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Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará – CEFET/CE Curso de Licenciatura em Física Disciplina: Tópicos de Matemática Aplicados à Física Prof.: José Carlos Carneiro Aula 1 1. Introdução Muitos problemas importantes e significativos da física, engenharia e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são as equações diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da 2ª lei de Newton F = m.a. Se x(t) é a posição no instante t de uma partícula de massa m submetida a uma força F, temos: )1(,,,2 2 dt dxxtF dt xdm onde a força F pode ser função de t, x e da velocidade dt dx . A fim de determinar o movimento da partícula sob a ação da força F é necessário encontrar uma função x que obedeça à equação (1). Além do ponto de vista matemático, por si só relevante, o estudo de equações diferenciais é muito importante do ponto de vista físico. Para uma boa parte dos sistemas físicos conhecidos até o momento, a equação ou equações que descrevem os fenômenos, pelo menos de forma aproximada, são equações diferenciais. Alguns exemplos de aplicações de equações diferenciais são: - Movimento de projéteis, planetas e satélites; - Estudo do decaimento radioativo de núcleos instáveis; - Propagação do calor através de uma barra; - Estudo de todos os tipos de ondas; - Crescimento de população; - Estudo de reações químicas; - Descrição quântica de um átomo de hidrogênio; - Cálculo do potencial elétrico de uma distribuição de cargas; - Estudo do oscilador harmônico. Os sistemas acima são apenas uma amostra da grande utilização das equações diferenciais. Um dos objetivos desse curso é o de discutir algumas propriedades das soluções das equações diferenciais e descrever alguns dos métodos que se mostraram eficientes para encontrar as soluções. A fim de se ter uma estrutura para balizar nosso estudo, mencionaremos inicialmente algumas maneiras úteis de classificar as equações diferenciais. CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 1 2. Classificação das Equações Diferenciais Uma das classificações mais evidentes se baseia em a função desconhecida depender de uma só variável independente ou de diversas variáveis independentes. Uma equação diferencial que envolve apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a apenas uma variável independente é chamada equação diferencial ordinária (E.D.O). As equações, )4(ln )3(cos35 )2(0 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 2 z dz xdy dz yd tx dt xd dt xd dx dyxy dx yd são exemplos de equações diferenciais ordinárias. Na equação (2), a variável independente é x, enquanto que a dependente é y = y(x). Na equação (3), a variável independente é t, e agora x = x(t) é uma variável dependente. Por fim, na equação (4) temos duas funções da variável z, que são x(z) e y(z). Uma equação diferencial que envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a mais de uma variável independente é chamada equação diferencial parcial (E.D.P). As equações, )6(0 )5( 3 2 2 2 2 y u y v x v x u v t v s v são exemplos de equações diferenciais parciais. Na equação 5, s e t são as variáveis independentes, e temos v = v(s,t). Na equação (6), temos u = u(x,y) e v = v(x,y), que são as variáveis dependentes, e x e y são as independentes. Antes de prosseguirmos com mais exemplos, convém fixar pormenores acerca da notação. Empregaremos, comumente, y = f(x) ou, simplesmente, y = y(x) para indicar que y é uma função da variável x. As derivadas dessa função poderão ser indicadas do seguinte modo: ,, ,, 2 2 xxx yy ou dx yd dx dy E quando não houver necessidade de se especificar a variável independente usaremos: ,, ''' yy Assim, yn indicará a n-ésima derivada de y = f(x). A fim de evitar confusão com potenciação, a potência n-ésima da função y será indicada por: (y)n. Onde conveniente, o sinal comum de derivação parcial será empregado. Se u CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 2 = u(x,y,z,t, . . .) é uma função de várias variáveis, podemos usar várias notações diferentes para as derivadas parciais de u. Por exemplo, a derivada parcial de u em relação à variável x, que é a primeira variável, poderá ser denotada por uu x u xx ,, De maneira análoga, as derivadas de segunda ordem poderão ser denotadas por uu x u xxx 2 2 2 ,, no caso de derivação em relação à mesma variável x e, no caso de variáveis diferentes, derivando primeiro em relação a x e depois a y. uu xy u xyxy ,, 2 Dois exemplos de equações diferenciais ordinárias, além da eq.(1), são: - A equação da carga Q(t) de um capacitor num circuito com capacitância C, resistência R, indutância L e voltagem externa E(t). )7(),()(1)()(2 2 tEtQ Cdt tdQR dt tQdL - E a equação que governa o decaimento de uma substância radioativa com o tempo m(t), como por exemplo, o do rádio. )8(),()( tkm dt tdm onde k é uma constante conhecida. Exemplos típicos de equações diferenciais parciais são as equações da física matemática: Equação do Potencial ou Equação de Laplace )9(,0),(),( 2 2 2 2 y yxu x yxu A Equação de Difusão ou Equação de Fourier )10(,),(),( 2 2 2 t txu x txu E a Equação da Onda )11(,),(),( 2 2 2 2 2 t txu x txua Nessas equações 2 e a2 são constantes determinadas. A equação do potencial, a equação da difusão e a equação da onda aparecem em muitos problemas de eletricidade e magnetismo, na elasticidade e na mecânica dos fluidos. Cada qual é típica de certos fenômenos físicos e cada uma delas é representativa de uma grande classe de equações diferenciais parciais. Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importantes, seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria de equações diferenciais ordinárias. 3. Ordem e Grau de Uma Equação Diferencial 3.1 Ordem de uma Equação Diferencial CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 3 A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Por exemplo, xey dx dy dx yd 45 3 2 2 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (ou de ordem dois). A equação 02 2 4 4 2 t u x ua é uma equação diferencial parcial de quarta ordem. Assim as equações (1) e (7) são equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, e a equação (8) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. As eqs. (9), (10) e (11) são equações diferenciais parciais de segunda ordem. Se y é uma função de x, a expressão )12(,0,,,,, 2 2 n n dx yd dx yd dx dyyxF é uma equação diferencial ordinária de ordem n. Se u é uma função de variáveis independentes x1, x2, . . . . . , xn, a expressão 0),,, ,,,,,,,,,( 1 2 2 1 2 1 21 k n k n n n x u xx u x u x u x uuxxxF é uma equação diferencial parcial de ordem k. 3.2 Grau de uma equação Diferencial O grau de uma equação diferencial é o valor do expoente da derivada de maior ordem que nela aparece. As equações (1), (7) e (8) são do primeiro grau. Já a equação 04''2 ytyy é do segundo grau. Obs: - Nem toda equação diferencial pode ser classificada segundo o grau. Por exemplo, a equação, 12 2 2 2 dx dy dx yde y não possui grau, pois não pode ser escrita sob forma de um polinômio na função incógnita e suas derivadas, em razão da presença do termo ye . 4. Soluções de uma Equação Diferencial Resolver ou integrar uma equação diferencial é obter todas as relações f(x,y) = 0, tais que os valores de y e das derivadas de y satisfaçam identicamente a equação. Tais relações dizem-se soluções, primitivas ou integrais da equação diferencial dada. Assim a integral ou solução da equação diferencial 0,,,,, ''' nyyyyxF é toda função y de x que a satisfaça identicamente. CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 4 É fácil verificar, por substituição direta, que a equação de primeira ordem (8), km dt dm tem a solução )13(,,)( tectm kt onde c é uma constante arbitrária. Analogamente, as funções tty cos)(1 e )sen(2 ty são soluções da equação )14(,0'' yy , para todos os valores de t. Como exemplo mais complicado, verificamos que ttty ln)( 21 é solução de )15(.0,04'3''2 tytyyt Temos sucessivamente, tt t tty ttttt t tty ttty ln23ln2121)( ,ln2ln21)( ,ln)( 1 '' 2 1 ' 2 1 Fazendo a substituição na equação diferencial dada, obtemos, 046233 ln4ln23ln23 222 22 ttt tttttttt o que mostra ser ttty ln)( 21 uma solução da equação dada. Pode-se mostrar que 22 )( tty também é uma solução da equação dada. Embora para as eqs. (8), (14) e (15) sejamos capazes de verificar que certas funções simples são soluções, em geral não dispomos prontamente de uma solução. Assim, uma questão fundamental é a seguinte: Será que uma equação da forma (12) sempre tem uma solução? A resposta é não. Sendo assim, como podemos saber se uma certa equação em particular tem solução? Esta é a questão de existência de uma solução, que não é de interesse apenas dos matemáticos, pelo menos por duas razões. Se um problema não tem solução, é melhor conhecermos este fato antes de investirmos tempo e esforço em uma tentativa inútil de resolvê-lo. Além disso, se um problema real de física é expresso matematicamente por uma equação diferencial, esta equação deve ter solução; se não tiver, é porque existe algo de errado na formulação do problema. Em segundo lugar, admitindo que uma certa equação tenha uma solução, terá esta equação outras soluções? Se tiver, quais as condições adicionais que devem ser enunciadas a fim de identificar uma certa solução particular? Esta é uma questão de unicidade. As questões de existência e unicidade são questões difíceis, por isso mesmo não as discutiremos neste curso. Em geral, as soluções de equações diferenciais contêm uma ou mais constantes arbitrárias, como na solução (13) da equação (8). A eq. (13) representa uma infinidade de soluções, cada qual correspondendo a uma escolha da constante c entre as infinidades de escolhas possíveis. Uma terceira indagação é de caráter mais prático: dada uma equação diferencial na forma (12), é possível determinar uma solução e, se for, de que maneira? Observe que se CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 5 encontrarmos uma solução de uma dada equação teremos, ao mesmo tempo, respondido à questão da existência de uma solução. Mesmo que saibamos que uma solução existe, pode acontecer que a solução não possa exprimir-se em termos das funções elementares usuais – funções algébricas, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas. Infelizmente esta é a situação para a maioria das equações. 4.1 Solução Geral e Solução Particular Chama-se solução geral de uma equação diferencial de ordem n, uma solução em que figurem n constantes arbitrárias. A solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. Assim, a solução geral de uma equação diferencial de ordem n da forma (7), 0,,,,, ''' nyyyyxF assume a forma n n CCCxfy ou CCCyxG ,,,, 0,,,,, 21 21 onde C1, C2, ......., Cn são constantes arbitrárias. Este fato se pode justificar observando que na resolução de uma equação diferencial de ordem n estão implícitas n integrações. Chama-se particular toda solução de uma equação diferencial que se obtém atribuindo valores particulares às constantes arbitrárias que figuram na solução geral. A solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da mesma. 4.2 Solução Implícita e Solução Explícita As soluções de uma equação diferencial podem ser do tipo explícita ou implícita. Uma solução para uma equação diferencial na forma (12) que pode ser escrita na forma y = f(x) é chamada de solução explícita. Por exemplo, 2xey é uma solução explícita de xy dx dy 2 . Assim como xxeyexy 16 4 são soluções explícitas de 2 1 yx dx dy e 022 2 y dx dy dx yd , respectivamente. Uma solução implícita para uma equação diferencial na forma (12) é uma relação f(x,y) = 0 a qual, através de derivações implícitas, reproduz a equação diferencial inicial. Por exemplo, a relação, f(x,y) = x2 + y2 – 4 = 0 é uma solução implícita para a equação diferencial y x dx dy pois, tomando a derivada implícita de f(x,y) com relação a x, temos CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 6 y x dx dyou dx dyyx dx dy dx dx dx d dx dyx dx dyxf dx d 022 0)4()()( )0()4(),( 22 22 que é a equação diferencial inicial. Esta solução implícita pode ser desmembrada em duas outras, y1 e y2, que neste caso são explícitas, a saber, 2 2 2 1 4)(4)( xxyexxy Todavia, esse desmembramento em geral não é possível, e ficamos apenas com a solução implícita. Como a distinção entre uma solução explícita e implícita é intuitivamente clara, não nos daremos ao trabalho de dizer sempre: “aqui temos uma solução explícita (implícita)”. 5. Problema de Valor Inicial e Problema com Condições de Contorno Quando um dado fenômeno, além de uma equação diferencial que o descreve, tem ainda que seguir certas condições iniciais, estabelecidas a priori, para um mesmo valor da variável independente, dizemos que temos um problema de valor inicial. Como exemplo, consideremos um corpo em queda livre. O movimento desse corpo é descrito por uma equação diferencial, e as condições iniciais são a altura da qual ele foi solto e a velocidade inicial com a qual ele iniciou o movimento. Se a queda for no vácuo, temos, considerando a origem no chão e altura representada por y(t), a equação, g dt yd 2 2 Com as condições iniciais, 0' 0 0 00)0( vvydt dyeyy a função y(t), que é solução desta equação diferencial, tem necessariamente que satisfazer as condições iniciais, que foramdadas para o valor de t = 0. Se um fenômeno descrito por uma equação diferencial tiver alguma condição especificada para dois ou mais valores da variável independente, temos um problema com condições de contorno. Por exemplo, considerando um caso idêntico ao anterior, mas com condições dadas em duas alturas diferentes, ou seja, algo como, g dt yd 2 2 Com as condições de contorno, 20 )2()0( yyeyy temos um problema com condições de contorno, dadas para os tempos t = 0 e t = 2. Nem sempre um problema com condições de contorno tem solução, apesar de que a equação diferencial sozinha, sem considerar as condições de contorno, pode ter. 6. Equações Lineares e Não-Lineares CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 7 Uma classificação importante das equações diferenciais é a que as divide em lineares e não-lineares. Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma, )16(,)()()( )()( 01 1 1 1 tgyta dt dyta dt ydta dt ydta n n nn n n ou de forma alternativa, )(0....... ,)(1 1 1 )( tgytayta nytna nytna Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau; isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1. Cada coeficiente ou é constante ou depende apenas da variável independente t. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. A classificação de equações diferenciais parciais (EDP’s) segundo linearidade e ordem é semelhante à classificação das equações diferenciais ordinárias (EDO’s). Por exemplo, a forma geral de uma equação de derivadas parciais de segunda ordem linear em duas variáveis independentes x e y é GFu y uE x uD y uC yx uB x uA 2 22 2 2 onde A, B, C, . . . , G são funções de x e y. Quando G(x,y)=0, a equação se diz homogênea; em caso contrário, é não- homogênea. As eqs. de (7) até (11), (14) e (15) são equações lineares. Uma equação que não tenha a forma de (16) é uma equação não-linear. Por exemplo, a equação 4'''2''' tyyyey t é uma equação diferencial ordinária de terceira ordem não-linear em virtude do termo 'yy . Um problema físico simples que leva a uma equação diferencial não-linear é o do pêndulo simples. O ângulo que um pêndulo de comprimento L faz com a direção vertical (ver figura abaixo) obedece à equação não-linear: 0sen2 2 L g dt d A teoria matemática e as técnicas correspondentes para a resolução das equações lineares estão muito desenvolvidas. Em contraposição, para as equações não-lineares a teoria é mais complicada e os métodos não são tão satisfatórios. CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 8 Por isso, é bom que muitos problemas importantes levem a equações diferenciais ordinárias lineares ou, pelo menos em primeira aproximação, a equações lineares. Por exemplo, no caso do problema do pêndulo, se o ângulo for pequeno, então sen e a equação anterior pode ser aproximada pela equação linear, 02 2 L g dt d O processo de aproximar uma equação não-linear por uma linear é chamado de linearização e constitui uma forma extremamente útil de lidar com equações não lineares. Entretanto, existem muitos fenômenos físicos que simplesmente não podem ser representados de forma adequada por equações lineares; para estudar esses fenômenos é essencial lidar com equações não-lineares. O estudo das equações diferenciais é complexo, existindo muitos manuais específicos sobre este assunto ou mesmo textos de cálculo avançado onde é possível encontrar um tratamento mais completo do que aqui será apresentado. Os métodos de soluções das equações diferenciais é um campo da matemática palco de muitas pesquisas e, com a disseminação crescente dos computadores digitais, os métodos numéricos para resolver equações diferenciais vêm, cada dia, desempenhando papel importante. Neste curso, trataremos apenas dos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias elementares. No estudo das equações diferenciais ordinárias iremos abordar os seguintes tópicos: Equações de Primeira Ordem a) Equações de Variáveis Separáveis. b) Equações Lineares. c) Equações Homogêneas. d) Equações Exatas. Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes. Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Modelagem com Equações Diferenciais. Exercícios de Aprendizagem 1 Para cada equação diferencial abaixo, diga a ordem, o grau e também se a equação é linear ou não-linear. a) 024 2 3 3 dt dy dt yd b) 643 2 22 y dt yd dt dy c) 25yy dt dy d) 323 3 cos tyt dt dyt dt yd e) 2 2 1 x u x uu t u CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 9 f) ghef h f g f ln 3 2 2 g) 02 3 xyz zy x 2 Verifique, para as equações diferenciais a seguir, se a função, ou funções dadas constitui solução. a) ttyetyyy t cosh)(,)(;0'' 21 b) 22 3;' ttytyyt c) tttytty tyytyt ln)(,)( ;0;04'5'' 2 2 2 1 2 3 Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem soluções da forma rtey . a) 0'' yy b) 0'2''3''' yyy Problemas de Fixação 1. Classifique quanto à ordem, o grau e o tipo, cada equação diferencial abaixo: a) ty dt dyt dt ydt sen22 2 2 b) 12 2 3 3 4 4 y dt dy dt yd dt yd dt yd c) tyt dt yd sen)sen(2 2 d) tey dt dyt dt ydy 2 2 2 )1( e) 02 4 4 2 2 2 2 4 4 y u y u x u x u f) 02 2 2 2 2 2 z u y u x u g) 02 2 2 2 u y uu x uu y u x u h) realcte t u x u ,2 2 2 i) 02 2 22 2 2 y u yx u x u j) 3 3 yx 2. Determinar os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem soluções da forma rty para t > 0. a) 02'4''2 yytyt b) 04'4''2 yytyt 3. Verificar se as funções dadas são soluções das respectivas equações diferenciais. a) ;03'2'' yyy tt etyety )(,)( 2 3 1 b) 20,sec'' ttyy tttty sencosln)(cos c) ;12' tyy t tst edseey 0 222 d) ;0,0'3''2 2 tyytyt CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 10 1 2 2 1 1 )(,)( ttytty e) ;02 2 2 2 y u x u yxyxu coshcos),(1 , )ln(),( 222 yxyxu f) t u x u 2 2 2 ctexetxu t ,sen),( 2 1 ctesexetxu t ,sen),( 22 2 g) 2 2 2 2 2 t u x ua ctesaeatxtxu ,sensen),(1 cteaatxtxu ,)sen(),(2 h) t u x u 2 2 2 0,),( 2 2 4 2 1 tectee t txu t x 4. Determine as constantes C1 e C2 para que a função y(x) atenda às condições indicadas:a) 2 8 ';0 8 ;12cos2sen)( 21 yy xCxCxy b) 1)0(';0)0( ;sen2)( 2 2 1 yy xeCeCxy xx 5. Verificar que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais indicadas. a) y = 2x + 8 ; 3 dx dy dx dyxy b) 0; 6 sen10 22 2 y dt ydty c) 0;1622 x dx dyyyx d) 6;653 2 2 y dx ydeey xx e) 042;0124 2 2 x dx dyy dx dyxyx 6. Determine uma solução do problema de valores de contorno 1 6 ,0 8 ;04'' yyyy , sabendo que a solução geral da equação diferencial é xcxsencxy 2cos2 21 . 7. Um balão sobe com uma velocidade de 5m/s. Uma pedra abandonada do balão atinge o solo após 5s. Achar a altura do balão no instante em que a pedra é abandonada. 8. Encontre a equação cartesiana da curva cuja 2ª derivada é igual a 6x, sabendo que a curva passa pelos pontos (1, -3) e (-2, 5). 9. Ache uma solução particular da equação diferencial x dx dy cos satisfazendo à condição inicial y = 2 para 2 x . 10. Mostre que xsenetxu t 2, 8 é solução do problema de valores de contorno CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 11 xsenxututu x u t u 20,;0,,0 ,2 2 2 11. A Equação das Ondas. Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, esta mostrará um padrão regular de picos e depressões em um dado instante. Veremos movimento vertical periódico no espaço, em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Em física, essa bela simetria é expressa pela equação de onda unidimensional ,2 2 2 2 2 x wc t w onde w é a altura da onda, x é a variável distância, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam. Em nosso cotidiano, x é a distância ao longo da superfície do mar, mas em outras aplicações x pode ser a distância ao longo de uma corda vibrando, a distância no ar (ondas sonoras) ou a distância no espaço (ondas luminosas). A constante c varia de acordo com o meio e o tipo de onda. Sendo c uma constante e ctxgctxfw , onde f(u) e g(v) são funções duas vezes diferenciáveis em relação a ctxu e ctxv , respectivamente, mostre que a relação funcional definida por w , satisfaz a equação diferencial denominada equação das ondas: vgufc x wc t w ''''2 2 2 2 2 2 12. Mostre que as funções abaixo, onde c é uma constante, são todas soluções da equação de onda do problema 11. a) ctxctxsenw 22cos b) ctxsenhctxw 44733cos5 c) ctxw 22ln 13. Mostre que y(x,t) = f(2x+5t) + g(2x- 5t) é solução geral de 2 2 2 2 254 x y t y ; f(u) e g(v) são funções duas vezes diferenciáveis em relação a ctxu e ctxv , respectivamente. Determine a solução particular que satisfaz às condições 00, ;20,;0,,0 xy xsenxytyty t 14. A Equação de Schrödinger da Mecânica Quântica. A equação de Schrödinger, de acordo com a Mecânica Quântica não Relativista, descreve, entre outras situações, aquela que se refere ao movimento de uma partícula de massa m sujeita a um campo de forças cujo potencial é uma função U. A equação de Schrödinger independente do tempo é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem cuja solução é a função de onda )(x . Para uma partícula que se move em 1 dimensão sob a ação de um potencial CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 12 U(x) a equação de Schrödinger independente do tempo é: )()()( 2 2 22 xExxU dx xd m onde 2 2 dx d é a derivada segunda de )(x em relação a x, E é a energia total da partícula, e h é a constante de Planck 2 h . A solução )(x é determinada pela forma da função potencial U(x) que dependerá do caso tratado. Para uma partícula livre a energia E é completamente cinética e, portanto, igual a m p 2 2 . De Broglie postulou que uma partícula livre com massa de repouso m, se deslocando com velocidade não-relativística v, deve possuir um comprimento de onda λ associado com seu momento linear ( mvp ) dado por p h . a) Mostre que para uma partícula livre, em que U(x) = 0, a função xsenx 2 satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo. b) O Método de Separação de variáveis. A equação de Schrödinger dependente do tempo em 1 dimensão é dada por: t txitxxU x tx m ,),()(, 2 2 22 Para uma partícula livre, mostre que a função h tEi exsentx 22, , satisfaz à equação de Schrödinger dependente do tempo. 15. A Equação de Laplace. A equação de Laplace tridimensional 0 zzyyxx fff é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário zyxfT ,, no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional 0 yyxx ff , obtida eliminando-se a parcela zzf da equação anterior, descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função abaixo satisfaz uma equação de Laplace: a) xeyxf y 2cos, 2 b) 22ln, yxyxf c) 222 2,, zyxzyxf d) zezyxf yx 5cos,, 43 16. Verifique que a função txe t txu 4 2 2 1, satisfaz à equação do calor xxt uu para t > 0 e qualquer x. 17. A temperatura T de uma placa metálica pode ser descrita por uma função T = u(x,y,t) de três variáveis, as duas variáveis de posição x e y e a variável de tempo t. A equação da condução de calor no espaço CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 13 bidimensional (plano) é a equação diferencial parcial yyxxt uuAu , onde A é uma constante positiva. Ache condições sobre a, b e c tais que )()(,, cysenbxsenetyxu ta satisfaça à equação diferencial parcial. 18. Em qualquer ponto (x,y,z) fora de uma massa m esfericamente simétrica localizada no ponto (x0,y0,z0), o potencial gravitacional V é definido por r GmV , onde r é a distância de (x,y,z) a (x0,y0,z0) e G é uma constante. Mostre que para todos os pontos fora da massa, V satisfaz à equação de Laplace, 02 2 2 2 2 2 z V y V x V 19. Se )(, bxsenetxu ta satisfaz à equação do calor xxt uu ache a relação entre a e b. 20. A vibração de um objeto bidimensional sob tensão, tal como a cabeça de um tambor é descrita por uma função u(x,y,t) de duas variáveis de espaço x e y e uma de tempo t. Uma tal função freqüentemente satisfaz à equação de onda bidimensional yyxxtt uucu 2 . Ache condições sobre as constantes a, b e k tais que ktsenbysenaxsentyxu ,, satisfaça a esta equação. “Todos os fenômenos naturais decorrem de um reduzido número de leis de movimento, matematicamente descritas como equações diferenciais no espaço e tempo. Esta é talvez a mais abrangente afirmação que podemos hoje fazer sobre a Natureza”. Prof. Alaor S. Chaves Gabarito:1. a) 2ªordem; 1°grau; linear. b) 4ªordem; 1°grau; linear. c) 2ªordem; 1°grau; não-linear. d) 2ªordem; 1°grau; não-linear. e) 4ªordem; 1°grau; linear. f) 2ªordem; 1°grau; linear. g) 2ªordem; 1°grau; não-linear. h) 2ªordem; 1°grau; linear. i) 2ªordem; 1°grau; linear. j) 3ªordem; 1°grau; não-linear. 2. a) -1 e -2 ; b) 1 e 4 4. a) 2 1 2 2 ; b) 1 6. xxseny 2cos213 7. 100m ; 8. 51733 3 xxy 9. 1 senxxy 11. txsentxy 5cos2, 17. 0;22 a cb aA 19. 2ba 20. 22 ba kc CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 14 Bibliografia: - Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, Editora MAKRON Books, George F. Simmons. - Curso de Cálculo Diferencial e Integral – Equações Diferenciais - Vol. 4, Editora Edgard Blücher Ltda, Willie A. Maurer. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 2, IBEC, Armando Righetto e Antônio S. Ferraudo. - Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 6ª edição, Editora LTC, William E. Boyce e Richard C. Diprima. - Equações Diferenciais Aplicadas à Física, 2ª edição, Editora UEPG, Kleber Daum Machado. - Equações Diferenciais, 1ª edição, Editora Almeida Neves-Editores LTDA, Leônidas Hegenberg. - Séries e Equações Diferenciais, 1ª edição, Editora Prentice Hall, Marivaldo P. Matos. Anotações CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 15 CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 16 Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará – CEFET/CE Curso de Licenciatura em Física Disciplina: Tópicos de Matemática Aplicados à Física Prof.: José Carlos Carneiro Aula 1
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