVE SER APLICADA NA SUPERFÍCIE LIVRE DE MODO A REPOR A FORÇA QUE ERA APLICADA AQUELA SUPERFICIE PELO FLUIDO REMOVIDO? - Força associada a PRESSÃO - Forças VISCOSAS 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade A força de pressão será sempre PERPENDICULAR à face exposta xdireção na unitário vetor um é x escalar um é p As forças de pressão serão exercidas quando o fluido estiver em repouso ou em movimento! 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade As forças viscosas atuam quando existem gradientes de velocidade no fluido. Não são nem perpendiculares e nem paralelas à superfície do elemento, formando com a mesma um ângulo Cada uma dessas forças (que são VETORES) tem componentes (ESCALARES); τx, tem componentes: τxx ,τxy e τxz 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade Essa tabulação é o resumo das forças por unidade de área (tensões) exercidas no interior do fluido, relacionadas tanto à pressão termodinâmica quanto as tensões viscosas. 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade É conveniente ter um símbolo que inclua as duas tensões, e então definimos: ijijp ij zou y, ser x, podem j e i onde Nessa equação o delta de Kronecker jvale i se zero e ji se 1 ij, Exatamente como na seção anterior, τij (e também ) podem ser interpretados de duas maneiras: ij 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade ijijp ij ijijp ij Força na direção j sobre uma área unitária perpendicular à direção i, onde está entendido que o fluido da região de xi menor exerce a força sobre o fluido de xi maior. Fluxo de momento de direção j na direção i positiva- isto é, da região de xi menor para a de maior xi. 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade Interpretações: zzyyxx pepp zzyyxx , Forças exercidas pelo fluido sobre superfícies sólidas Tensões normais Enquanto as demais grandezas ,... , yzxy yzxy Tensões cisalhantes Essas grandezas, que possuem dois subscritos associados com direções coordenadas, são conhecidas como “tensores”, da mesma maneira que grandezas (tal como a velocidade) que possuem um subscrito associado com uma direção coordenada são chamada “vetores”. viscosansão tensor te molecular nsão tensor te 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade Como essas tensões τij estão relacionadas com os gradientes de velocidade no fluido? Ao generalizar a Lei de Newton da Viscosidade, são necessárias várias restrições: As tensões viscosas podem ser combinações lineares de todos os gradientes de velocidade: Nessa equação, as 81 grandezas µijkl são coeficientes de viscosidade. As grandezas x1, x2, x3 nas derivadas denotam as coordenadas cartesianas x, y, z e v1, v2 e v3 são o mesmo que vx, vy, vz. l k k l ijkl x v ij 3 2, 1,ser podem l ek j, i, onde 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade Não esperamos a presença de quaisquer forças viscosas caso o fluido se encontre em estado de rotação pura. Essa exigência leva à necessidade de que τij seja uma combinação simétrica de gradientes de velocidade. Isto quer dizer que se i e j forem permutados, a combinação de gradientes de velocidade não se modifica. Pode sermostrado que as únicas combinações lineares simétricas de gradientes de velocidade são: j i i j x v x v ij zyx z v y v x v 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade Se o fluido é isotrópico- isto é, se ele não tem direções preferenciais- então os coeficientes que antecedem as duas expressões Eq. Lei de viscosidade devem ser escalares de modo que: ij zyx j i i j ij z v y v x v B x v x v A Reduzimos de 81 para 2! Para aquele escoamento elementar a Eq acima torna-se Lei da viscosidade, com A é o negativo de µ 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade A constante escalar B é escrita como 𝟐/𝟑µ − 𝜿 , onde k é chamada viscosidade dilatacional. A razão para escrever B dessa maneira é que se sabe da teoria cinética que k é identicamente nula para gases monoatômicos a baixas densidades. Assim a generalização para a Lei de Newton da viscosidade, é um conjunto de 9 relações, sendo 6 independentes. ij zyx j i i j ij z v y v x v x v x v ) 3 2 ( Nesta equação 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖, sendo que i e j podem assumir os valores 1, 2, 3. ).)(3/2())(( vkTvv 3. Generalização da Lei de Newton da viscosidade ).)(3/2())(( vkTvv 𝛿 é o tensor unitário com componentes 𝛿𝑖𝑗 𝛻𝑣 é o tensor gradient de velocidade com components 𝜕 𝜕𝑥𝑗 𝑣𝑖 𝛻. 𝑣 é o divergente do vetor velocidade Geralmente ao resolver problemas em dinâmica dos fluidos não é necessário conhecer k: o Se o fluido é um gás, frequentemente adotamos que ele seja monoatômico, para o qual k é nulo. o Se o fluido for um líquido, frequentemente adotamos que ele é incompressível (𝛻. 𝑣) = 0, e portanto, o termo k é igualmente descartado. o A viscosidade dilatacional é importante na descrição da absorção de som em gases poliatômicos, e na descrição da dinâmica dos fluidos de líquidos que contem bolhas de gás. Trabalho Proposto Leituras: - Representação em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas; - Notas sobre a convenção de sinais para o tensor tensão; - Dependência da viscosidade com a pressão e temperatura; - Teoria molecular da viscosidade de gases a baixas densidades; - Teoria molecular da viscosidade em líquidos; - Viscosidade de suspensões e emulsões. Filmes e Vídeos - A vida de Newton
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