Mecânica dos Fluidos - Estática e Propriedades

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)
MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262
Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO
(Capítulo 3)
Recife - PE
Capítulo 3 - Estática dos Fluidos
1 – Expansão de função e série de Taylor.
2 – Lei de Pascal. Equação fundamental vetorial da Estática dos Fluidos. Plano isobárico.
Superfícies de nível. Significado físico/mecânico.
3 – Formas diferenciais da equação da Estática dos Fluidos. Lei de Stewin.
4 – Propriedade dos líquidos: coesão, adesão e tensão superficial. Massa específica dos líquidos
comuns.
5 – Diagrama de pressões em reservatório estratificado. Estratificação térmica.
6 – Exemplo da lei de Pascal. Sistema de vasos comunicantes e conservação da energia mecânica.
Paradoxo hidrostático.
7 – Técnicas de conversão de unidades. Níveis de referências das pressões. Pressões absolutas e
manométricas.
8 – Manometria. Piezômetro, tubo em U e manômetros diferenciais. Manômetros e vacuômetros
metálicos.
9 – Sistemas hidráulicos: elevador, prensas, trem de aterrisagem e freios. Golpe de aríete.
Cavitação.
10 – Forças hidrostáticas sobre superfícies planas:módulo, sentido, direção e ponto de aplicação.
Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes.
11 – Força hidrostática em superfície curva submersa. Exemplos.
12 – Pressões em tubos e reservatórios. Dimensionamento de parede e material.
13 – Empuxos em corpos. Principio de Arquimedes. Estabilidade de flutuantes. Metacentro.
Altura metacêntrica.
14 – Fluidos em movimento relativo. Efeitos de acelerações linear (horizontal e vertical) e
angular. Aplicações em engenharia.
Expansão de função e série de Taylor
Aproximação de Φ (derivada)
Valores reais de Φ
E P D
Φ=Φ(x)
α
Δx
ΦD
ΦP
P
P P
P P
(< 0 !)
Equação Fundamental da Estática dos Fluidos
dy
Equilíbrio de forças de pressão em um elemento fluido
α
α
(90°- α)
Obs: Esta Lei também se aplica aos escoamentos não-viscosos !!!
dx
*
*
“Lei de Pascal”
(Isotropia de 
pressões no
ponto!)
α
*
*
*
*
*
*
3ª ordem
P
(x,y,z)
dz
dx
dy
p
p
p
x
y
z
Direção x:
Direção y:
Direção z:
Forma vetorial geral da equação da 
Estática dos Fluidos
Plano isobárico
Superfície de nível
p = p(x) =cte
p = p(y) =cte
P Expansão em série 
de Taylor da pressão 
(p) em P
Significado físico/mecânico da equação vetorial geral da Estática dos Fluidos 
“ Em um fluido em repouso a soma das forças de superfície (FS) e de massa (FM) por unidade de
volume de fluido é zero.”
FS /Vol FM /Vol
Formas da Equação da Estática dos Fluidos
(vetorial)
Formas diferenciais
p = p(x) = cte
p = p(y) = cte
Planos perpendiculares à g
são isobáricos!
z
x
y
o
z
Δz
z2
z1
1
2
Δh
h
Δh = h
Lei de Stewin
“A cada altura em um fluido em repouso, 
corresponde um valor de pressão.”
Propriedades dos líquidos
Peso específico de alguns líquidos
Diagrama de pressões (reservatório estratificado)
h1
h2
h3
α
θ
β tan β= γ2
tan α = γ1
tan θ = γ3
tan θ = γ3h3 / h3
Lei de Pascal
Vasos comunicantes
Energia de velocidade
(cinética)
F
Paradoxo Hidrostático (o empuxo E no fundo independe do peso do líquido)
E = pA
P1 = γV1
E = pA
P3 = γV3
E = pA
P2 = γV2
Como V2 > V1 > V3  P2 > P1 > P3
Técnica de conversão de unidades
Velocidade:
Pressão:
Níveis de referência das pressões
pman
pabs
patm padrão
A : pman > 0
de um fluido em uma máquina, 
sistema ou processo.
pabs = patm + │pman│
A
B
absoluto
absoluto
B : pman < 0 (vácuo
relativo)
Barômetro
Barômetro de Hg
1 atm = 760 mmHg = 101,3 kPa = 1,0 bar = 14,7 psi = 10,33 mca (no NMar)
Referências de medidas de Pressão (p)
A patm = 101,3 kPa (padrão EUA ao nível do mar) se patm local = 90 kPa
Indica: 
- se o local for ao nível do mar  Tempestade!
- altitude ≈ 1000m condições atmosféricas normais!
Há dois referenciais de pressões :
- Vácuo (o absoluto) – Gases
- patm local – Líquidos e Gases
vácuo absoluto
pabs (kPa)
120
90
60
0
pman = 30 kPa
pvac = 30 kPa ou pman = -30kPa
pvac = 90 kPa ou pman = -90kPa
patm local
Dados da atmosfera – Padrão EUA (nível do mar)
288K
1,225 kg/m³
Piezômetros 
Manômetros diferenciais Tubos em U 
Limitações de uso:
• serve para baixas pressões
• não serve para gases (escapam)
• não serve para pman < 0, haveria entrada de ar 
Manometria
A Fig. 2-3 mostra um manômetro simples de tubo em U para medida da diferença de pressão. A
diferença nas pressões pA e pB pode ser determinada da forma abaixo. A pressão ao ponto a é
dada por:
pa = h1 γH2O + (h3 - h1) γar + pA ou
pa = h2 γH2O + (h3 – h2) γar + pB
Subtraindo,
pA – pB = (h2 – h1) (γH2O – γar)
O peso específico do ar é pequeno, comparado à água, significando que a diferença de pressão é
aproximadamente igual à diferença nas alturas de coluna vezes o peso específico da água:
pA – pB = (h2 – h1) γH2O
Exemplo de cálculo 
Observação: 
Os manômetros podem ter formas, orientações e usar fluidos diferentes, dependendo da
aplicação. Por exemplo, a fim de obter melhoria na precisão, em relação ao manômetro vertical,
pode-se usar um manômetro inclinado, como o da figura 2-4, ou um manômetro de dois fluidos,
como o da figura 2-5, poderia ser usado para chegar à precisão desejada.
Figura 2-4 Figura 2-5
O método de relacionamento de diferenças de pressão a deflexões de coluna do fluido para
esses dois exemplos é basicamente o mesmo que o descrito para o manômetro de tubo em U.
Manômetros industriais
O Elemento Elástico ao receber a pressão a ser medida, faz com que este se desloque, acionando
um mecanismo com um ponteiro para indicação da pressão a ser medida.
O Tipo Helicoidal é mais usado para para medição de pressões maiores. O Tipo Espiral, para
pressões menores.
Vacuômetro digital com escala de 0 a 760
mmHg. Utilizado para monitoramento do
vácuo gerado durante o funcionamento de
sistemas .
Vacuômetros
Permite efetuar ensaios para verificar o estado de
funcionamento de válvulas, carburador e ignição.
Sistemas Hidráulicos
Prensas
F1 → Força aplicada
F2 → Força obtida
Relação de multiplicação de forças
Elevador hidráulico
Trem de aterragem aberto para pouso. 
Freios
A função do pedal (p) é a de abrir o distribuidor D que alimenta (1) e (2).
Golpe de Aríete
Ciclos de carga: fadiga é um
fenômeno que afeta os MATERIAIS
que ficam submetidos a vários ciclos
de carga (fratura).
Tubulações
Industriais com
Prof. Laurênio
Quando a pressão local cai abaixo
da pressão de vapor do líquido
(pressão parcial das moléculas
gasosas expelidas naquela
temperatura), ocorre sua
vaporização, causando o
aparecimento de bolhas de gás ou
cavidades.
A cavitação é acompanhada de:
erosão, corrosão, perdas de
eficiência e vibração.
Cavitação 
Força Hidrostática sobre uma superfície plana submersa (exemplos)
Comporta de parede
Comportas de fundo
Superfície Livre (SL)
Força Hidrostática (Empuxo) sobre uma superfície plana submersa
= ∫ dF (h) y'FR
H
h
y
O
p (H)
p (H) dA = dF (H)
p (h)
A
θ
Dedução da força de pressão (empuxo) em áreas planas
Primeiro momento de A em relação ao eixo x ( ).
yc = coordenadas do centróide de A.
pc = neste caso, pressão absoluta no líquido no centróide da área A.
y'FR
H
h
y
O
p (H)
p (H) dA = dF (H)
p (h)
A
patm Superfície Livre (SL)
θ
pabs = patm + │pman│
C
Casos :
A)Quando patm atua na SL e no lado externo de A, seus efeitos se cancelam
(p0 = patm = 0) pc = pc man
B) Se p0 ≠ patm, então p0 deve ser medida como pman para descontar a patm 
pC = p0 man + pC man
Conclusão: p0, que é a pressão atuante na SL, deve ser uma pressão manométrica em qualquer
caso. Logo, pC deverá ser sempre uma (A) ou, uma soma (B) de pressões manométricas!
MÓDULO: pressão no líquido no centróide da área x área. A pressão na SL do líquido deverá 
ser tomada como pman. 
Portanto, tem-se de resolver o problema do cálculo do centróide da área plana.
SENTIDO: contrário ao do vetor área.
DIREÇÃO: paralela à do vetor área.
( pC = pman em C )
Ponto de aplicação do empuxo em área plana (coordenadas do centro de pressão)
• Reconhecer que no caso geral as coordenadas do CP (x’ , y’ ) estão abaixo do CG (C) !
• O ponto de aplicação da FR (CP= r’ ) deve ser tal que o seu momento em relação a qualquer
eixo seja igual ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo.
; ; ;
Para o eixo x: fazendo p0 = 0, FR = ρg sinθ yc A, p = ρgh e h = y sinθ :
mas,
O ponto de aplicação da FR (CP) está sempre abaixo do
centróide da área.
Produto de inércia de A em relação ao par de eixos que
passam pelo seu centróide.
Momento de inércia de A em 
relação ao eixo x.
Assim,
Momento de inércia da área em relação ao eixo que passa pelo centróide.
Detalhes sobre o ponto de aplicação do empuxo (CP)
NA
y
z
θ
hc
yc
y'
ER CG
CP
CG
A
. Mas,
Logo:
Observe que o carregamento das “p” é variável com y!
Porém é invariável segundo o eixo OX ou paralelos, pois, as
“p” são as mesmas! (nesse eixo!)
Para áreas simétricas em relação à
e x’ = xc, logo o CP fica abaixo do CG e sobre o
eixo .
z
x
y
o
Síntese de empuxo hidrostático e ponto de aplicação em superfície plana submersa
1)
2)
3)
Momento de inércia da área em
relação ao eixo x que passa pelo seu
C.G. (xc,yc)
Produto de inércia da área em
relação ao par de eixos xy que passa
pelo C.G. (C)
patm
NA
y
y
x
z
yc
xc
x'
y'
A
θ
o
C
(V-shaped Hull) 
Exemplo em Enga. Naval
Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes
Áreas Volumes 
Empuxo hidrostático em superfície curva submersa
Para se somar uma série de vetores
atuantes em várias direções se SOMA
COMPONENTES dos VETORES em
relação à um sistema de coordenadas
conveniente.
Mesmo processo de cálculo do
empuxo em SUPERFÍCIES PLANAS!
Peso na projeção horizontal
da área.
• O empuxo é calculado em termos de seus componentes 
• Na maior parte dos casos práticos, são os componentes paralelos e perpendiculares à SL que interessam 
• Quando ocorrem os 3 componentes, a resultante não poderá ser expressa como uma única força 
Componente vertical do empuxo em superfícies curvas
A componente vertical do empuxo para superfície curva é igual ao peso real (água em cima) ou
imaginário (água embaixo) do líquido ocupando o volume entre a superfície curva e a superfície
livre da água.
h
h
NA
p
Peso
-Virtual
- Real
z
│dAz│
EXEMPLO 1: Calcular o vetor empuxo (E) sobre a comporta de 4m de largura e raio 
2m.
R = 2m 
EH
EV
A
4
2
EH
EV
R/2
E
(Ponto de aplicação / sentido / direção)
(módulo)
EXEMPLO 2: Cálculo de áreas por integração
y² = 2x
Ax
Ay
dx
dy
2
2
x
y
Pressões em tubos e reservatórios (vasos de pressão)
Hipótese de cálculo: a altura de pressão é grande em relação ao diâmetro (D).
pD
Portanto, pode-se considerar uma “isotropia de pressões” atuantes na estrutura.
Dimensionamento de parede e material
E
e
ds
r
L
Equilíbrio entre forças solicitantes e resistentes
β = coeficiente de sobrepressão = 1,2
α = coeficiente de eficiência de solda ≈ 0,8
Empuxo sobre corpos imersos 
Empuxo e estabilidade sobre corpos flutuantes 
Navio francês zarpa durante a tempestade: helicóptero resgatou 26 tripulantes.
Metacentro 
Se M estiver abaixo de G, instável.
Se M estiver acima de G, estável.
Altura metacêntrica (MG) 
A estabilidade cresce com o aumento de MG.
Popa
Proa
• F1 Surge (u) – to move forward with force
• F2 Sway (v) – to move from side to side
• F3 Heave (w) – to rise and fall again several times
• M4 Roll – balanço
• M5 Pitch – caturro
• M6 Yaw – cabeceio
Movimentos de um sólido em um fluido (jargão naval)
Equilíbrio relativo
Fluido contido em recipiente que se move com translação acelerada
Em relação a:
O’XYZ (fixo Terra)  fluido em movimento
Oxyz (sistema relativo, fixo no recipiente)  após transiente, fluido em configuração estável, se: .
Como o fluido só estará em repouso em relação ao (Oxyz) que se move em relação à (O’XYZ) Equilíbrio
relativo. Principio de D`Alambert  pode-se substituir o efeito da aceleração pelo efeito de uma força
fictícia de inércia ( Fi = - m a ).
As partículas fluidas não têm movimento em relação ao recipiente, não há τ Estática dos Fluidos.
Líquido em movimento de corpo rígido com aceleração linear
patm
Líquido em movimento de corpo rígido com velocidade angular constante
z
r
patm
Fluidos em movimento relativo (corpo rígido)
v = cte 
ou 
parado
x
x
y
y
gg
ax
ax ≠ 0
Aceleração linear
R
z
ω = 0
ω = cte
Velocidade angular
Estática dos fluidos: Nesses casos:
0-g
0
0-g
0
1
2
1
2
p = p (x,y) p = p (r,z)
ΔyΔx
Na SL (1 e 2) onde atua patm dp = 0 (p2 = p1)
1- (0;z1) e 2- (R2;z2) 
Expressões 
gerais
Casos particulares
Translação uniformemente acelerada na vertical
ay = - g (desce em queda livre)
“Se o elevador desce em queda livre, as pressões no fluido serão constantes em todas as direções, ou seja,
elimina-se o efeito da gravidade.”
p = p (x, y, z) = cte
Y
XO
y
xo
Fluido 
Elevador 
ZERO G
ZERO G em queda livre
Envasamento de recipientes em esteiras
Sucção em bombas centrífugas
Observe que o ar acelera no estreitamento (maior pressão dinâmica), provocando uma sucção no
canudo (redução da pressão estática), que consequentemente pulveriza a água no interior do tubo.
Exemplo: Verificar que a condição mecânica de formação de vácuo (pman < 0) no eixo
de cilindro rotativo com líquido é de que ocorra alta velocidade angular ω.
R H
O
A
ω
z
r1
2
0
p = p (r, z)
0 (vácuo)
p
Como R, g e H são constantes, a condição é que a rotação (ω) seja alta!
Equações básicas para serem integradas em função do problema
e
Aceleração linear Velocidade angular
FIM