Circuitos Eletricos 1

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1 
 
 
FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 
 
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. ALCINDO ANTONIÁSSI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2009 
 
 
 
 2 
Grandezas Elétricas Unidade Símbolo 
 
Corrente Ampère A 
 
Potencial Elétrico ou 
Tensão Elétrica Volt V 
 
Resistência Elétrica Ohm Ω 
 
Energia, Trabalho Joule J 
 
Energia Elétrica Watt-hora Wh ou kWh 
 
Carga Elétrica Coulomb C 
 
Condutância Elétrica Siemens S ou 1/ Ω 
 
Indutância Elétrica Henry H 
 
Capacitância Elétrica Faraday F 
 
Freqüência Elétrica Hertz Hz 
 
Potência Elétrica Watt W 
 
Fluxo Magnético Weber Wb 
 
Campo de Indução Magnética (B) Weber/m2 Wb/m2 
 
Campo Eletromagnético (H) Ampère/ m A/ m 
 
 
Múltiplos e Submúltiplos 
 
 Giga 10 9 G 
 
Mega 10 6 M 
 
Quilo 10 3 k 
 
Centi 10 -2 c 
 
Mili 10 – 3 m 
 
Micro 10 -6 μ 
 
Nano 10 – 9 n 
 
Pico 10 – 12 p 
 
 3 
Dispositivos Elétricos 
 
RESISTOR 
 
 Resistor é um dispositivo conversor/consumidor de energia. Recebe a energia da fonte 
de alimentação, que não pode ser devolvida e transforma em potência dissipada (P = R i2). 
 Todos os dispositivos elétricos que consomem energia devem ter resistência em seus 
modelos de circuitos. É um elemento passivo, conversor de energia e descrito por equações 
algébricas. 
 Dispositivo Resistor ( ) Propriedade Resistência Elétrica e Símbolo Ω 
 
1ª. Lei de Ohm 
 
Existe uma proporcionalidade entre a tensão aplicada e a corrente que passa pelo elemento 
passivo. 
 
R
In
Vn
I
V
I
V
==== ...
2
2
1
1 
 
 
INDUTOR 
 
 Um indutor (propriedade indutância) é um elemento do circuito que armazena energia 
no campo eletromagnético. Normalmente armazena energia num certo período e devolve em 
outro, de tal modo que a potência média é nula. 
 Dispositivo Indutor ( ) Propriedade Indutância e Símbolo H 
 
 Tensão no Indutor: 
dt
diLv = 
 
 Corrente no Indutor: ∫ += KdtvLi
1 
 
 Reatância Indutiva X = j w L = j 2 π f L (Ω) 
 
 
CAPACITOR 
 
 Sua estrutura tem a habilidade de armazenar energia na forma de um campo elétrico e 
é igual à quantidade de carga que pode ser armazenada, dividida pela tensão aplicada às 
placas. 
 
 Dispositivo Capacitor ( ) Propriedade Capacitância e Símbolo C. 
 
 A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras, da distância 
entre as placas e da constante dielétrica do material isolante. 
 
d
AC oε= onde εo = constante dielétrica do ar ou vácuo = 8,85 x 10 -12 F / m 
 
 4 
Tensão no capacitor: ∫ += kdtiCv
1 
 
Corrente no Capacitor: 
dt
dvCi = 
 
Reatância Capacitiva X = 
jwC
1 
Cfj π2
1 
 
Associação Série de Resistores 
 
RnRReqR +++= ...21 
 
Associação Paralela de Resistores 
 
RnRReqR
1...
2
1
1
11
+++= 
 
Associação Série de Capacitores 
 
CnCCeqC
1...
2
1
1
11
+++= 
 
Associação Paralela de Capacitores 
 
CnCCeqC +++= ...21 
 
Associação Série de Indutores 
 
LnLLeqL +++= ...21 
 
 
Associação Paralela de Indutores 
 
LnLLeqL
1...
2
1
1
11
+++= 
 
Transformação Estrela – Delta (Υ – Δ) 
 
Sejam Ra, Rb e Rc os valores dos resistores ligados em estrela. Os valores dos resistores 
ligados em delta valem: 
 
Rc
RcRbRcRaRbRaR ++=1 
 
Ra
RcRbRcRaRbRaR ++=2 
 5 
 
Rb
RcRbRcRaRbRaR ++=3 
 
Ou seja, R eq. é igual ao produto duas a duas dividido pela oposta. 
 
Para a transformação Delta – Estrela (Δ – Υ) 
 
321
21
RRR
RRaR
++
= 
 
Ou seja, Req. É igual ao produto dos Resistores adjacentes dividido pela soma. 
 
2ª. Lei de Ohm 
 
S
LR ρ= onde R = Resistência Elétrica (Ω), L é o comprimento (m), S é a Secção 
 (m2) e ρ é a resistividade do material. 
 
Lei da Conservação da Carga ou 1ª. Lei de Kirchhoff 
 
 A soma das intensidades de corrente que se afasta de um ponto (nó) do circuito é igual 
à soma algébrica das intensidades de corrente que chegam ao mesmo ponto (nó). 
 
Σ correntes que entram = Σ correntes que saem 
 
Lei da Conservação de Energia ou 2ª. Lei de Kirchhoff 
 
 A soma algébrica de todas as quedas de tensões tomadas numa direção especificada, 
em um circuito fechado é nula. 
 
– Va + V1 + Vb + V2 + V3 = 0 ou 
– Va + I R1 + Vb + I R2 + I R3 = 0 
 
Va – Vb = ( R1 + R2 + R3 ) I 
 
Generalização da Lei das Malhas ou Método de Maxwell 
 
 A tensão entre os pontos a e b de um circuito é dada pela somatória das quedas de 
tensão nos resistores, subtraindo-se as f.e.m. existentes nos trechos. 
 
 Vab = Σ R i (?) - Σ Ɛ (?) 
 
Obs.: A interrogação é para chamar a atenção quanto às polaridades (Ɛ) e o sentido da 
corrente (R i). 
 Se a malha for fechada Vab = 0 e, portanto, Σ Ɛ (?) = Σ R i (?). 
 
 
 
 6 
Aplicação; 
 
Dado o circuito da figura, calcular as correntes em cada resistor e as tensões Vbc por vários 
caminhos. 
Equacionando: 
 
84 = 18 I1 - 6 I2 84 = 18 I1 - 6 I2 
 
 - 21 = 9I2 - 6 I1 - 63 = - 18 I1 + 27 I2 
 
Somando, membro a membro, teremos: 
21 = 21 I2 
I2 = 1 A; 
 
substituindo o v alor de I2 em qualquer das equações acima, obteremos: 
I1 = 5 A 
 
Aplicando a equação de malha aberta: 
Vab = Σ R i (?) - Σ Ɛ (?), teremos: 
 
Vab = 12 x 5 – 0 = 60 V 
 
Vbc (1) = 6 ( I1 - I2) = 6 x 4 = 24 V 
 
Vbc (2) = 12 ( - I1 ) - ( - 84) = 12 x (- 5) + 84 = 24 V 
 
Vbc (3) = 3 ( I2 ) - ( - 21) = 3 x 1 + 21 = 24 V 
 
Vca = 0 - (84) = - 84 V 
 
Vbd = 3 x 1 = 3 V 
 
Vcd (1) = 0 - 21 = - 21 V 
 
Vcd (2) = 6 (I2 – I1) + 3 I2 = 6 (-4) + 3 = - 21 V 
 
Solução de Circuito pelo Método das Tensões Nodais 
 
 
 
 
 
 
 Σ i (nó 1) = 0 0
3
211
6
1
12
841
=
−
++
− VVV 
 
V1 - 84 + 2 V1 + 4 (V1 - 21) = 0 V1 + 2 V1 + 4 V1 = 84 + 84 
 
7 V1 = 168 V1 = 24 V 
 
 7 
Valores das Correntes: 
 
AVIAVIAVI 1
3
2124
3
21134
6
24
6
125
12
8424
12
8411 =−=−====−=−=−=
Verificar que a soma das correntes no nó 1 é igual a zero, ou seja, está chegando 5A e está 
saindo 5A. 
Solução de Circuito pelo Método das Correntes de Laço 
 
84 = 18 I1 + 12 I2 
 
84 - 21 = 15 I2 + 12 I1 
 
 
Resolvendo o sistema tem-se: I1 = 4 A e I2 = 1 A 
 
A corrente no resistor de 12 Ω é igual a I1 + I2 = 4 + 1 = 5 A. 
 
Teorema da Superposição 
 
 O teorema afirma que numa rede com duas ou mais fontes, a corrente (ou a tensão) 
para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando 
individualmente (separadamente). 
 Todos os componentes precisam ser lineares e bilaterais. 
Linear: a corrente e a tensão obedecem à lei de Ohm. 
Bilateral: a corrente não muda de valor se a fonte de tensão for invertida. 
 Empregando o método da superposição, calcular a corrente em cada resistor. A 
corrente (ou a tensão) para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos 
por cada fonte atuando separadamente. 
 
 
 
 
 
 
1º. Passo: Calcular as correntes devido apenas às fontes de tensão V1, anulando o efeito da 
tensão V2. Anular o efeito da fonte de tensão significa substituí-la por um curto-circuito. 
 
Ω=+
+
= 5,11
11
11Re xq 
AVI 0,2
5,1
0,3
5,1
1
1 === 
 
 
2º. Passo: Calcular as correntes devido apenas à fonte de tensão V2, anulando o efeito da 
tensão V1. 
 
 
 
 
 8 
3º. Passo: Somando as parcelas individuais devido às fontes V1 e V2,teremos as corrente 
totais: 
 
 I1 = 2,0 – 1,5 = 0,5 A 
 I2 = 3,0 – 1,0 = 2,0 A 
 I3 = 1,0 + 1,5 = 2,5 A 
 
Teoremas de Thévènin e Norton 
 
O teorema de Thévènin afirma que é possível substituir parte de um circuito linear por 
uma fonte de tensão VTH em série com uma resistência equivalente RTH e o teorema de Norton 
permite a substituição por uma fonte de corrente IN, em paralelo com uma resistência RN. 
Considere que o circuito possa ser separado em 2 partes A e B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção do Circuito Equivalente 
 
 R TH e R N são iguais e são obtidas calculando-se a resistência equivalente do circuito 
A, anulando-se os efeitos das fontes de tensão. 
 V RH é igual à tensão em vazio (sem o circuito B) entre os pontos a e b. IN é igual à 
corrente de curto-circuito entre os pontos a e b. 
 
 
 
 
 
 Como os circuitos equivalentes de Thévènin e Norton representam o mesmo circuito A, 
ambos se relacionam por: 
 R TH = R N = V TH / I N 
 
Aplicação: 
 
1. Obter os circuitos equivalentes de Thévènin e Norton 
 
 
 9 
 
Cálculo do R TH = R eq 
 
 
Cálculo do V TH = V ab 
 
Vab = Σ R i (?) - Σ Ɛ (?) ou Σ R i (?) = Σ Ɛ (?) 
 
 
 
 
 
9 I1 = 20 + 10 I1 = 30 / 9 = 10 / 3 A 
 
V ab (1) = 6 x 10 / 3 - 10 = 10 V e V ab (2) = 3 ( - 10 /3) – ( - 20 ) = 10 V 
 
Portanto, o Thévènin equivalente é: 
 
 
Norton Equivalente: 
 
 
Cálculo de IN = I2 
 
20 + 10 = 9 I1 - 6 I2 30 = 9 I1 - 6 I 2 60 = 18 I 1 - 12 I2 
 
 - 10 = 9 I2 - 6 I1 - 10 = - 6 I1 + 9 I2 -30 = -18 I1 + 27 I2 
 
30 = 15 I 2 I2 = 2 A 
 
 
 
 10 
2) Calcular I3 por Thévènin 
 
 
 
Tensão entre os pontos a e b → V TH = ? 
 
V 1 - V 2 = 2 I 3 – 4.5 = 2 I → I = - 0,75 A 
 
V ab = V TH = 1 ( - 0,75) - ( 3 ) = - 3,75 V 
 
Ou considerando o sentido correto de I = 0,75 A 
 
V ab ( 1 ) = V TH = 1 x 0,75 - ( - 3 ) = - 3,75 V 
 
V ab ( 2 ) = V TH = 1 x ( - 0,75) - ( - 4 ,5 ) = 3,75 V 
 
Obs.: Escolher o caminho que não dê margem a dúvidas. 
 
Portanto, 
 
 
I 3 = A50,2
15,0
75,3
=
+
 
3) Calcular a corrente IL utilizando Norton 
 
 
Cálculo do Req 
 
 
 
 
 
 
 11 
Cálculo de IN 
 IN = 10 / 4 = 2.5 A 
 
Portanto, I L = 0.1
0.6
0.6
6.34.2
4.25.2
==
+
x A 
 
 
 
Máxima Transferência de Potência 
 
 Em várias aplicações, é desejável obter a máxima potência que uma fonte de tensão 
pode fornecer a uma carga, A transferência máxima ocorre quando a resistência de carga RL 
for igual à resistência interna da fonte, ou seja, RL = Ri. 
 
 A potência máxima na carga é: 
 
 PL = R L I2 onde I = 
)( LRiR
V
+
 
 
Para o circuito da figura em que V = 10 V, Ri = 5 Ω e RL = 5 Ω 
 
I = A1
)55(
10
=
+
 P L = R L x I 2 = 5 x 1 2 = 5 W 
 Ri 
 (Resist. Interna) 
 
 V Fonte R L 
 (Resist. Carga) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RL (Ω) I (A) P (W) 
4,5 1,053 4,986 
5,0 1 5,000 
5,5 0,952 4,989 
 12 
Exercício 
 
Calcular as tensões V1, V2, V3 e as correntes em cada ramo. 
 
 
O nó g (ground) foi tomado como referência. 
 
Equacionando: 
 
Nó 1: 038)
4
()
3
( 3121 =+++ −−
VVVV
 
Nó 2: 03)
2
()
3
( 2
3212 =−++ −− V
VVVV
 
Nó 3: 0255)
2
()
4
( 3
2313 =−++ −− V
VVVV
 
 
A resolução por qualquer método dá como solução: V1 = 1,0 V; V2 = 2,0 V e V3 = 3,0 V. 
As correntes que passam nos resistores de 1 Ω, 2 Ω, 3 Ω e 4 Ω valem, respectivamente: 2,0 A; 
0,5 A; 0,333 A; 0,50 A e 0,6 A. Comprove se a Σ das correntes em cada nó é igual a 0. 
 
Exercício 
 
Calcular a corrente no resistor de 23 Ω do circuito, através de transformações sucessivas 
 
Cálculo da corrente no resistor de 23 Ω através de divisor de corrente: 
 
I 23 Ω = A
x 234,11
0,2315,21
15,21451,23
=
+
 . 
Obs. Você pode checar o valor por outro método qualquer. 
 13 
CORRENTE ALTERNADA MONOFÁSICA 
 
 A corrente alternada (CA) é uma corrente elétrica cuja magnitude e direção variam 
ciclicamente, ao contrário da corrente contínua cuja direção permanece constante e com pólos 
positivo e negativo definidos. Sua forma usual é uma onda senoidal por ser a forma de 
transmissão de energia mais eficiente. 
 A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas 
distâncias devido à facilidade de ter seus valores elevados ou abaixados através de 
transformadores. No entanto as primeiras experiências e transmissões foram feitas em 
corrente contínua (C.C.). 
 
 
 Seja uma onda senoidal do tipo: v (t) = Vmax sen (wt + φ) 
onde 
 v(t) = é a função tensão no domínio do tempo, 
 Vmax é a amplitude ou módulo, valor máximo ou valor de pico da onda. 
 w é a freqüência angular em radianos por segundo 
 t é o tempo em segundos 
 φ é o ângulo de fase, em graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vmax = Vp = Vpico = 2 Veficaz; Vpp = V pico a pico = 2 Vpico e Vm = Vmédio = Vmax 
/2. Valor eficaz (Vef ou Vrms é o valor quadrático médio da onda ( em inglês root mean 
square ou rms). 
 A tensão senoidal é produzida por um gerador (alternador) quando uma espira 
condutora gira através de um campo magnético criado por um íma ou excitatriz e intercepta 
linhas de força para gerar uma tensão alternada através de seus terminais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Circuito Resistivo 
 
Seja v(t) = Vm senwt a tensão da fonte que alimenta o circuito resistivo. A corrente que passa 
pelo circuito é dada por: 
 
 i (t) = wtsenwtsen
R
Vm
R
tv Im)( == 
Conclusão: A tensão e a corrente estão em fase, com amplitudes diferentes. 
 
 
 
 
 
Freqüência da onda: É o número de ciclos por segundo, expresso em Hertz (Hz); por 
exemplo 60 Hz ou 60 ciclos por segundo. 
Período T: é o intervalo de tempo para que um ciclo se complete. Comprimento de 
onda (λ) é o comprimento de um ciclo completo. 
 
f
v
=λ onde f é a freqüência em Hz e v é velocidade da luz = 3 x 10 8 m/s 
 
 
 
 
Ex.: O canal 2 de T.V. opera na freqüência de 60 MHz e seu comprimento de onda λ é na 
faixa de 5 metros. 
 
Circuito Indutivo 
 
Seja uma corrente i = Im sen (wt) alimentando um circuito puramente indutivo onde L é a 
indutância (Henry = H). 
 
 
 
 
 
A tensão na bobina (indutor) é dada por: vL = L dt
di )(Im wtsen
dt
dL= 
 
 vL = wL Im cos (wt) = XL Im sen (wt + 90º.) 
 
onde XL = w L = reatância indutiva 
 
Partindo-se de i = Im sen wt chegamos a vL = XL Im sen (wt + 90º.). 
 
Conclusão: As amplitudes das ondas são diferentes e a tensão na bobina (indutor) está 
avançada de 90º. Em relação à corrente. 
 
 
 15 
 
 
 
 
Circuito Capacitivo 
 
Para o circuito puramente capacitivo da figura, aplicamos uma tensão v = Vm sen wt. 
A corrente que passa pelo circuito é dada por: 
 
 
 
 
 
 
)90(Im1)90(Im o
C
o wtsen
X
wtsenwC
dt
dvCi +=+== 
 
Conclusão: As amplitudes são diferentes e a corrente está avançada de 90º. em relação à 
tensão. 
wC
X C
1
= é chamada reatância capacitiva do circuito. 
 
Em corrente alternada v = Z. i onde Z é chamada Impedância do circuito (Ω). 
 
A reatância indutiva (XL) é responsável pelo avanço da tensão em relação à corrente 
no circuito indutivo e a reatância capacitiva (XC) é responsável pelo atraso da tensão em 
relação à correnteno circuito capacitivo. 
 Num diagrama de reatância e de tensão teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, para um circuito indutivo teremos: 
 
Z = R + j X L = R + jw L = Z │θ = 22 LXR + │θ = arc tg XL / R 
 
 Para um circuito capacitivo teremos: 
 
Z = R - j X C = R - j / wC = Z │- θ = 22 CXR + │θ = arc tg - X C/ R 
 
 Para um circuito RLC série ( resistivo, indutivo e capacitivo) teremos: 
 
 
Z = R + j X L - j X C = R + j (X L j X C ) = 
 16 
 
= 22 )( CL XXR −+ │θ = arc tg (XL – XC) / R 
 
Revisão de Números Complexos 
 
e jθ = cos θ + j sen θ → A e jθ = A (cos θ + j sen θ ) 
 
Analogamenter, A e jw = A (cos wt + j sen wt) 
 
V = │V│ e jφ = │V│ (cos φ + j sen φ) = │V│cos φ + j │V│ sen φ) que é chamada 
notação retangular de V. 
 
 V = │V│ e jφ é a notação polar da tensão, representada por │V│ │φ (V) 
 
Se V1 = │V1│ e jφ1 e V2 = │V2│ e jφ2 → V1 . V2 = │V1│ e jφ1 . │V2│ e jφ2 = 
 
= │V1││V2│ e j (φ1 + φ2) ( Produto dos módulos e soma das fases) 
 
Para =
2
1
V
V )21(
2
1
2
1
2
1 ϕϕ
ϕ
ϕ
−= jj
j
e
V
V
eV
eV ( divisão dos módulos e subtração das fases) 
 
Ex.; Z1 = 5 - j 2 ( Ω) e Z2 = -3 - j 8 ( Ω) → Z1 + Z2 = 2 - j 10 ( Ω) 
 
 Z1 = 2 + j 3 ( Ω) e Z2 = - 3 - j 3 ( Ω) → Z1 . Z2 = 7 - j 9 = 
 
 = 11, 402│ │- 52,15º. (Ω) 
 
 )(30,010,1
10
311
)31)(31(
)31)(32(
31
32
2
1
Ω+−=
+−
=
+−−−
+−+
=
−−
+
= jj
jj
jj
j
j
Z
Z 
 
Se Z = x + j y ou Z = r e j θ → Z* (conjugado da impedância) = x - j y ou Z = r 
e - j θ 
 
Raiz Quadrada de um Número Complexo 
 
== 2
1
2
1
θ
θ
j
j
er
erA )21(
2
1 θθ −je
r
r = )(
2
1 )21( θθ −je
r
r = 2
)21(
(
2
1 θθ −je
r
r 
 
Ex.: == oj
oj
e
eA 30
60
5
25 152
)3060(
5)(
5
25 jj ee =
−
 
 
Obs. 
 
 Excitando-se um circuito RL com Z = R + jw L onde v = Vm cos wt, a solução é do 
tipo: 
 
 17 
 if = )(cos
)( 22
ϕ−
+
wt
wLR
Vm = Im cos ( wt - tan – 1 wL/R ) 
Se excitarmos com V = Vm e jwt (excitação complexa), a resposta será: 
 
i 1 =
22 )(wLR
Vm
+
e j ( wt - φ) = Im e j( wt - tan – 1 wL/R ) = 
 
i 1 = Im cos ( wt - tan – 1 wL/R ) + j sen ( wt - tan – 1 wL/R ) 
 
if = à parte real de i1 
 
Re V = Vm cos wt → produz Re i1 = if 
 
Vm cos (wt + θ ) = Re ( Vm e j ( wt + θ) ) = Re Vm e j θ e j wt 
 
Vm cos (wt + θ ) = Re V e j w t onde V = Vm e j θ = │ Vm ││ θ 
 
Aplicações: 
 
a) v - 10 cos (4 t +30º.) = 10 │ 30º. 
 
b) i = 2 │ 15º. com w = 6 rad/s → i = 2 cos ( 6 t + 15) 
 
c) v = 8 sem ( 3 t + 30º.) = 8 cos ( 3 t + 30º. - 90º.) = 8 cos (3 t - 60º.) = 
 
 = 8 │- 60 º. 
 
Lembrar que sen θ = cos (θ - 90º.) 
 
 
 
 
 
Aplicações: 
 
1) Seja um circuito RL em que a tensão da fonte vale v = cos wt = 120│0o. (V), R = 50 Ω 
e XL = 70 Ω. Calcular: 
 
 
a) A impedância Z em módulo e fase (polar) e retangular. 
b) A corrente do circuito. 
c) A tensão em R e a tensão na bobina. 
 
 a) R + j X L = 50 + j 70 = Z │θ = 86,023 │54,46º. (Ω) 
 18 
b) )(45,54395,1)(
46,54023,86
0120 AA
z
vi oo
o
−∠=
∠
∠
== 
 
c) VR = R i = )(46,54750,6945,54395,150 Vx oo −∠=−∠ 
 VL = j X L i = 
)(44,35650,9746,54395,1900,7046,54395,10,70 Vxxj oooo ∠=−∠∠=−∠ 
 
Verificação: 
V = Z x i = )(012046,54395,146,54023,86 Vx ooo ∠≅−∠∠ 
 
 
2) Dado o circuito RC em que v = 100│0º. (V), R = 10,0 k Ω e C = 0,10 μF, calcular; 
 
a) A reatância capacitiva (Xc) 
b) A impedância Z = R – j Xc = 
wC
jR − 
c) A corrente i 
 
d) As tensões em R (VR) e C ( VC) 
 
Solução: 
a) Reatância Capacitiva = 
wC
j
− = Ω−=−
−
26530
1010,0602 6
j
xx
j
π
 
 
b) Z = R – j Xc = 10 000 – j 26 530 = 28352, 088 │- 69,35º. (Ω) 
 
c) 
Z
vi = = maoo
o
.35,69527,3
35,69088,35228
0100
.
.
∠=
−∠
∠ 
d) VR = R i = 10 000 x 3, 527 x 10 -3 │ 69,35º. (V) 
 
 VC = j XC i = 26 530,0 │- 90º. x 3,527 x 10 -3 │ 69,35º. = 93,571 │- 20,65º. (V) 
 
Verificação: 
 
Vfonte = Z x i = ( R - j Xc x i ) = R x i - j Xc x i 
 
 = 10 000 x 3, 527 x 10 -3 │ 69,35º. + 93,571 │- 20,65º. (V) 
 = 12, 438 = j 33,004 + 87, 559 - j 32, 999 = 99, 997 + j 0,005 = 100│0º. (V) 
 
3) Dado o circuito RLC série em que v(t) = 100,0 cos wt = 100│0º. (V), R = 3,3 kΩ, 
L = 10,0 H e C = 0,47 μF, Calcular: 
 
a) A impedância Z e as reatâncias indutivas e capacitivas 
b) A corrente do circuito 
 19 
c) As tensões em R (VR), em L (VL) e em C (VC) 
d) Fazer a verificação, ou seja: A soma vetorial de (VR), (VL) e (VC) tem que ser 
igual à da fonte. 
 
a) Z = R + j XL - JXC = 3300,0 + j 2 π 60 x 10 - 
47,0602 x
j
π
= 
 
Z = 3300,0 + j 3770,0 - j 5644,0 = 3300,0 - j 1874,0 = 3794,980│- 29,59º. (Ω) 
 
XL = j 3770,0 = 3770,0 │90º. ( V) 
 
XC = - j 5644,0 = 5644,0 │- 90,0º. (V) 
 
b) i = =
Z
v
100│0º. . = 0,0264│ 29,59º (A) 
 3794, 980 │- 29,59º. 
 
V = Z . i = ( R + j XL - JXC ) . i = R . i + j XL x i - j XC x i = 
 
VR = R i = 3300,0 x 0,0264│ 29,59º (V) = 87,100 │ 29,59º (V) 
 
VL = j XL x i = 3770,0 │90º. x 0,0264│ 29,59º = 99,100│ 119,59º (V) 
 
VC = - j 5644,0 = 5644,0 │- 90,0º. x 0,0264│ 29,59º = 149,000│- 60,41º (V) 
 
Verificação: VR + VL + VC = 87,100 │ 29,59º + 99,100│ 119,59º + 
 149,000│- 60,41º = 75,758 + j 43, 019 - 49,146 + j 86, 548 + 73, 575 - j 129,568 = 
100, 187 - j 0,001 = 100│0º. (V). 
 
Observar que a tensão no capacitor pode superar a tensão da fonte, em módulo, mas as soma 
vetorial tem quem ser igual à da fonte. 
 
Exercício 
 
Dados dois elementos em série em que i = 10 cos (5000t - 23,13º.) e v = 
50 cos (5000 t + 30º.), identificar o circuito e identificar os componentes. 
 
Z = =
−
+
=
)13,235000(cos10
)305000(cos50
o
o
t
t
i
v
100│ 30º. = 5,0 │53,13º. (V). = 
 10│- 23,13º. 
 
= 3,0 + j4,0 onde R = 3,0 Ohms e 4,0 é a reatância indutiva já que se trata de um indutor 
pois o ângulo de Z é positivo. Ainda, │XL│ = w L = 2π 60 L = 4,0. Logo, a indutância L 
vale aproximadamente 0,8 mH. 
 
 
POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA MONOFÁSICA 
 
Em corrente alternada tem-se 3 tipos de potência. 
 20 
Potência Ativa, real ou potência útil (P); aquela que realiza trabalho ( W, kW, MW, etc) 
Potência reativa ou de magnetização (Q); necessária para magnetizar o material ou gerada por 
efeito capacitivo (Var, kVAr, MVAr, etc) 
Potência total ou aparente; resultante das outras duas ( VA, kVA, MVA, etc) 
Matematicamente: 
 
Definindo-se S, potência aparente ou total por V I * (produto da tensão pelo conjugado da 
corrente ) = onde V = │V│
oje 0 e I = │I│e - j φ e, portanto, I * = │I│e j φ 
 
S = V I * = │V│ 
oje 0 │I│e j φ = │V││I│ e j φ = │V││I│ (cos φ + j sen φ) = 
 
= P + j Q, onde: 
 
P = │V││I│ cos φ = R│I│2 
 
Q = │V││I│ sen φ = X│I│2 
 
 cos φ = é chamado fator de potência do circuito ou da instalação e por legislação tem que 
ser ≥0,92. Se < 0,92 implica em multa na conta de energia. 
Fator de potência em atraso → I atrasada da tensão → circuito indutivo 
Fator de potência em avanço → I avançada da tensão → circuito capacitivo 
Aplicação: 
 
1) Um motor de indução consome 1500,0 W e 7,5 A de uma linha de 220 V, 60 Hz. Qual 
o fator de potência da instalação e qual a capacitância de um capacitor em paralelo 
com o motor para que o fator de potência seja igual a 0,92. 
 
 P = │V││I│ cos φ = )6,24(909,0
5,7220
o
x
P
== ϕ 
 Q = 1500,0 tan 24,6 = 686,754 VAr 
 
 S = VA737,1649754,6860,1500 22 =+ 
 
 Cálculo dos reativos necessários para o fator de potência 0,92 )07,23( o=ϕ 
 
 Q2 = P tan 23,07º = 638, 876 
 
 Δ Q = Q - Q2 = 686, 754 - 638, 876 = 47,878 Var 
 
 Δ Q = 
fC
V
X
V
C
π2
1
22
= → F
xfV
QC µ
ππ
623,2
220602
878,47
2 22
=== 
2) Uma carga Z é alimentada por uma tensão v = 150,0 cos (wt = 10º.) e a corrente que passa 
pela carga vaale i = 5,0 cos (wt – 50º.). Calcular: 
 
a) A impedância Z do circuito 
b) As potências P, Q e S 
 21 
 
S = VI* = = 
2
0,150 │ 10,0º + 
2
0,5
│+ 50,0º = 106, 066│ 10,0º x 3,536│+ 50,0º 
 
S = 375,049 │+ 60,0º = 187, 525 + j 324, 802 (VA) = P + j Q 
 
Z = =Ω∠=
−∠
∠
= )(600,30
500,5
100,150 o
o
o
i
v
15,0 + j 25,981 (Ω) 
 
P = R │I│2 = 15,0 ( =2)
2
0,5( 15,0 x 3,536 2 = 187, 549 W 
 
Q = Xc │I│2 = 25, 981 x 3,536 2 = 324, 848 VAr 
 
3) Uma carga Z é alimentada por uma tensão v = 99,0 cos (6000t + 30º.); a potência dissipada 
é de 940,0 W e o fator de potência é 0,707 avançado ( I avançado de V). Calcular: 
a) A impedäncia Z do circuito 
b) A corrente do circuito. 
 
A tensão eficaz vale aprox. V004,70
2
0,99
= 
De P = │V││I│ cos φ → 940,0 = 
2
0,99 x │I│ x 0,707 → │I│ = 18,994 A 
 
De )(75994,18;
994,18
30004,7045 Ai
i
Z
ii
vVZ oo ∠=
∠
+∠
=−∠⇒
∠
∠
=∠θ e, 
portanto, Z = )(606,2606,245668,3 Ω−=Ω−∠ jo 
 
4)Dado o circuito da figura, calcular a corrente que passa pelo aquecedor (ramo central) de 
100,0 Ohms, a tensão em seus terminais e a potência dissipada. 
 
 
 
Equacionando: 
 
220,0 │ 0,0º = ( 6,0 + j 8,0) i 2 + (-100,0 i1) + 100,0 i 2 
 
- 127,0 │30,0º = (3,0 - j 5,0) i 1 - 100,0 i2 + 100,0 i 1 
 
 
220,0 │ 0,0º = (106,0 + j 8,0) i 2 - 100,0 i1 
 
- 127,0 │30,0º = (103,0 - j 5,0) i 1 - 100,0 i2 
 22 
 
 
220,0 │ 0,0º = 106,30 │4,32º i 2 - 100,0 i1 
 
- 127,0 │30,0º = 103,121 │- 2,78º i 1 - 100,0 i2 
 
 
100 i 1 = 106,30 │4,32º i 2 - 220,0 │ 0,0º 
 
 
i 1 = 1, 063 │4, 32º - 2, 200 │0, 0º 
 
 
- 127,0 │30,0º = 103,121 │- 2,78º [ i 1 = 1, 063 │4, 32º - 2, 200 │0, 0º ] - 100,0 i 2 
 
)(67,49809,13
10,17021,10
57,32382,138
946,2578,9
503,74614,1162 A
j
ji oo
o
−∠=
∠
−∠
=
+
−
= 
 
ooo xi 02,267,49809,1332,4063,11 ∠−−∠∠= 
 
2,2443,10316,1002,235,45679,141 −−=∠−−∠= ji oo 
 
)(15,52226,13443,10116,81 Aji o−∠=−= 
 
=− 21 ii o15,52226,1367,49809,13 −∠−−∠ 
 
=− 21 ii 0,821 - j 0,084 = )(84,5825,0 Ao−∠ 
 
Tensão no Aquecedor: 
 
VAB = )(84,5600,820,10084,5826,0 Vx oo −∠=−∠ 
 
Potência Dissipada no Aquecedor: 
 
P = R x i 2 = 100,0 x 0,826 2 = 68,228 W. 
 
4) O circuito da figura é alimentado por uma tensão v(t) = 100,0 sen (100 t + 50), com R = 
300,0 Ω, L = 0,5 H e C = 10,0 µF. Calcular: 
Cuidado: v(t) = 100,0 cos (100t +50 – 90) = 100,0 cos (100t – 40) = 100,0│-40, 0º 
a) As reatâncias indutiva (XL) e a capacitiva (XC). 
b) A impedância Z eq 
c) As correntes em cada ramo e a corrente total. 
 
 
 23 
 
a) XL = j w L = j100,0 x 0,5 = 50, 0 │90, 0º Ω 
 
 XC = oo
xxwC
j 900,100090
1010100
1
6 −∠=−∠=− − 
b) oo
CL jXjXRZeq 900,1000
1
900,50
1
300
11111
−∠
+
∠
+=
−
++= 
 
oo
Zeq
90001,09002,000333,01 +∠+−∠+= 
 
Zeq = Ω∠ o05,80840,51 
 
 
 
Ou, ainda: 
c) )(40333,0
00,300
400,100
0,300 Ai
o
o
o
−∠=
∠
−∠
=Ω 
 
 )(1300,2
900,50
400,100
5,0 Ai
o
o
o
H −∠=∠
−∠
= 
 
 )(50100,0
900,1000
400,100
10 Ai
o
o
o
F ∠=−∠
−∠
=µ 
 
 =++= 321 iiiitotal )(40333,0 A
o−∠ + )(1300,2 Ao−∠ + )(50100,0 Ao∠ 
 
=totali 0,255 – j0,214 – 1, 286 – j1,532 + 0,064 + j0,077 = - 0,967 – j 1,669 
 = 1,929 │-120,09º 
 
Zeq = =
totali
v )(09,80840,51
09,120929,1
400,100
Ω∠=
−∠
−∠ o
o
 
 
4) O circuito é alimentado por uma tensão v (t) = 100 cos wt = 100,0 │0º (V). 
Calcular as correntes i1 e i2. 
 
100,0 │0º = ( 5 + 10) i 1 + j wL i 1 - 10 i 2 - j w L i 2 
 
0 = 20 i 2 + j w L i 2 - j w L i 1 
 
 
 24 
100 = 15 i 1 + j w L ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j w L ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1 
 
 100 = 15 i 1 + j w L ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j w L ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1 
100 = 15 i 1 + j 2 π 60 x 2 ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j 2 π 60 x 2 ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1 
 
100 = 15 i 1 + j 753, 982 ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j 753, 982 ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1 
 
1122 1090982,75390982,75320 iiii
oo +∠=∠+ 
 
1090982,753
)90982,75320(
1090982,753
90982,75320 222
1 +∠
∠+
=
+∠
∠+
=
iiii
o
o
o
 
 
2221 76,0000,124,89048,754
)48,88247,754(
)982,75310(
)982,75320( iii
j
ji oo
o
−∠=
∠
∠
=
+
+
= 
 
2222 1090982,753)76,0000,1(90982,753)76,0000,1(15100 iiii
oooo −∠−−∠∠+−∠=
 
2222 10982,75324,89982,75376,015100 iijii
oo −−∠+−∠= 
 
2)265,0999,14(0,100 ij−= 
)(012,1666,6
012,1001,15
0,.100012,1001,150,100 22 Aii ∠=−∠
=−∠= 
 
)(25,0666,6)(012,1666,676,0000,11 AAxi
ooo ∠=∠−∠=