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Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará – CEFET/CE
Curso de Licenciatura em Física
Disciplina: Tópicos de Matemática Aplicados à Física
Prof.: José Carlos Carneiro
Aula 1
1. Introdução
 Muitos problemas importantes e
significativos da física, engenharia e
das ciências sociais, formulados em
termos matemáticos, exigem a
determinação de uma função que
obedece a uma equação que contém
uma ou mais derivadas da função
desconhecida. Estas equações são as
equações diferenciais. Talvez o exemplo
mais conhecido seja o da 2ª lei de
Newton F = m.a. Se x(t) é a posição no
instante t de uma partícula de massa m
submetida a uma força F, temos:
)1(,,,2
2






dt
dxxtF
dt
xdm
onde a força F pode ser função de t, x e
da velocidade 
dt
dx .
 A fim de determinar o movimento da
partícula sob a ação da força F é
necessário encontrar uma função x que
obedeça à equação (1).
 Além do ponto de vista matemático,
por si só relevante, o estudo de
equações diferenciais é muito
importante do ponto de vista físico.
Para uma boa parte dos sistemas físicos
conhecidos até o momento, a equação
ou equações que descrevem os 
fenômenos, pelo menos de forma
aproximada, são equações diferenciais.
 Alguns exemplos de aplicações de
equações diferenciais são:
- Movimento de projéteis,
planetas e satélites;
- Estudo do decaimento
radioativo de núcleos instáveis;
- Propagação do calor através de
uma barra;
- Estudo de todos os tipos de
ondas;
- Crescimento de população;
- Estudo de reações químicas;
- Descrição quântica de um
átomo de hidrogênio;
- Cálculo do potencial elétrico de
uma distribuição de cargas;
- Estudo do oscilador harmônico.
 Os sistemas acima são apenas uma
amostra da grande utilização das
equações diferenciais.
 Um dos objetivos desse curso é o de
discutir algumas propriedades das
soluções das equações diferenciais e
descrever alguns dos métodos que se
mostraram eficientes para encontrar as
soluções. A fim de se ter uma estrutura
para balizar nosso estudo,
mencionaremos inicialmente algumas
maneiras úteis de classificar as
equações diferenciais.
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 1
2. Classificação das Equações
Diferenciais
 Uma das classificações mais evidentes
se baseia em a função desconhecida
depender de uma só variável
independente ou de diversas variáveis
independentes.
 Uma equação diferencial que envolve
apenas derivadas ordinárias de uma ou
mais variáveis dependentes em relação
a apenas uma variável independente é
chamada equação diferencial ordinária
(E.D.O). As equações,
)4(ln
)3(cos35
)2(0
2
2
3
3
2
2
4
4
2
2
2
z
dz
xdy
dz
yd
tx
dt
xd
dt
xd
dx
dyxy
dx
yd








são exemplos de equações diferenciais
ordinárias. Na equação (2), a variável
independente é x, enquanto que a
dependente é y = y(x). Na equação (3),
a variável independente é t, e agora x =
x(t) é uma variável dependente. Por
fim, na equação (4) temos duas funções
da variável z, que são x(z) e y(z).
 Uma equação diferencial que envolve
derivadas parciais de uma ou mais
variáveis dependentes em relação a
mais de uma variável independente é
chamada equação diferencial parcial
(E.D.P).
 As equações,
)6(0
)5(
3
2
2
2
2























y
u
y
v
x
v
x
u
v
t
v
s
v
são exemplos de equações diferenciais
parciais.
 Na equação 5, s e t são as variáveis
independentes, e temos v = v(s,t). Na
equação (6), temos u = u(x,y) e v =
v(x,y), que são as variáveis
dependentes, e x e y são as
independentes.
 Antes de prosseguirmos com mais
exemplos, convém fixar pormenores
acerca da notação.
 Empregaremos, comumente, y = f(x)
ou, simplesmente, y = y(x) para indicar
que y é uma função da variável x.
 As derivadas dessa função poderão
ser indicadas do seguinte modo:


,,
,, 2
2
xxx yy
ou
dx
yd
dx
dy
 E quando não houver necessidade de
se especificar a variável independente
usaremos:
,, ''' yy
 Assim, yn indicará a n-ésima derivada
de y = f(x). A fim de evitar confusão
com potenciação, a potência n-ésima da
função y será indicada por: (y)n.
 Onde conveniente, o sinal comum de
derivação parcial será empregado. Se u
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 2
= u(x,y,z,t, . . .) é uma função de várias
variáveis, podemos usar várias
notações diferentes para as derivadas
parciais de u. Por exemplo, a derivada
parcial de u em relação à variável x,
que é a primeira variável, poderá ser
denotada por
uu
x
u
xx 
 ,,
 De maneira análoga, as derivadas de
segunda ordem poderão ser denotadas
por
uu
x
u
xxx
2
2
2
,, 


no caso de derivação em relação à
mesma variável x e, no caso de
variáveis diferentes, derivando
primeiro em relação a x e depois a y.
uu
xy
u
xyxy 
 ,,
2
 Dois exemplos de equações
diferenciais ordinárias, além da eq.(1),
são:
- A equação da carga Q(t) de um
capacitor num circuito com
capacitância C, resistência R,
indutância L e voltagem externa E(t).
)7(),()(1)()(2
2
tEtQ
Cdt
tdQR
dt
tQdL 
- E a equação que governa o
decaimento de uma substância
radioativa com o tempo m(t), como por
exemplo, o do rádio.
)8(),()( tkm
dt
tdm

onde k é uma constante conhecida.
 Exemplos típicos de equações
diferenciais parciais são as equações da
física matemática:
 Equação do Potencial ou
Equação de Laplace
)9(,0),(),( 2
2
2
2






y
yxu
x
yxu
 A Equação de Difusão ou
Equação de Fourier
)10(,),(),( 2
2
2
t
txu
x
txu






 E a Equação da Onda
)11(,),(),( 2
2
2
2
2
t
txu
x
txua






 Nessas equações 2 e a2 são
constantes determinadas. A equação do
potencial, a equação da difusão e a
equação da onda aparecem em muitos
problemas de eletricidade e
magnetismo, na elasticidade e na
mecânica dos fluidos. Cada qual é
típica de certos fenômenos físicos e
cada uma delas é representativa de
uma grande classe de equações
diferenciais parciais.
 Embora as equações diferenciais
parciais sejam muito importantes, seu
estudo demanda um bom conhecimento
da teoria de equações diferenciais
ordinárias.
3. Ordem e Grau de Uma Equação
Diferencial
3.1 Ordem de uma Equação Diferencial
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 3
 A ordem de uma equação diferencial
é a ordem da derivada de maior ordem
que aparece na equação. Por exemplo,
xey
dx
dy
dx
yd





 45
3
2
2
é uma equação diferencial ordinária de
segunda ordem (ou de ordem dois).
 A equação 02
2
4
4
2 






t
u
x
ua é uma
equação diferencial parcial de quarta
ordem.
 Assim as equações (1) e (7) são
equações diferenciais ordinárias de
segunda ordem, e a equação (8) é uma
equação diferencial ordinária de
primeira ordem. As eqs. (9), (10) e (11)
são equações diferenciais parciais de
segunda ordem.
 Se y é uma função de x, a expressão
)12(,0,,,,, 2
2






n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF 
é uma equação diferencial ordinária de
ordem n.
 Se u é uma função de variáveis
independentes x1, x2, . . . . . , xn, a
expressão
0),,,
,,,,,,,,,(
1
2
2
1
2
1
21










k
n
k
n
n
n
x
u
xx
u
x
u
x
u
x
uuxxxF


é uma equação diferencial parcial de
ordem k.
3.2 Grau de uma equação Diferencial
 O grau de uma equação diferencial é
o valor do expoente da derivada de
maior ordem que nela aparece.
 As equações (1), (7) e (8) são do
primeiro grau. Já a equação
04''2  ytyy é do segundo grau.
Obs:
- Nem toda equação diferencial pode
ser classificada segundo o grau. Por
exemplo, a equação,
12
2
2
2






dx
dy
dx
yde y
não possui grau, pois não pode ser
escrita sob forma de um polinômio na
função incógnita e suas derivadas, em
razão da presença do termo ye .
4. Soluções de uma Equação
Diferencial
 Resolver ou integrar uma equação
diferencial é obter todas as relações
f(x,y) = 0, tais que os valores de y e das
derivadas de y satisfaçam
identicamente a equação.
 Tais relações dizem-se soluções,
primitivas ou integrais da equação
diferencial dada.
 Assim a integral ou solução da
equação diferencial
  0,,,,, ''' nyyyyxF 
é toda função y de x que a satisfaça
identicamente.
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 4
 É fácil verificar, por substituição
direta, que a equação de primeira
ordem (8),
km
dt
dm

tem a solução
)13(,,)(   tectm kt
onde c é uma constante arbitrária.
 Analogamente, as funções
tty cos)(1  e )sen(2 ty  são soluções
da equação )14(,0''  yy , para
todos os valores de t.
 Como exemplo mais complicado,
verificamos que ttty ln)( 21  é solução
de )15(.0,04'3''2  tytyyt
 Temos sucessivamente,
tt
t
tty
ttttt
t
tty
ttty
ln23ln2121)(
,ln2ln21)(
,ln)(
1
''
2
1
'
2
1













 Fazendo a substituição na equação
diferencial dada, obtemos,
   
  046233
ln4ln23ln23
222
22


ttt
tttttttt
o que mostra ser ttty ln)( 21  uma
solução da equação dada. Pode-se
mostrar que 22 )( tty  também é uma
solução da equação dada.
 Embora para as eqs. (8), (14) e (15)
sejamos capazes de verificar que certas
funções simples são soluções, em geral
não dispomos prontamente de uma
solução. Assim, uma questão
fundamental é a seguinte: Será que
uma equação da forma (12) sempre tem
uma solução? A resposta é não.
 Sendo assim, como podemos saber se
uma certa equação em particular tem
solução? Esta é a questão de existência
de uma solução, que não é de interesse
apenas dos matemáticos, pelo menos
por duas razões. Se um problema não
tem solução, é melhor conhecermos
este fato antes de investirmos tempo e
esforço em uma tentativa inútil de
resolvê-lo. Além disso, se um problema
real de física é expresso
matematicamente por uma equação
diferencial, esta equação deve ter
solução; se não tiver, é porque existe
algo de errado na formulação do
problema.
 Em segundo lugar, admitindo que
uma certa equação tenha uma solução,
terá esta equação outras soluções? Se
tiver, quais as condições adicionais que
devem ser enunciadas a fim de
identificar uma certa solução
particular? Esta é uma questão de
unicidade. As questões de existência e
unicidade são questões difíceis, por isso
mesmo não as discutiremos neste curso.
 Em geral, as soluções de equações
diferenciais contêm uma ou mais
constantes arbitrárias, como na solução
(13) da equação (8).
 A eq. (13) representa uma infinidade
de soluções, cada qual correspondendo
a uma escolha da constante c entre as
infinidades de escolhas possíveis.
 Uma terceira indagação é de caráter
mais prático: dada uma equação
diferencial na forma (12), é possível
determinar uma solução e, se for, de
que maneira? Observe que se
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 5
encontrarmos uma solução de uma
dada equação teremos, ao mesmo
tempo, respondido à questão da
existência de uma solução.
 Mesmo que saibamos que uma
solução existe, pode acontecer que a
solução não possa exprimir-se em
termos das funções elementares usuais
– funções algébricas, trigonométricas,
exponenciais, logarítmicas e
hiperbólicas. Infelizmente esta é a
situação para a maioria das equações.
4.1 Solução Geral e Solução Particular
 Chama-se solução geral de uma
equação diferencial de ordem n, uma
solução em que figurem n constantes
arbitrárias. A solução geral da equação
diferencial é o conjunto de todas as suas
soluções.
 Assim, a solução geral de uma
equação diferencial de ordem n da
forma (7),
  0,,,,, ''' nyyyyxF 
assume a forma
 
 n
n
CCCxfy
ou
CCCyxG
,,,,
0,,,,,
21
21




onde C1, C2, ......., Cn são constantes
arbitrárias. Este fato se pode justificar
observando que na resolução de uma
equação diferencial de ordem n estão
implícitas n integrações.
 Chama-se particular toda solução de
uma equação diferencial que se obtém
atribuindo valores particulares às
constantes arbitrárias que figuram na
solução geral. A solução particular de
uma equação diferencial é qualquer
solução da mesma.
4.2 Solução Implícita e Solução
Explícita
 As soluções de uma equação
diferencial podem ser do tipo explícita
ou implícita.
 Uma solução para uma equação
diferencial na forma (12) que pode ser
escrita na forma y = f(x) é chamada de
solução explícita.
 Por exemplo, 2xey  é uma solução
explícita de xy
dx
dy 2 . Assim como
xxeyexy 
16
4
 são soluções
explícitas de 2
1
yx
dx
dy
 e
022
2
 y
dx
dy
dx
yd , respectivamente.
 Uma solução implícita para uma
equação diferencial na forma (12) é
uma relação f(x,y) = 0 a qual, através
de derivações implícitas, reproduz a
equação diferencial inicial.
 Por exemplo, a relação,
f(x,y) = x2 + y2 – 4 = 0
é uma solução implícita para a equação
diferencial
y
x
dx
dy

pois, tomando a derivada implícita de
f(x,y) com relação a x, temos
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 6
y
x
dx
dyou
dx
dyyx
dx
dy
dx
dx
dx
d
dx
dyx
dx
dyxf
dx
d



022
0)4()()(
)0()4(),(
22
22
que é a equação diferencial inicial. Esta
solução implícita pode ser
desmembrada em duas outras, y1 e y2,
que neste caso são explícitas, a saber,
2
2
2
1 4)(4)( xxyexxy 
 Todavia, esse desmembramento em
geral não é possível, e ficamos apenas
com a solução implícita.
 Como a distinção entre uma solução
explícita e implícita é intuitivamente
clara, não nos daremos ao trabalho de
dizer sempre: “aqui temos uma solução
explícita (implícita)”.
5. Problema de Valor Inicial e
Problema com Condições de Contorno
 Quando um dado fenômeno, além de
uma equação diferencial que o
descreve, tem ainda que seguir certas
condições iniciais, estabelecidas a
priori, para um mesmo valor da
variável independente, dizemos que
temos um problema de valor inicial.
 Como exemplo, consideremos um
corpo em queda livre. O movimento
desse corpo é descrito por uma equação
diferencial, e as condições iniciais são a
altura da qual ele foi solto e a
velocidade inicial com a qual ele iniciou
o movimento. Se a queda for no vácuo,
temos, considerando a origem no chão
e altura representada por y(t), a
equação,
g
dt
yd
2
2
Com as condições iniciais,
    0'
0
0 00)0( vvydt
dyeyy 
a função y(t), que é solução desta
equação diferencial, tem
necessariamente que satisfazer as
condições iniciais, que foramdadas
para o valor de t = 0.
 Se um fenômeno descrito por uma
equação diferencial tiver alguma
condição especificada para dois ou
mais valores da variável independente,
temos um problema com condições de
contorno.
 Por exemplo, considerando um caso
idêntico ao anterior, mas com condições
dadas em duas alturas diferentes, ou
seja, algo como,
g
dt
yd
2
2
Com as condições de contorno,
20 )2()0( yyeyy 
temos um problema com condições de
contorno, dadas para os tempos t = 0 e
t = 2. Nem sempre um problema com
condições de contorno tem solução,
apesar de que a equação diferencial
sozinha, sem considerar as condições
de contorno, pode ter.
6. Equações Lineares e Não-Lineares
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 7
 Uma classificação importante das
equações diferenciais é a que as divide
em lineares e não-lineares.
 Uma equação diferencial é chamada
de linear quando pode ser escrita na
forma,
)16(,)()()(
)()(
01
1
1
1
tgyta
dt
dyta
dt
ydta
dt
ydta n
n
nn
n
n

 




ou de forma alternativa,
   
  )(0.......
,)(1
1
1
)(
tgytayta
nytna
nytna











 Observe que as equações diferenciais
lineares são caracterizadas por duas
propriedades:
 A variável dependente y e todas
as suas derivadas são do
primeiro grau; isto é, a potência
de cada termo envolvendo y é 1.
 Cada coeficiente ou é constante
ou depende apenas da variável
independente t.
 Uma equação que não é linear é
chamada de não-linear.
 A classificação de equações
diferenciais parciais (EDP’s) segundo
linearidade e ordem é semelhante à
classificação das equações diferenciais
ordinárias (EDO’s).
 Por exemplo, a forma geral de uma
equação de derivadas parciais de
segunda ordem linear em duas
variáveis independentes x e y é
GFu
y
uE
x
uD
y
uC
yx
uB
x
uA
















2
22
2
2
onde A, B, C, . . . , G são funções de x e
y. Quando G(x,y)=0, a equação se diz
homogênea; em caso contrário, é não-
homogênea.
 As eqs. de (7) até (11), (14) e (15) são
equações lineares. Uma equação que
não tenha a forma de (16) é uma
equação não-linear. Por exemplo, a
equação 4'''2''' tyyyey t  é uma
equação diferencial ordinária de
terceira ordem não-linear em virtude
do termo 'yy  .
 Um problema físico simples que leva
a uma equação diferencial não-linear é
o do pêndulo simples. O ângulo  que
um pêndulo de comprimento L faz com
a direção vertical (ver figura abaixo)
obedece à equação não-linear:
0sen2
2
 
L
g
dt
d
 A teoria matemática e as técnicas
correspondentes para a resolução das
equações lineares estão muito
desenvolvidas. Em contraposição, para
as equações não-lineares a teoria é mais
complicada e os métodos não são tão
satisfatórios.
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 8
 Por isso, é bom que muitos problemas
importantes levem a equações
diferenciais ordinárias lineares ou, pelo
menos em primeira aproximação, a
equações lineares. Por exemplo, no caso
do problema do pêndulo, se o ângulo 
for pequeno, então sen   e a equação
anterior pode ser aproximada pela
equação linear,
02
2
 
L
g
dt
d
 O processo de aproximar uma
equação não-linear por uma linear é
chamado de linearização e constitui
uma forma extremamente útil de lidar
com equações não lineares. Entretanto,
existem muitos fenômenos físicos que
simplesmente não podem ser
representados de forma adequada por
equações lineares; para estudar esses
fenômenos é essencial lidar com
equações não-lineares.
 O estudo das equações diferenciais é
complexo, existindo muitos manuais
específicos sobre este assunto ou
mesmo textos de cálculo avançado onde
é possível encontrar um tratamento
mais completo do que aqui será
apresentado.
 Os métodos de soluções das equações
diferenciais é um campo da matemática
palco de muitas pesquisas e, com a
disseminação crescente dos
computadores digitais, os métodos
numéricos para resolver equações
diferenciais vêm, cada dia,
desempenhando papel importante.
 Neste curso, trataremos apenas dos
métodos de resolução de equações
diferenciais ordinárias elementares.
 No estudo das equações diferenciais
ordinárias iremos abordar os seguintes
tópicos:
 Equações de Primeira Ordem
a) Equações de Variáveis Separáveis.
b) Equações Lineares.
c) Equações Homogêneas.
d) Equações Exatas.
 Equações Diferenciais Lineares
Homogêneas com Coeficientes
Constantes.
 Equações Diferenciais Lineares
de Segunda Ordem com
Coeficientes Constantes.
 Modelagem com Equações
Diferenciais.
Exercícios de Aprendizagem
1 Para cada equação diferencial
abaixo, diga a ordem, o grau e também
se a equação é linear ou não-linear.
a) 024
2
3
3






dt
dy
dt
yd
b) 643 2
22





 y
dt
yd
dt
dy
c) 25yy
dt
dy

d)   323
3
cos tyt
dt
dyt
dt
yd

e) 2
2
1
x
u
x
uu
t
u








CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 9
f) ghef
h
f
g
f










 ln
3
2
2
g) 02
3


 xyz
zy
x
2 Verifique, para as equações
diferenciais a seguir, se a função, ou
funções dadas constitui solução.
a) ttyetyyy t cosh)(,)(;0'' 21 
b) 22 3;' ttytyyt 
c)
tttytty
tyytyt
ln)(,)(
;0;04'5''
2
2
2
1
2



3 Determine os valores de r para os
quais a equação diferencial dada tem
soluções da forma rtey  .
a) 0''  yy
b) 0'2''3'''  yyy
Problemas de Fixação
1. Classifique quanto à ordem, o grau e
o tipo, cada equação diferencial abaixo:
a) ty
dt
dyt
dt
ydt sen22
2
2 
b) 12
2
3
3
4
4
 y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dt
yd
c) tyt
dt
yd sen)sen(2
2

d) tey
dt
dyt
dt
ydy  2
2
2 )1(
e) 02 4
4
2
2
2
2
4
4












y
u
y
u
x
u
x
u
f) 02
2
2
2
2
2









z
u
y
u
x
u
g) 02
2
2
2











 u
y
uu
x
uu
y
u
x
u
h) realcte
t
u
x
u  ,2
2
2






i) 02 2
22
2
2









y
u
yx
u
x
u
j) 3
3
yx 






2. Determinar os valores de r para os
quais a equação diferencial dada tem
soluções da forma rty  para t > 0.
a) 02'4''2  yytyt
b) 04'4''2  yytyt
3. Verificar se as funções dadas são
soluções das respectivas equações
diferenciais.
a) ;03'2''  yyy
tt etyety   )(,)( 2
3
1
b) 20,sec''
 ttyy
tttty sencosln)(cos 
c) ;12'  tyy
  
t
tst edseey
0
222
d) ;0,0'3''2 2  tyytyt
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 10
1
2
2
1
1 )(,)(
 ttytty
e) ;02
2
2
2






y
u
x
u
yxyxu coshcos),(1  ,
)ln(),( 222 yxyxu 
f) 
t
u
x
u





 2
2
2
ctexetxu t  ,sen),(
2
1

ctesexetxu t  ,sen),(
22
2

g) 2
2
2
2
2
t
u
x
ua






ctesaeatxtxu  ,sensen),(1 
cteaatxtxu ,)sen(),(2 
h) 
t
u
x
u





 2
2
2
0,),( 2
2
4
2
1







tectee
t
txu t
x
 
4. Determine as constantes C1 e C2 para
que a função y(x) atenda às condições
indicadas:a)
2
8
';0
8
;12cos2sen)( 21












 yy
xCxCxy
b)
1)0(';0)0(
;sen2)( 2
2
1


yy
xeCeCxy xx
5. Verificar que as seguintes funções
são soluções das equações diferenciais
indicadas.
a) y = 2x + 8 ; 
3






dx
dy
dx
dyxy
b) 0;
6
sen10 22
2





  y
dt
ydty 
c) 0;1622  x
dx
dyyyx
d) 6;653 2
2
  y
dx
ydeey xx
e)
042;0124
2
2 




 x
dx
dyy
dx
dyxyx
6. Determine uma solução do problema
de valores de contorno
1
6
,0
8
;04'' 










 yyyy ,
sabendo que a solução geral da
equação diferencial é
  xcxsencxy 2cos2 21  .
7. Um balão sobe com uma velocidade
de 5m/s. Uma pedra abandonada do
balão atinge o solo após 5s. Achar a
altura do balão no instante em que a
pedra é abandonada.
8. Encontre a equação cartesiana da
curva cuja 2ª derivada é igual a 6x,
sabendo que a curva passa pelos pontos
(1, -3) e (-2, 5).
9. Ache uma solução particular da
equação diferencial x
dx
dy cos
satisfazendo à condição inicial y = 2
para 
2

x .
10. Mostre que   xsenetxu t 2, 8  é
solução do problema de valores de
contorno
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 11
      xsenxututu
x
u
t
u
20,;0,,0
,2 2
2







11. A Equação das Ondas. Se ficarmos
em uma praia e tirarmos uma
fotografia das ondas, esta mostrará um
padrão regular de picos e depressões
em um dado instante. Veremos
movimento vertical periódico no
espaço, em relação à distância. Se
ficarmos na água, poderemos sentir a
subida e descida da água com o passar
das ondas. Em física, essa bela simetria
é expressa pela equação de onda
unidimensional
,2
2
2
2
2
x
wc
t
w





onde w é a altura da onda, x é a
variável distância, t é a variável tempo
e c é a velocidade com a qual as ondas
se propagam.
Em nosso cotidiano, x é a distância ao
longo da superfície do mar, mas em
outras aplicações x pode ser a distância
ao longo de uma corda vibrando, a
distância no ar (ondas sonoras) ou a
distância no espaço (ondas luminosas).
A constante c varia de acordo com o
meio e o tipo de onda. Sendo c uma
constante e    ctxgctxfw  ,
onde f(u) e g(v) são funções duas vezes
diferenciáveis em relação a ctxu  e
ctxv  , respectivamente, mostre que
a relação funcional definida por w ,
satisfaz a equação diferencial
denominada equação das ondas:
    vgufc
x
wc
t
w ''''2
2
2
2
2
2






12. Mostre que as funções abaixo, onde
c é uma constante, são todas soluções
da equação de onda do problema 11.
a)    ctxctxsenw 22cos 
b)    ctxsenhctxw 44733cos5 
c)  ctxw 22ln 
13. Mostre que y(x,t) = f(2x+5t) + g(2x-
5t) é solução geral de 2
2
2
2
254
x
y
t
y





 ;
f(u) e g(v) são funções duas vezes
diferenciáveis em relação a ctxu  e
ctxv  , respectivamente. Determine
a solução particular que satisfaz às
condições
     
  00,
;20,;0,,0


xy
xsenxytyty
t

14. A Equação de Schrödinger da
Mecânica Quântica. A equação de
Schrödinger, de acordo com a
Mecânica Quântica não Relativista,
descreve, entre outras situações, aquela
que se refere ao movimento de uma
partícula de massa m sujeita a um
campo de forças cujo potencial é uma
função U. A equação de Schrödinger
independente do tempo é uma equação
diferencial ordinária de segunda ordem
cuja solução é a função de onda )(x .
Para uma partícula que se move em 1
dimensão sob a ação de um potencial
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 12
U(x) a equação de Schrödinger
independente do tempo é:
  )()()(
2 2
22
xExxU
dx
xd
m
  
onde 2
2
dx
d  é a derivada segunda de
)(x em relação a x, E é a energia total
da partícula, e h é a constante de
Planck 




 
2
h
 . A solução )(x é
determinada pela forma da função
potencial U(x) que dependerá do caso
tratado. Para uma partícula livre a
energia E é completamente cinética e,
portanto, igual a 
m
p
2
2
. De Broglie
postulou que uma partícula livre com
massa de repouso m, se deslocando com
velocidade não-relativística v, deve
possuir um comprimento de onda λ
associado com seu momento linear (
mvp  ) dado por p
h
 .
a) Mostre que para uma partícula livre,
em que U(x) = 0, a função
  




 

 xsenx 2 satisfaz à equação
de Schrödinger independente do
tempo.
b) O Método de Separação de variáveis.
A equação de Schrödinger dependente
do tempo em 1 dimensão é dada por:
   
t
txitxxU
x
tx
m 





,),()(,
2 2
22  
Para uma partícula livre, mostre que a
função   h
tEi
exsentx







 



22, ,
satisfaz à equação de Schrödinger
dependente do tempo.
15. A Equação de Laplace. A equação de
Laplace tridimensional
0 zzyyxx fff é satisfeita pelas
distribuições de temperatura no estado
estacionário  zyxfT ,, no espaço,
pelos potenciais gravitacionais e pelos
potenciais eletrostáticos. A equação de
Laplace bidimensional 0 yyxx ff ,
obtida eliminando-se a parcela zzf da
equação anterior, descreve potenciais e
distribuições de temperatura no estado
estacionário no plano.
Mostre que cada função abaixo satisfaz
uma equação de Laplace:
a)   xeyxf y 2cos, 2
b)   22ln, yxyxf 
c)   222 2,, zyxzyxf 
d)   zezyxf yx 5cos,, 43 
16. Verifique que a função
  txe
t
txu 4
2
2
1,





 satisfaz à
equação do calor xxt uu  para t > 0 e
qualquer x.
17. A temperatura T de uma placa
metálica pode ser descrita por uma
função T = u(x,y,t) de três variáveis, as
duas variáveis de posição x e y e a
variável de tempo t. A equação da
condução de calor no espaço
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 13
bidimensional (plano) é a equação
diferencial parcial  yyxxt uuAu  ,
onde A é uma constante positiva. Ache
condições sobre a, b e c tais que
  )()(,, cysenbxsenetyxu ta  
satisfaça à equação diferencial parcial.
18. Em qualquer ponto (x,y,z) fora de
uma massa m esfericamente simétrica
localizada no ponto (x0,y0,z0), o
potencial gravitacional V é definido por
r
GmV  , onde r é a distância de
(x,y,z) a (x0,y0,z0) e G é uma constante.
Mostre que para todos os pontos fora
da massa, V satisfaz à equação de
Laplace,
02
2
2
2
2
2









z
V
y
V
x
V
19. Se   )(, bxsenetxu ta satisfaz à
equação do calor xxt uu  ache a
relação entre a e b.
20. A vibração de um objeto
bidimensional sob tensão, tal como a
cabeça de um tambor é descrita por
uma função u(x,y,t) de duas variáveis
de espaço x e y e uma de tempo t. Uma
tal função freqüentemente satisfaz à
equação de onda bidimensional
 yyxxtt uucu  2 . Ache condições
sobre as constantes a, b e k tais que
       ktsenbysenaxsentyxu ,,
satisfaça a esta equação.
“Todos os fenômenos naturais decorrem
de um reduzido número de leis de
movimento, matematicamente descritas
como equações diferenciais no espaço e
tempo. Esta é talvez a mais abrangente
afirmação que podemos hoje fazer sobre
a Natureza”.
 Prof. Alaor S. Chaves
Gabarito:1.
a) 2ªordem; 1°grau; linear.
b) 4ªordem; 1°grau; linear.
c) 2ªordem; 1°grau; não-linear.
d) 2ªordem; 1°grau; não-linear.
e) 4ªordem; 1°grau; linear.
f) 2ªordem; 1°grau; linear.
g) 2ªordem; 1°grau; não-linear.
h) 2ªordem; 1°grau; linear.
i) 2ªordem; 1°grau; linear.
j) 3ªordem; 1°grau; não-linear.
2. a) -1 e -2 ; b) 1 e 4
4. a) 
2
1
2
2
 ; b) 1
6.   xxseny 2cos213 
7. 100m ; 8. 51733 3  xxy
9.   1 senxxy
11.   txsentxy 5cos2, 
17. 0;22 
 a
cb
aA
19. 2ba 
20. 22 ba
kc


CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 14
Bibliografia:
- Cálculo com Geometria Analítica,
Vol. 2, Editora MAKRON Books,
George F. Simmons.
- Curso de Cálculo Diferencial e
Integral – Equações Diferenciais - Vol.
4, Editora Edgard Blücher Ltda, Willie
A. Maurer.
- Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 2,
IBEC, Armando Righetto e Antônio S.
Ferraudo.
- Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno, 6ª
edição, Editora LTC, William E. Boyce
e Richard C. Diprima.
- Equações Diferenciais Aplicadas à
Física, 2ª edição, Editora UEPG,
Kleber Daum Machado.
- Equações Diferenciais, 1ª edição,
Editora Almeida Neves-Editores
LTDA, Leônidas Hegenberg.
- Séries e Equações Diferenciais, 1ª
edição, Editora Prentice Hall,
Marivaldo P. Matos.
Anotações
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 15
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 16
	Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará – CEFET/CE
	Curso de Licenciatura em Física
	Disciplina: Tópicos de Matemática Aplicados à Física
	Prof.: José Carlos Carneiro
	Aula 1

Outros materiais