TMAF Aula 2

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Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará – CEFET/CE
Curso de Licenciatura em Física
Disciplina: Tópicos de Matemática Aplicados à Física
Prof.: José Carlos Carneiro
Aula 2
1. Equações Diferenciais de
Primeira Ordem
 Uma equação diferencial de primeira
ordem se apresenta, normalmente sob
uma das três formas características:
)1(0
),(,0)',,(


dyNdtM
ouytf
dt
dyyytf
onde f é uma função conhecida de duas
variáveis.
 Qualquer função diferenciável y =
(t) que satisfaça a esta condição para
todos os valores de t em um certo
intervalo é considerada como uma
solução da equação (1).
 O nosso objetivo é determinar se
essas funções existem e, em caso
afirmativo, desenvolver métodos para
encontrá-las. Infelizmente, para uma
função arbitrária f, não existe nenhum
método geral para resolver a equação
(1) em termos de funções elementares.
 Assim vamos descrever vários
métodos, cada um dos quais se aplica a
uma certa subclasse das equações de
primeira ordem.
 As equações de primeira ordem mais
simples são as que podem ser escritas
na forma )()( tf
dt
dyouxf
dx
dy
 .
 Tais equações podem ser
freqüentemente resolvidas por
integração. 
 Por exemplo, se )2(3x
dx
dy
 , então,
Cxdxxy   4
4
3 , é a solução geral
de (2) no intervalo   , .
 As subclasses mais importantes de
equações diferenciais de primeira
ordem são as das equações de variáveis
separáveis e das equações lineares.
2. Equações de Variáveis
Separáveis
 A equação (2) pôde ser resolvida
diretamente por integração, pois o
segundo membro é uma função de x.
No entanto, se o segundo membro
envolver x e y, como na equação a
seguir,
)sen( yx
dx
dy

a integração direta já não é possível e
outros métodos devem ser usados.
 Em geral, a solução exata de tais
equações pode ser complicada. Porém,
se a equação puder ser expressa na
forma
)3()()( xg
dx
dyyh 
então dizemos que a equação é
separável, e podemos freqüentemente
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 1
achar a solução geral reescrevendo
primeiro a equação na forma
diferencial,
)4()()( dxxgdyyh 
e então integrando ambos os membros,
obtemos,
  )5()()( dxxgdyyh
 Se a equação resultante destas
integrações puder ser resolvida para y
como função de x, então esta função
fornece uma expressão explícita para a
solução geral de (3). Entretanto, se a
equação resultante dessas integrações
não puder ser resolvida para y como
uma função de x, então a equação
ainda define soluções de (3), mas as
define implicitamente.
 O processo de obter (4) de (3) é
chamado de separar variáveis, e o
método discutido para resolver (3) é
chamado de separação de variáveis. 
Exemplo 1 – Resolva a seguinte
equação diferencial:
xy
dx
dy 2
 Colocando-se a equação dada na
forma (4), obtemos,
xdxdy
y
xydxdyxy
dx
dy
21
22


 Para este caso temos que,
xxge
y
yh 2)(1)( 
 Desse modo,
CxCxCx eyoueyey
Cxyxdxdy
y
 
 
222
2ln21
 Assim para cada valor de C  
obtivemos duas soluções as quais se
acham definidas para todo x.
 A figura abaixo representa as
soluções explícitas acima, no plano
cartesiano, da equação dada.
 Mais detalhes para elucidação de
como este método funciona serão vistos
nos exercícios.
3. Equações Lineares
 Nem toda equação diferencial é
separável. Por exemplo, é impossível
separar as variáveis na equação,
2
2 xexxy
dx
dy 
 Porém, esta equação pode ser
resolvida por um método diferente que
consideraremos agora.
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 2
 Uma equação diferencial de primeira
ordem é chamada de linear se puder
ser expressa na forma
)6()()( xqyxp
dx
dy

onde as funções p(x) e q(x) são
contínuas e podem ou não serem
constantes.
3.1 Determinação da Solução Geral
de uma Equação Linear
 Um procedimento para resolver a
equação (6) está baseado na observação
que se definirmos  = (x) por

dxxp
ex
)()(
então
 
)()(
)()(
xpx
dx
d
dxxp
dx
de
dx
d dxxp




  


Por outro lado, temos:
)7()()(
)(
yxp
dx
dyy
dx
d
y
dx
d
dx
dyy
dx
d




 Se a equação (6) for multiplicada em
ambos os membros por  e então
simplificada usando (7), obtemos,
)8()()(
)()(
xqy
dx
d
xqyxp
dx
dy




 A solução geral de (6) é obtida
integrando-se ambos os membros da
equação (8):








Cdxxq
y
ou
Cdxxqy
)(
)(
 Para resumir, a equação (6) pode ser
resolvida em três passos, chamado o
método dos fatores integrantes:
O Método dos fatores Integrantes
 Passo 1 – Calcule 
dxxp
e
)(

 Isso se chama o fator integrante. Uma
vez que qualquer  seria suficiente,
podemos tomar a constante de
integração como sendo zero neste
passo.
 Passo 2 – Multiplique ambos os
membros de (6) por  e expresse
o resultado como
  )(xqy
dx
d
 
 Passo 3 – Integre ambos os
membros da equação obtida no
Passo 2 e, então, resolva para y.
Assegure-se de incluir uma
constante de integração neste
passo.
Exemplo 2 – Resolva o seguinte
problema de valor inicial:
2)1(;42 2  yxy
dx
dyx
Reescrevendo a equação dada obtemos:
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 3
xy
xdx
dyxy
dx
dyx 4242 2 
Passo 1 – Cálculo do Fator integrante:
2lnln22
2
)( 2)( xeeeeex xxx
dxdx
xdxxp 


Passo 2 - Multiplicando-se a equação 
dada por (x), obtemos:
  3232 442 xyx
dx
dxyx
dx
dyx 
Passo 3 – Integrando-se a última
equação obtida e isolando-se a variável
y, temos:
 
2
242
4
232
4
44
x
CxyCxyx
Cxyxdxxyx
dx
d

 
 Para 21  yx . Logo,
1
)1(
)1(2 2
2  CC
 Desse modo, a solução do problema 
de valor inicial proposto será:
2
2 1
x
xy 
 A figura a seguir mostra o gráfico no
plano cartesiano, do problema de valor
inicial do exemplo 2, para alguns
valores de c:
4. Equações de Primeira Ordem
Homogêneas
 Antes de considerar o conceito de
equação diferencial homogênea de
primeira ordem e seu método de
solução, precisamos primeiro examinar
de perto a natureza de uma função
homogênea.
4.1 Função Homogênea
 Se uma função f satisfaz
)9(),,(),( yxfttytxf n 
para algum número real n, dizemos
que f é uma função homogênea de grau
n.
Exemplo 3 – Mostre que a função
definida por:
22 53),( yxyxyxf 
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 4
é homogênea e especifique seu grau de
homogeneidade.
 Devemos mostrar que:
),(),( yxfttytxf n 
),()53(),(
53),(
)(5))((3)(),(
2222
22222
22
yxftyxyxttytxf
ytxytxttytxf
tytytxtxtytxf



 Logo, f é homogênea de grau dois.
4.2 Equação Homogênea
 Uma equação diferencial da forma
 )10(,0),(),(  dyyxNdxyxM
é chamada de homogênea ou de
coeficientes homogêneos se ambos os
coeficientes M e N são funções
homogêneas de mesmo grau.
 Em outras palavras,
 0),(),(  dyyxNdxyxM é
homogênea se ),(),( yxMttytxM n 
e ),(),( yxNttytxN n  .
 A classe das equações diferenciais
homogêneas é a classe mais importante
das equações para as quais se pode
enunciar uma regra definida.
 Se a equação diferencial de primeira
ordem se apresentar na forma
),( yxf
dx
dy , ela será homogênea
sempre que a função f não depender de
x ou de y separadamente, mas somente
da respectiva razão y
xou
x
y
.
 Assim uma equação diferencial
homogênea pode sempre ser expressa
na forma alternativa
)11(),(
x
yF
dx
dy

 Consideremos os seguintes exemplos:
a) ;22
2
2
2
x
y
x
y
x
xyy
dx
dy








b)
;
1
1
1lnlnln
















x
y
x
y
x
yyx
yxyx
dx
dy
c) 
x
y
x
yy
x
xyy
dx
dy







 22
2
2
3
 As equações a) e b) são homogêneas,
pois o segundo membro de cada uma
delas pode ser expresso como função de
x
y ; uma vez que c) não pode ser
escrita assim, não é homogênea.
4.2.1 Determinação da Solução Geral
de uma Equação Homogênea
 A forma de uma equação homogênea
sugere que ela pode ser simplificada
pela introdução de uma nova variável,
que simbolizaremos por z, e que
representa a razão entre y e x. Assim,
)12(zxy 
e a equação (11) fica 
)13(),(zF
dx
dy

 Encarando z como a nova variável
dependente (que irá substituir y),
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 5
devemos considerar z como função de x
e substituir 
dx
dy na equação
(13) por uma expressão apropriada em
termos de z. A derivação da equação
(12) dá
z
dx
dzx
dx
dy

 Desse modo a equação (13) fica
)14(),(zFz
dx
dzx 
 O fato mais importante em torno da
equação (14) é o de as variáveis x e z
serem sempre separáveis,
independentemente da forma da
função F; na realidade temos,
)15(,
)( zzF
dz
x
dx


 Resolvendo a equação (15) e depois
substituindo z por 
x
y obtemos a
solução da equação original.
 Desse modo, qualquer equação
homogênea pode ser transformada
numa outra que tem as variáveis
separáveis pela substituição (12).
 Como questão prática, é evidente,
pode ser ou não possível resolver a
integral necessária para a resolução da
equação (15) mediante métodos
elementares.
 Além disso, uma equação homogênea
pode também pertencer a uma das
classes exata ou linear. A classe das
equações exatas será estudada no item
seguinte.
Exemplo 4 – Mostre que a equação
diferencial dada abaixo é homogênea e
encontre sua solução geral.
0)()( 222  dyxyxdxyx
 Podemos mostrar que a equação é
homogênea de dois modos:
- Através das funções coeficientes,
mostrando que elas são
homogêneas e de mesmo grau;
- Ou verificando se a equação
pode ser escrita na forma
)()(
y
xFou
x
yF
dx
dy
 .
1° - Homogeneidade das Funções
Coeficientes:
 Comparando a equação dada com a
equação (10), vemos que:
)(),()(),( 222 xyxyxNqueeyxyxM 
 Logo,
   
),()(),(
),(
2222
222222
yxMtyxttytxM
ytxttytxtytxM


 Assim, ),( yxM é homogênea de
grau dois.
 E que,
 
),()(),(
))(()(),(
222
2222
yxNtxyxttytxN
xytxttytxtxtytxN


 Portanto, ),( yxN também é
homogênea de grau dois. Desse modo, a
equação diferencial do exemplo 4 é
homogênea.
2° - Escrevendo a equação na forma:
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 6
)()(
y
xFou
x
yF
dx
dy

 De 0)()( 222  dyxyxdxyx ,
obtemos:
 
 
)(,
)16(
1
1
1
1
)(1
)(1
)(
)(
)()(
2
2
2
2
2
22
2
2
22
222
x
yF
dx
dyLogo
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
xyx
x
yx
x
xyx
yx
dx
dy
dxyxdyxyx


































 






















 Como a última razão da equação (16)
é uma função da forma 





x
yF , a
equação diferencial correspondente é
homogênea.
 Para achar a solução geral da
equação diferencial utilizaremos a
equação (12).
 Da equação (12), temos:
)17(
x
yzzxy 
 E também de (12), tem-se:
)18(z
dx
dzx
dx
dy

 Substituindo-se as equações (17) e
(18) em (16), obtemos:




































































 Cdzz
z
x
dxdz
z
z
x
dx
dzz
z
dx
x
dzz
z
dx
x
z
z
z
zzz
dx
dzx
z
z
zz
z
z
dx
dzx
z
zz
dx
dzx
1
10
1
1
01
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
22
22
2


zCzx
Czzx
ln1lnln
ln1ln2ln
2
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 7
 
 
 
  x
y
x
y
eCxyx
e
Cx
yx
Cx
yx
x
y
C
x
yx
x
y
C
x
yxx
x
y
C
x
yxx
x
y
C
x
yx
x
y
x
yC
x
yx











 









 















 














 














 





 
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
lnln
lnln
lnln
ln1ln
ln1lnln
5. Equações de Primeira Ordem
Exatas
 Enunciaremos algumas definições
antes de considerarmos o método de
solução das equações diferenciais
exatas.
5.1 A Diferencial Total de uma
Função de Duas Variáveis
 Seja f(x,y) uma função de duas
variáveis reais, de forma que f tenha as
derivadas parciais primeiras contínuas.
A diferencial total df da função f é
definida por:
)19(,dy
y
fdx
x
fdf 






 Como exemplo, consideremos a
função   xyyxyxf 32 3,  , temos:
xyx
y
feyxy
x
f 223 932 





 Portanto, a diferencial total de f(x,y)
é dada por:
    dyxyxdxyxydf  223 932
5.2 Diferencial Exata e Equação
Diferencial Exata
 A expressão,
)20(,),(),( dyyxNdxyxM 
é chamada uma diferencial exata se
existe uma função f(x,y) tal que se
verifique,
    )21(,,, yxN
y
feyxM
x
f






 Se dyyxNdxyxM  ),(),( é uma
diferencial exata, a equação diferencial
)22(,0),(),(  dyyxNdxyxM
é chamada uma equação diferencial
exata.
 Para sabermos quando uma
diferencial e uma equação diferencial
são exatas utilizamos o teorema a
seguir:
Teorema
 A equação diferencial
0),(),(  dyyxNdxyxM
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 8
é exata se, e somente se, for verificado
que
)23(,
x
N
y
M





Demonstração
 Consideremos, inicialmente, que a
equação diferencial
0),(),(  dyyxNdxyxM seja exata
e que portanto, existe uma função f(x,y)
tal que
   yxN
y
feyxM
x
f ,, 





 Desse modo temos:
x
N
yx
fe
y
M
xy
f









 22
 No entanto, a ordem das derivadas
pode ser invertida, ou seja,
yx
f
xy
f




 22
 E dessa forma, temos:
x
N
y
M





 Para a outra parte da demonstração,
partimos da hipótese de que,
x
N
y
M





 E queremos mostrar que existe uma
função f(x,y) tal que
   yxN
y
feyxM
x
f ,, 





de modo que a equação diferencial
0),(),(  dyyxNdxyxM seja exata.
 Vamos supor que,  yxM
x
f ,

 .
Logo:
  )24(),(,),( ydxyxMyxf  A integral em (24) é efetuada apenas
em x, sendo y considerado como uma
constante. O termo φ(y) aparece
porque devemos ter a solução mais
geral possível para f(x,y).
 Diferenciando-se, agora, a equação
(24) com relação a y, temos:
  
dy
ddxyxM
yy
f 






 ,
 Como queremos provar que a
diferencial é exata, devemos ter
também,
 yxN
y
f ,


 E então obtemos:
    
   
    )25(,,,)(
,,
,,
dydx
y
yxMyxNy
dx
y
yxMyxN
dy
d
dy
ddxyxM
y
yxN


















 





 Substituindo-se (25) em (24),
obtemos, finalmente a expressão de
f(x,y):
 
    )26(,,,
,),(
dydx
y
yxMyxN
dxyxMyxf











 

CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 9
 A função f(x,y) dada pela expressão
(26) está sujeita às condições
x
N
y
M





 E também
   yxN
y
feyxM
x
f ,, 





e, portanto, a equação diferencial
0),(),(  dyyxNdxyxM é exata.
 Se, ao invés de iniciarmos a
demonstração considerando a equação
 yxM
x
f ,

 usássemos a outra
equação  yxNy
f ,


 o resultado
para f(x,y) seria
 
    )27(,,,
,),(
dxdy
x
yxNyxM
dyyxNyxf



 




 

5.3 Solução da Equação Diferencial
Exata
 A solução da equação diferencial
exata 0),(),(  dyyxNdxyxM é
uma função f(x,y) = c, onde f(x,y) é
dada por uma das expressões (26) ou
(27), e c é uma constante numérica que
pode ser determinada se houver
alguma condição adicional.
 Sabemos do cálculo que, se uma
função y(x) é definida implicitamente
pela equação   ctexyxf )(, , então
sua diferencial total (df) é:
)28(;dy
y
fdx
x
fdf 






 Como,   ctexyxf )(, , segue-se de
(28) que
00 











dx
dy
y
f
x
fdy
y
fdx
x
f
e como    yxNy
feyxM
x
f ,, 





.
Concluímos que:
0),(),(
0),(),(


dyyxNdxyxM
dx
dyyxNyxM
 Portanto, isso nos motiva a
denominar as curvas cteyxf ),( de
curvas integrais ou soluções da equação
diferencial ordinária (22).
 Em outras palavras, dada uma
família de curvas cteyxf ),( ,
podemos gerar uma equação
diferencial de primeira ordem,
calculando a diferencial total. 
 Como visto anteriormente a equação
(22) é denominada exata quando existir
uma função diferenciável ),( yxf tal
que dyyxNdxyxMdf ),(),(  , ou
seja, a equação (22) é exata quando for
a diferencial total de alguma f(x,y).
 Uma função f(x,y) que satisfaz a
equação 0),(),(  dyyxNdxyxM é
denominada função potencial e o
problema de encontrar tal função
potencial se reduz a resolver o sistema
(29).
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 10
)29(,
),(
),(












yxN
y
f
yxM
x
f
5.4 Determinação da Solução Geral
de uma Equação Exata
 A seguir são descritos os passos para
encontrar a solução geral de uma
equação diferencial de primeira ordem
exata.
 Dada a equação de primeira ordem
na forma:
)22(,0),(),(  dyyxNdxyxM
1° - Mostre que x
N
y
M





;
2° - Suponha que  yxM
x
f ,

 daí
podemos encontrar f integrando
 yxM , com relação a x,
considerando y constante.
3° - Escrevemos,
  )24(),(,),( ydxyxMyxf  
em que a função arbitrária φ(y) é a
constante de integração. 
4° - Agora, derivando (24) com relação
a y e supondo ),,( yxNy
f



obtemos:
  
dy
ddxyxM
yy
f 






 ,
 Assim,
     

 dxyxM
y
yxN
dy
d ,,
5° - Finalmente, integra-se a equação
anterior com relação a y, para
obtermos φ(y):
    dydx
y
yxMyxNy 








  
,,)(
E substitui-se o resultado em (24). A
solução para a equação é cyxf ),( .
Obs:
- É importante perceber que a
expressão     

 dxyxM
y
yxN ,,
em (25) independe de x, pois
0),(
),(),(









 





















y
M
x
NdxyxM
xyx
N
dxyxM
y
yxN
x
- Poderíamos também começar o
procedimento acima com a suposição
de que ),( yxNy
f



. Depois,
integrando ),( yxN com relação a y e
derivando o resultado, encontramos o
análogo de (24) e (25), que seria
exatamente,
 
dxdy
x
yxNyxMx
exdyyxNyxf



 




 

),(),()(
)(,),(


- Para verificar se uma equação é exata
ou não, assegure-se de que ela seja da
forma (22). Freqüentemente, uma
equação diferencial é escrita na forma
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 11
dyyxHdxyxG  ),(),( . Neste caso,
escreva a equação na forma
0),(),(  dyyxHdxyxG e aí
identifique ),(),( yxGyxM  e
),(),( yxHyxN  . Em qualquer
caso, não há necessidade de memorizar
nenhuma dessas expressões.
- Os casos em que a equação
0),(),(  dyyxNdxyxM
não é exata, não serão abordados neste
curso.
Exemplo 5 – Encontre a solução geral
da equação diferencial de primeira
ordem:
  012 2  dyxdxxy
 Conforme a equação (22), temos:
1),(2),( 2  xyxNexyyxM
1° - Verificando se a equação
diferencial é exata, ou seja, se
x
N
y
M





;
x
Nx
y
M




 2
 Logo a equação é exata.
2° - Supondo que  yxM
x
f ,

 ,
temos:
)(),(2 2 yyxyxfxy
x
f 


3° - Derivando a última expressão com
relação a y e supondo que
),,( yxN
y
f



obtemos:
1)(1)( '2'2 

 yxyx
y
f 
4° - Integrando-se a última equação
com relação à y, temos:
).),(
,int(
)(11)('
cteyxfégeralsoluçãoapois
incluídaserprecisanãoegraçãodectea
yy
dy
dy

 
5° Substituindo-se o valor de g(y) na
expressão de f(x,y) obtemos finalmente
a solução geral f(x,y)=cte:
cteyyxyxf  2),(
 Algumas curvas da família
cteyyx 2 são mostradas na figura a
seguir:
Exercícios de Aprendizagem
A.1 Resolva as equações diferenciais
dadas, por separação de variáveis.
Quando razoável, expresse a família de
soluções como funções explícitas de x.
a) 
x
y
dx
dy

b) x
dx
dy
y
x



1
1 2
c)   ye
dx
dyy x  21
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 12
d)   2y
dx
dyee xx  
A.2 Resolva as seguintes equações
diferenciais lineares dadas, pelo
método dos fatores integrantes.
a) xey
dx
dy 23 
b) )cos( xey
dx
dy

c) 0
1
1


 xe
y
dx
dy
d) xxy
dx
dy
 2
A.3 Determine se a função dada é
homogênea. Especifique o grau de
homogeneidade quando for o caso.
a) 
x
yxyxyxf
4
23 2),( 
b)  2
223
8
),(
yx
yxyxyxf



c) yx
xyxf


2
cos),(
A.4 Mostre que as equações abaixo são
homogêneas.
a) 23
32
2
4
xyx
yyx
dx
dy



b) xy
yx
dx
dy
2
3 22 

c) 223
2
xy
xy
dx
dy


d) yx
yx
dx
dy



2
34
A.5 Resolva as equações diferenciais de
1ª ordem homogêneas.
a) 0)32(34  xy
dx
dyyx
b) xy
xy
dx
dy



c) 223
2
yx
xy
dx
dy


d) 0)(2 22  dxyxdyxy
A.6 Determinar se as equações
diferenciais dadas são ou não exatas.
a) 0)22()32( '  yyx
b) 0
)()( 2
3222
322





yx
dyy
yx
dxx
c) cybx
byax
dx
dy



d) 0,0)2(ln6 




  xdyxdxx
x
y
A.7 Verifique se as equações
diferenciais dadas são exatas. Se for
resolva-as.
a)     02243 22  dyyxdxxyx
b) 
 
  02cos2
cos
2
2


dyyxyxxe
dxxyye
y
y
c) 0)()( 323323  dyyyxdxyxx
d) 
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 13
0)sencos(
)cos(sen


dyyxyx
dxxyy
A.8 Resolva as equações diferenciais
dadas sujeitas às condições iniciais
indicadas, por qualquer método:
a) 1)1(,'2  yxyyyx
b)
0)1(,0 




  ydyexdxeyx x
y
x
y
c) 
  0,0)(,cos2 2' 



 ty
t
ty
t
y 
d) 2)0( ,0)1()sen(cos
22


y
dyxydxxyxx
Exercícios Propostos
EP1. Resolva as equações diferenciais
dadas por separação de variáveis.
a) 2
21
x
y
dx
dy 

b) yxey '
c) 0sec)5( 2  dyyedxtgye xx
d) 0)1(  dxydyx
e) 0
sen
2



x
yy
dx
dy
EP2. Determine a solução geral para as
equações diferenciais de 1ª ordem
lineares dadas.
a) ty
t
y cos
2
1' 


b) dtetdtytdy t 222 
c)   012  xy
dx
dyx
d) tetyy 2' 3 
e) tetyy 22' 2 
f) 1'  tetyy
g) 0,2cos3
1' 




 tty
t
y
h) 0,sen2'  ttyyt
EP3. Resolva as equações diferenciais
dadas, por separação de variáveis,
sujeitas à condição inicial indicada.
a) 1)0(,21
cos
2 
 y
y
xy
dx
dy
b) 1)0(,)1(2
243 2



 y
y
xx
dx
dy
c)
0)0(,)cos1(sen)1(  ydyxdxxe y
d) 1)1(,'2  yxyyyx
EP4. Ache a solução do problema de
valor inicial proposto.
a) 1)0(,2 2'  yetyy t
b) 0)1(,2 2'   yetyy t
c) 1)2(ln,)1('  ytytyt
d) 0)1(,4 2'3   yeytyt t
e) 0,2
1)1(,12 2'  tyttyyt
EP5. Determine se a função dada é
homogênea. Especifique o grau de
homogeneidade quando for o caso.
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 14
a) 1),( 33  yxyxf
b) 3 22),( yxyxf 
c) 42),(  y
xyxf
d) yxyxf ln2ln),( 2 
EP6. Mostre que as equações
diferenciais dadas são homogêneas.
a) 
x
yx
dx
dy 

b) xy
xy
dx
dy
2
3 22 

c) 02  dyxdxy
d) 2
22
x
yxyx
dx
dy 

EP7. Resolva as seguintes equações
diferenciais homogêneas.
a)     0339  dyxydxyx
b)   dxyxdyxy  22
c) 2
2 2
x
xyy
dx
dy 

d) dxexdxydyx x
y

e) 0)3( 42243  dxyyxxdyyx
f)
 
 dxydyx
x
yy
dyxdxy
x
yx


sen
cos
g) 0cot 




  dyxdx
x
ygy
h) y
x
x
y
dx
dy

EP8. Verifique se as equações
diferenciais propostas são exatas. Em
caso afirmativo, resolva-as.
a) 0)2()2( 2222  dyyxydxyxx
b) 0)46()63( 3222  dyyyxdxxyx
c) 0)24()2(  dyxedxye yx
d) 0)ln()ln43( 32  dyyxdxxyx
e) xy
xy
exy
ey
dx
dy



2
2
f) 03131 










  dyx
y
dxy
x
g)   0)2()(  dyyxxdxyxyx
h) 262 xyex
dx
dyx x 
EP9. Encontre o valor de k, nas
equações diferenciais abaixo, de modo
que elas sejam exatas.
a) 
0)203(
)2(
322
43


dyyxxy
dxxkxyy
b)
0)12()2( 22  dykeyxdxyexy xx
EP10. Determine uma função ),( yxM
para que a seguinte equação diferencial
seja exata:
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 15
012),( 




  dy
x
xyxedxyxM xy
EP11. Resolva as equações diferenciais
dadas sujeitas às condições iniciais
indicadas.
a)
  1)1(,0)12( 22  ydyxxydxyx
b)
   
2)1(
,0146524


y
dyxydxxy
c) 
 
  eydyyxysenx
dxxyxxy


)0(,0ln2
23cos
3
22
d)
2)0(
,0)1()(cos 22


y
dyxydxxysenxx
Gabarito:
EP1:
a)   c
x
tgyarc  1 ; b) cee yx  
c)   ctgye x 5 ; d)  xcy  1 ;
e)  gxxcy cotseccos1
1


EP2:
a)   cttttyt  sen2cossen2
b)   22 tecty  ; c) 
12 

x
cy
d) tt ecety 3239
1  
e) tec
ty 2
3
3







f) tecty 






2
1
2
g) 2
2sen3
4
2cos3 t
t
t
t
cy 
h) 2
sencos
t
tttcy 
EP3:
a) 1senln 2  xyy
b) 3222 232  xxxyy
c)     41cos1  yex
d) 



 
 xeyx
11
EP4:
a)   tt etey 2123 
b)  
2
1
2
2
tety


c) 
t
ety
t

21
d)   41 t
ety
t

e) 2
234
12
1643
t
ttty 
EP5:
a) A função não é homogênea;
b) A função é homogênea de grau 3
2 ;
c) A função é homogênea de grau zero;
d) A função é homogênea de grau zero.
EP7:
a) 




 x
ytgarc
ecxy 3
2
22 9
b)  222 ln xcxy 
c) 
cx
cxy


1
2
d) cxe x
y


ln
e) 




  2
22
ln
11
cx
xy
f) cx
yxy 




cos
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 16
g) cx
yx 




cos
h) cx
x
y





 ln2
2
EP8:
a) cyyxx  4224
b) cyyxx  4223 3
c) cexye yx  42
d)   cxyyyxxyx  4lnln43
e) cyex xy  22
f) cxyxyyx  ln3
g) Não exata, mas é homogênea.
h) cxexexy xx  3222
EP9: a) 10k ; b) 1k
EP10: )(),( 2
2 xh
x
yyeyyxM xy 





EP11:
a) 
3
4
3
22
3
 yxyyxx
b) 8354 22  yyxxxy
c) 0lnsen 232  yyyxyxxy
d)   3cos1 222  xxy
Bibliografia:
- Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 2,
IBEC, Armando Righetto e Antônio S.
Ferraudo.
- Cálculo um Novo Horizonte, 6ª
edição, Volume 2, Editora Bookman,
Howard Anton.
- Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno, 6ª
edição, Editora LTC, William E. Boyce
e Richard C. Diprima.
- Equações Diferenciais Aplicadas, 1ª
edição, Coleção Matemática
Universitária (IMPA), Djairo Guedes
de Figueiredo e Aloísio Freiria Neves.
- Equações Diferenciais, 3ª edição,
Volume 1, MAKRON Books, Dennis G.
Zill e Michael R. Cullen.
- Equações Diferenciais Aplicadas à
Física, 2ª edição, Editora UEPG,
Kleber Daum Machado.
CARNEIRO, J.C.S., CEFET-CE 17
	Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará – CEFET/CE
	Curso de Licenciatura em Física
	Disciplina: Tópicos de Matemática Aplicados à Física
	Prof.: José Carlos Carneiro
	Aula 2