Aula 7 Equações básicas da estática

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 Profª. Drª. Mikele Cândida Sousa de Sant’Anna
Aula 7. Equações básicas do escoamento 
1. Introdução
Apesar destas dificuldades, é útil para o estudo do comportamento dos
escoamento construir modelos teóricos nos quais se considera que o
fluido é ideal, que o mesmo é incompressível, inviscido, estacionário e
irrotacional.
2. Características de um escoamento ideal
2.1 Escoamento Estacionário
No escoamento estacionário as grandezas que caracterizam não variam
com o tempo.
Isso pode ser ilustrado de forma simples mediante o comportamento das
linhas de corrente.
Uma linha de corrente é uma linha simples à qual o vetor velocidade é
sempre tangente.
Quando o escoamento é estacionário as partículas de fluido que se
movem através de uma linha de corrente tem sempre a mesma
velocidade quando passam pelo mesmo ponto.
1. Introdução
 A dinâmica dos fluidos estuda o comportamento físico macroscópico
dos fluidos.
 Os fluidos são especificamente os líquidos e os gases, embora alguns
materiais e sistemas que estão nesses estados evidenciam
comportamentos similares ao de estes últimos.
 Em geral, os escoamento reais são bastantes difíceis de estudar tanto
experimental como analiticamente devido a fatores tais como: a
viscosidade molecular, a turbulência, a fricção do escoamento com
obstáculos, a compressibilidade, a não estacionariedade.
2. Características de um escoamento ideal
2.2 Escoamento Incompressível
Em geral os líquidos são considerados incompressíveis, mas os gases por
outro lado são bastantes compressíveis.
Os escoamentos de microescalas com número Mach inferiores a 0,3,
podem ser considerados incompressíveis (ρar= constante)
2.3 Escoamento Irrotacional
Um escoamento é irrotacional quando não possui velocidade angular, o
que elimina a possibilidade de existirem vórtices e turbulência
2.4 Escoamento Inviscido
É o escoamento sem atrito. Um fluido inviscido escoaria sem perdas por
arrasto junto das paredes do recipiente.
3. Equação da Continuidade
Seja um escoamento através de um tubo de seção variável. Se não
houver fugas, então há conservação de massa, num dado intervalo
de tempo ∆t, a massa que entra é igual à que massa que sai,
constante21  mm
1111111111 tvAsAVm  
1b
22222 tvAm  
1a
Em que ρ e v representam a massa específica e a velocidade do
fluido, e A e s a seção transversal e o comprimento do elemento de
fluido.
3. Equação da Continuidade
Como a massa conserva-se (∆m1= ∆m2=constante), então,
igualando-se as equações 1a e 1b, obtém-se:
constanteAv
A equação (2) denomina-se equação da continuidade.
O produto ρAv representa o fluxo mássico, a quantidade de massa
que passa na conduta por unidade de tempo.
Quando a massa especifica é constante por unidade de tempo a
equação pode ser rescrita na forma:
constante AvQ
Em que Q representa o caudal volúmico.
4. Equação de Bernoulli
2
2
22
1
2
11
22
gz
vp
gz
vp
 
Restrições
Escoamento em regime permanente
Escoamento incompressível
Escoamento sem atrito
Escoamento ao longo de uma linha de corrente
Aplicações: Pode ser aplicada ente dois pontos quaisquer numa linha de corrente, 
desde que outras restrições sejam satisfeitas.
4. Equação de Bernoulli
constante
2
2
 gz
vp

Pode ser escrita na sua forma mais geral:
I II III
Onde os termos I, II e III da Equação são as pressões estáticas,
dinâmicas e hidrostática, respectivamente.
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.1 Tubo Venturi
O tubo venturi consiste num tubo com um estreitamento que
pode ser usado para medir a velocidade de um escoamento
incompressível.
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.1 Tubo Venturi
O tubo venturi é causador de menor perda de carga, tem
utilização mais restrita, provavelmente em virtude do seu
formato, que necessita de usinagens internas mais complicadas.
As equações da continuidade e a de Bernoulli, são utilizadas
para os cálculos.
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.1 Tubo Venturi
A equação de Bernoulli aplicada entre dois pontos quaisquer
numa linha de corrente:
2
222
2
111
2
1
2
1
vpvp  
2
2
22
1
2
11
22
gz
vp
gz
vp
 
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.1 Tubo Venturi
Aplicando-se a equação da continuidade para o escoamento
incompressível.
Substituindo a equação da continuidade na equação de Bernoulli:
2211 vAvA 
1
22
1
A
vA
v 
)(
)(2
2
2
2
1
21
12
AA
pp
Av
g 



4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.1 Tubo Venturi
Como a diferença de pressão pode ser expressa em função da
pressão hidrostática, conforme equação:
ghpp  )( 21
)(
2
2
2
2
1
1
12
AA
gh
Av
g 



4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.2 Tubo de Pitot
É um anemômetro de pressão que mede a velocidade relativa do
escoamento. Consiste de dois tubos concêntricos que estão
orientados paralelamente ao escoamento.
Pode ser utilizado para escoamentos internos e externos, para
líquidos ou para gases.
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.2 Tubo de Pitot
O tubo de Pitot indica a velocidade em um ponto, em virtude do
fato que ele mede a pressão de estagnação que excede a pressão
estática
Em um escoamento aberto, uma vez que a pressão manométrica
é nula, a altura que o líquido sobe no tubo mede a pressão
cinética.
)]2/([ 2 gv
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.2 Tubo de Pitot
O tubo externo pelo contrário, está fechado por uma superfície e
possui uma abertura em forma de anel na sua superfície lateral,
de modo a sentir só o efeito da pressão estática.

 gh
v 1
2
 2
2
10
v
ghpp  ou
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.3 Lei de Torricelli
Considere o tanque fechado, que contém um líquido de
densidade ρ1 e que possui um buraco na parede lateral a uma
altura h1 do fundo.
O buraco está em contato com a atmosfera (patm) e o seu
diâmetro é bem inferior ao diâmetro do tanque (A2<<A1).
O ar por cima do líquido é mantido à pressão p
4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.3 Lei de Torricelli
Como A2>>A1 a velocidade do líquido na seção 2 é muito menor
que a velocidade na seção 1, v2<<v1, a equação de Bernoulli
neste caso tem a seguinte forma:
Pondo v1 em evidência, e fazendo h=h2-h1, tem-se que:
21
2
1
2
1
ghpghvpatm  
gh
pp
v atm 2
)(2
1 



4. 1 Algumas aplicações da Equação de
Bernoulli
4.1.3 Lei de Torricelli
Quando p é muito maior que p0, de modo que o termo 2gh possa
ser desprezado, a velocidade v1 é essencialmente função de p.
Se o tanque for aberto, então p=patm e a velocidade de saída é
calculada através da expressão
Note que se v1 é exatamente igual a velocidade de um corpo em
queda livre de uma altura h. Este fenômeno é conhecido como
Lei de Torricelli
ghv 21 