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Aula 2 Fluidoestática Viscosidade de um fluido

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 Profª. Drª. Mikele Cândida Sousa de Sant’Anna
Aula 2. Viscosidade de um Fluido
1. Conceitos de Viscosidade
Para fluidos de baixo peso molecular,
a propriedade física que caracteriza a
resistência ao escoamento é a
Viscosidade
A viscosidade é função da temperatura!
Isaac Newton
1642-1727
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
Fluido inicialmente em repouso 
Placa inferior posta em movimento
Desenvolvimento de velocidades em
escoamento transiente
Distribuição final de velocidades em
escoamento permanente.
Fig.1. Desenvolvimento de perfil laminar permanente de velocidades para um fluido contido entre duas placas
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
Um par de placas grandes paralelas, cada uma com uma área A
No espaço entre elas existe um fluido
Separadas por uma distância Y
O sistema está inicialmente em repouso,
mas no instante t=0 a placa inferior é
posta em movimento na direção positiva
de x a uma velocidade constante V.
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
Conforme o tempo passa, o fluido
ganha momento até que finalmente se
estabelece o perfil linear e permanente
de velocidades.
Y
V
A
F

2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
A força deve ser proporcional à área e à velocidade e
inversamente proporcional à distância entre as placas. A
constante de proporcionalidade µ, é uma propriedade do fluido,
definida como viscosidade.
Adota-se F/A pelo símbolo →τxy, que é a força na direção x numa
área perpendicular à direção y.
Fica entendido que essa é a força exercida pelo fluido com y
menor sobre o fluido com y maior
Substituímos V/Y → dv/dy
dy
dv
xy  
Lei de Newton da viscosidade 
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
dy
dv
xy  
- Descreve a resistência ao escoamento de todos os gases e
líquidos com peso molecular menor que cerca de 5000.
- Esses fluidos são classificados como newtonianos
- Líquidos poliméricos, suspensões, pastas, lamas e
outros fluidos complexos não podem ser descritos pela
equação e são chamados não-newtonianos.
Viscosidade cinemática 

v
Pa) (N/m 
2
xy
(m/s) xv
(m) y
     sPamsmPa
dy
dv
xy .)(/
1
1
1


















2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
Note que para gases em baixa densidade, a viscosidade aumenta com o aumento
da temperatura, enquanto para líquidos a viscosidade geralmente diminui com o
aumento da temperatura.
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
2. Lei de Newton da viscosidade 
(Transporte Molecular de Momento)
 Nos gases o momento é
transportado pelas moléculas
em voo livre entre colisões.
 Nos líquidos o transporte se
dá predominantemente devido
as forças intermoleculares
que os pares de moléculas
experimentam conforme
transitam entre seus vizinhos.
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
A viscosidade foi definida em termos de um escoamento
cisalhante simples e permanente, no qual vx é uma função de y
apenas, e vy e vz são zero.
Usualmente estamos interessados em escoamentos mais
complicados nos quais as três componentes da velocidade podem
depender de todas as três coordenadas e possivelmente do
tempo.
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
A velocidade do fluido pode ter diferentes direções em locais
distintos e pode depender do tempo t. As componentes da
velocidade são então dadas por:
),,,( tzyxvv xx 
),,,( tzyxvv yy 
),,,( tzyxvv zz 
Em tal situação existirão nove componentes de tensão τij (onde i
e j podem ter as designações x, y e z), em vez do componente τyx
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
Temos um pequeno elemento de volume com
forma de cubo no interior do campo de
escoamento, cada face tendo uma área unitária.
O centro do elemento de volume está na posição
x, y, z. Em qualquer instante do tempo podemos
seccionar o elemento de volume de maneira a
remover metade do fluido nele contido
QUE FORÇA DEVE SER APLICADA NA SUPERFÍCIE LIVRE DE
MODO A REPOR A FORÇA QUE ERA APLICADA AQUELA
SUPERFICIE PELO FLUIDO REMOVIDO?
- Força associada a PRESSÃO
- Forças VISCOSAS
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
A força de pressão será sempre
PERPENDICULAR à face exposta
 xdireção na unitário vetor um é x
escalar um é p
As forças de pressão serão
exercidas quando o fluido
estiver em repouso ou em
movimento!
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
As forças viscosas atuam quando existem gradientes de velocidade no
fluido. Não são nem perpendiculares e nem paralelas à superfície do
elemento, formando com a mesma um ângulo
Cada uma dessas forças (que são VETORES) tem componentes
(ESCALARES); τx, tem componentes: τxx ,τxy e τxz
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
Essa tabulação é o resumo das forças por unidade de área (tensões)
exercidas no interior do fluido, relacionadas tanto à pressão
termodinâmica quanto as tensões viscosas.
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
É conveniente ter um símbolo que inclua as duas tensões, e então
definimos:
ijijp   ij zou y, ser x, podem j e i onde
Nessa equação o delta de Kronecker
jvale  i se zero e ji se 1 ij,
Exatamente como na seção anterior, τij (e também ) podem
ser interpretados de duas maneiras:
 ij
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
ijijp   ij
ijijp   ij Força na direção j sobre uma área unitária
perpendicular à direção i, onde está entendido
que o fluido da região de xi menor exerce a
força sobre o fluido de xi maior.
Fluxo de momento de direção j na direção i
positiva- isto é, da região de xi menor para a de
maior xi.
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
Interpretações:
zzyyxx pepp   zzyyxx ,
Forças exercidas pelo fluido sobre superfícies sólidas
Tensões normais
Enquanto as demais grandezas
,... , yzxy yzxy   Tensões cisalhantes
Essas grandezas, que possuem dois subscritos associados com direções
coordenadas, são conhecidas como “tensores”, da mesma maneira que
grandezas (tal como a velocidade) que possuem um subscrito associado
com uma direção coordenada são chamada “vetores”.
 viscosansão tensor te
molecular nsão tensor te
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
Como essas tensões τij estão relacionadas com os gradientes de
velocidade no fluido?
Ao generalizar a Lei de Newton da Viscosidade, são necessárias
várias restrições:
As tensões viscosas podem ser combinações lineares de todos os
gradientes de velocidade:
Nessa equação, as 81 grandezas µijkl são coeficientes de
viscosidade. As grandezas x1, x2, x3 nas derivadas denotam as
coordenadas cartesianas x, y, z e v1, v2 e v3 são o mesmo que vx, vy,
vz.
l
k
k l
ijkl
x
v


    ij 3 2, 1,ser podem l ek j, i, onde
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
Não esperamos a presença de quaisquer forças viscosas caso o
fluido se encontre em estado de rotação pura.
Essa exigência leva à necessidade de que τij seja uma
combinação simétrica de gradientes de velocidade.
 Isto quer dizer que se i e j forem permutados, a combinação
de gradientes de velocidade não se modifica.
Pode sermostrado que as únicas combinações lineares
simétricas de gradientes de velocidade são:













j
i
i
j
x
v
x
v
ij
zyx
z
v
y
v
x
v

















3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
Se o fluido é isotrópico- isto é, se ele não tem direções
preferenciais- então os coeficientes que antecedem as duas
expressões Eq. Lei de viscosidade devem ser escalares de modo
que:
ij
zyx
j
i
i
j
ij
z
v
y
v
x
v
B
x
v
x
v
A 































Reduzimos de 81 para 2!
Para aquele escoamento elementar a Eq acima torna-se Lei da
viscosidade, com A é o negativo de µ
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
A constante escalar B é escrita como 𝟐/𝟑µ − 𝜿 , onde k é
chamada viscosidade dilatacional. A razão para escrever B dessa
maneira é que se sabe da teoria cinética que k é identicamente
nula para gases monoatômicos a baixas densidades.
Assim a generalização para a Lei de Newton da viscosidade, é
um conjunto de 9 relações, sendo 6 independentes.
ij
zyx
j
i
i
j
ij
z
v
y
v
x
v
x
v
x
v 






























 )
3
2
(
Nesta equação 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖, sendo que i e j podem assumir os valores
1, 2, 3.
 ).)(3/2())(( vkTvv 
3. Generalização da Lei de Newton da 
viscosidade 
 ).)(3/2())(( vkTvv 
 𝛿 é o tensor unitário com componentes 𝛿𝑖𝑗
 𝛻𝑣 é o tensor gradient de velocidade com components 
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝑣𝑖
 𝛻. 𝑣 é o divergente do vetor velocidade
Geralmente ao resolver problemas em dinâmica dos fluidos não é necessário conhecer
k:
o Se o fluido é um gás, frequentemente adotamos que ele seja monoatômico, para o
qual k é nulo.
o Se o fluido for um líquido, frequentemente adotamos que ele é incompressível
(𝛻. 𝑣) = 0, e portanto, o termo k é igualmente descartado.
o A viscosidade dilatacional é importante na descrição da absorção de som em gases
poliatômicos, e na descrição da dinâmica dos fluidos de líquidos que contem
bolhas de gás.
Trabalho Proposto
Leituras:
- Representação em coordenadas cartesianas, cilíndricas e
esféricas;
- Notas sobre a convenção de sinais para o tensor tensão;
- Dependência da viscosidade com a pressão e temperatura;
- Teoria molecular da viscosidade de gases a baixas densidades;
- Teoria molecular da viscosidade em líquidos;
- Viscosidade de suspensões e emulsões.
Filmes e Vídeos 
- A vida de Newton

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