Teoria de funções

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
 Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
 Cálculo Diferencial e Integral I 
 
 
FUNÇÕES 
 
Quando dizemos que o volume ocupado por uma massa constante de um gás, em condições de pressão 
constante, depende unicamente da temperatura do gás, queremos dizer que conhecida a medida da 
temperatura T , podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = kT . 
 
A equação V =kT , onde k é uma constante, define V como função de T , pois dado o valor da variável 
independente T , existe, em correspondência, um único valor para a variável dependente V. 
 
Uma relação deste tipo é denominada de função de uma variável. 
 
 
 Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor 
de y. Dizemos que y é o valor da função ou a variável dependente, e x a variável independente. Escrevemos 
y = f(x), onde f é o nome da função. 
 
O domínio da função é um conjunto de possíveis valores da variável independente e a imagem é o 
conjunto correspondente de valores da variável dependente. 
 
 
As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Observe o 
exemplo a seguir. 
 
A tabela abaixo, construída experimentalmente, apresenta a relação entre pressão e volume de um gás 
ideal numa certa temperatura. 
 
 P(atm) 1 2 4 5 8 10 
 
 V(L) 40 20 10 8 5 4 
 
Observe que a cada valor de V esta associado um único valor de P e vice versa. Portanto, podemos 
pensar que V é uma função de P ou P é uma função de V. Na físico-química, considera-se P como função de V, 
sendo então V a variável independente e P a variável dependente. 
 
Nota 
 
As tabelas são importantes porque com freqüência é a forma como as funções aparecem 
 
Esta mesma função de V em P, poderia ser dada através do gráfico abaixo. 
 
 P(atm) 
 10 
 
 8 
 
 
 5 
 4 
 
 2 
 1 
 
 0 4 5 8 10 20 40 V(L) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
Notas 
 
a) A variável independente V não é uma variável discreta e sim uma variável continua, pois assume valores 
numéricos num intervalo e não valores isolados. 
 
b) Através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por exemplo: domínio, imagem, 
velocidades de crescimento e decrescimento, etc... 
 
 
Outra forma de apresentar esta função de V em P é através de uma fórmula. 
 
Da tabela, P.V = 40 e portanto a função pode ser dada pela equação P
V
40= . 
 
ZEROS DE UMA FUNÇÃO 
 
 
Zeros ou raízes de uma função f são os valores de x para os quais f(x) = 0. Geometricamente, 
são os pontos de interseção da curva, gráfico de f , com o eixo dos x. 
 
 
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
 
 
Uma função f é crescente num intervalo I, quando para quaisquer x1 e x2 ∈ I, 
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função f é decrescente num intervalo I, quando para quaisquer x1 e x2∈ I, 
x1 < x2 ⇒ f(x1)> f(x2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 x2 
f(x2) 
 
f(x1) 
y 
x 
x1 x2 
f(x1) 
 
f(x2) 
y 
x 
 
 
 
3
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 
 
 
• Uma função f é par quando f(-x) = f(x), para todo x do domínio da f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: o gráfico cartesiano de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y. 
 
• Uma função f é ímpar quando f(-x) = -f(x), para todo x do domínio da f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: o gráfico cartesiano de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 
 
 
ALGUMAS FUNÇÕES REAIS IMPORTANTES 
 Função Polinomial 
 
É a função f: lR→ lR definida por f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1x +an 
onde a0, a1, a2 ... an-1 e an são números reais chamados coeficientes e n é um número natural. 
 
Obs.: Se a0 ≠ 0 então n é o grau da função polinomial. 
 
 
 
-x2 -x1 x1 x2 
y 
x 
x1 
-x1 
f(x1) 
x 
f(-x1) 
y 
 
 
 
4
Função Constante 
 
É a função f: lR→ lR definida por f(x) = c, onde c ∈ lR. 
 
O gráfico cartesiano de uma função constante é sempre uma reta paralela ao eixo dos x e que intercepta o 
eixo dos y no ponto (0, c). 
 
 
 
 Dom f = lR 
 Im f = { c } 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Polinomial de 1o grau 
 
É a função f: lR→ lR definida por f(x) = ax + b, com a e b ∈ lR e a ≠ 0. 
 
O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1o grau é sempre uma reta, onde “a” é o coeficiente 
angular e “b” é o coeficiente linear. 
 
Consideremos a função y = ax + b, representada no gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo α o ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo x, a = tgα. Logo conhecendo 2 
pontos do gráfico da função, a pode ser obtido por: 
 
a = 
x
y
xx
yy
12
12
∆
∆=−
−
, 
 
Observação 
• Se 0900 <<α então tgα > 0, logo a > 0 e f é uma função crescente. 
 
 
 
 
 ) α 
 
 
 
c 
y 
x 
α 
P 
x1 
 y2 
 
 y1 α 
Q 
x 
y 
 
 
 
x 
y 
 
 
 
5
• Se 00 18090 <<α então tgα < 0, logo a < 0 e f é uma função decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função Quadrática 
É a função f: lR→ lR definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ lR e a ≠ 0. 
 
Seu gráfico é uma curva denominada parábola. Dependendo do “a” ser positivo ou negativo, o gráfico tem 
uma das formas mostradas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em ambos os casos a parábola possui um eixo de simetria paralelo ao eixo y. Este eixo corta a parábola 
num ponto chamado vértice. 
 
 
Caso a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da curva e caso a < 0, o vértice é o ponto mais alto da curva. 
 
 
Para construir o gráfico de uma parábola é interessante o conhecimento de alguns pontosnotáveis, como 
o vértice e os zeros. 
 
 
a) Vértice: V(xv, yv) 
 
A abscissa do vértice xv = 
2a
b−
. 
 
A ordenada do vértice yv = f(xv) ou yv = 
a4
∆−
, onde ∆ = b2 – 4ac. 
 
 
α
y 
 x 
 Vértice 
 a > 0 
vértice 
a < 0 
y 
x 
y 
x 
 
 
 
6
 
b) Zeros ou pontos de interseção da parábola com o eixo x. 
 
Um ponto que pertence ao eixo x tem ordenada y = 0. Logo, para descobrir os pontos em que a parábola 
intercepta o eixo dos x, basta achar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. 
 
• Se ∆ > 0 então há duas raízes reais e distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. 
 
 
• Se ∆ = 0 então há duas raízes reais e iguais e a parábola intercepta o eixo x em um único ponto. 
 
 
• Se ∆ < 0 então não há raiz real e a parábola não intercepta o eixo x. 
 
 
Estas situações podem ser mostradas no esquema abaixo: 
 
 
 
 
Delta 
 
Interseção com o eixo x a > 0 (concavidade para cima) 
a < 0 
(concavidade para baixo) 
 
 
 
 ∆ > 0 
 
 
 
em dois pontos 
 
 
 
 
 
 
∆ = 0 
 
 
 
 
 
em um ponto 
 
 
 
 
 
 
∆ < 0 
 
 
 
 
 
em nenhum ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y y 
y y 
y y 
 
x x 
x 
x 
x 
 
 
 
7
Função Potência 
 
É a função f : lR→ lR definida por f(x) = xn , n ∈ lN* . 
 
Representações geométricas de algumas funções potências: 
 
• “n” ímpar . 
 
 
• “n” par. 
 
 
 Função Racional 
 
 É a função f(x) 
)(
)(
xQ
xP= onde )(xP e )(xQ são funções polinomiais e )(xQ ≠ 0. 
 
 Exemplos de funções racionais: 
 
 
 
 
 
 
 
 a) f(x) = 
x
1
 b) f(x) = 2
1
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = x 
y 
x x 
y = x3 
y 
y = x5 
y 
x 
1 
1 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y = x2 
x 
y 
y = x4 
 
 
 
8
c) f(x) = 
1
12
−
−
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Raiz n-ésima 
É a função f definida por n xxf =)( ( ou nxxf
1
)( = ) . 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 Observação 
 
 Se “n” é ímpar o domínio da função raiz n-ésima é o conjunto IR e se “n” é par o domínio é o intervalo [ )∞+;0 . 
 
 
 Função valor absoluto (ou função módulo) 
 
 É a função f : lR → lR definida por f(x) = x onde 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0,
0,
xsex
xsex
x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
xy = 
 
x 
3 xy = 
y 
x 
 
o 
1 
y 
2 
 
 
 
 
9
• Propriedades do valor absoluto 
 
Se +∈∈∈ lRaelRylRx , , temos : 
 
1) xx =− 
2) yxxy ⋅= 
3) 0, ≠= y
y
x
y
x
 
4) yxyx +≤+ 
5) axaxax −=∨=↔= 
6) axaax ≤≤−↔≤ 
7) axaxax ≥∨−≤↔≥ 
8) 22 xx = 
 
Observação: xx =2 
 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 
 
Operações Aritméticas com funções 
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números reais, obtendo novos números 
reais, podemos operar com funções, produzindo novas funções. 
Duas funções f e g podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas para formar as 
funções ,.,,
g
fegfgfgf −+ ditas, respectivamente, função soma, função diferença, função produto e 
função quociente, assim definidas: 
 
)(
)()(
)().())(.(
)()())((
)()())((
xg
xfx
g
f
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
−=−
+=+
 
 
 
 Sendo, 
 
 DomgDomfgfDomgfDomgfDom I==−=+ ).()()( 
 }0)(/{ =∈−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ xgIRxDomgDomf
g
fDom I 
 
 
 
 
10
Exemplo 
Se f(x) = x e g(x) = 3x + 
 
 (f + g)(x) = x + 3x + , Dom( f + g ) = [-3; +∞) 
Observe que o gráfico da função soma f+g pode ser obtido adicionando-se as correspondentes 
coordenadas y de seus gráficos. 
 
 Tomando as funções do exemplo: 
 
 
Da mesma forma se pode obter geometricamente as funções f – g, f . g e f/g. 
 
 
Composição de funções 
 
Vamos considerar uma operação, chamada composição, que não tem análoga na aritmética ordinária. 
Informalmente a operação de composição consiste em substituir em uma dada função a variável independente por 
alguma função, desde que exista condição para isto. Dadas duas funções f e g, a composta de f e g denotada por 
fog, é a função definida por (fog)(x)=f(g(x)). 
Dom fog = {x ∈ dom g / g(x) ∈ dom f} 
 
 • x g(x) f(g(x)) 
g f 
domínio da g domínio da f 
 
 
 
11
Exemplo 
f(x) = x2 – 16, Dom f = IR 
g(x) = x , Dom g = [0; +∞) 
 
fog(x) = f( x ) = ( x )2 – 16 = x –16 , Dom fog = [0; +∞) 
 
gof(x) = g(x2 – 16) = 16x 2 − , Dom gof = (-∞; -4] ∪ [4; +∞) 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
 Suponhamos que f é uma função tal que, para dois valores distintos de x no Dom f , correspondem dois 
valores também distintos de y na Im f. Neste caso se invertermos a ordem dos elementos nos pares ordenados (x, 
y) da f, obteremos o conjunto dos pares (y, x) que representam uma função chamada de inversa da f e que é 
notada por f –1, sendo Dom f = Im f –1 e Im f = Dom f –1. 
 
 
 
 1),(),( −∈⇔∈ fxyfyx 
 
 
 Exemplos 
 
 
 1) 
 
})4,1(,)1,5(,)2,3{(
)}1,4(,)5,1(),3,2{(
1 −=
−=
−f
f
 
1
1
}1,5,3{Im
Im}4,1,2{
−
−
=−=
==
fDomf
ffDom
 
 
 
 
 2) 
 
2
1)(12
2
1
1212)(
1
1
+=−=
+=
−=−=
−
−
xxfxy
xyou
yxxxf
ff
 
 
 
 
 
x y 
f 
f -1
 
 
 
12
 
 Observação 
 
 Os gráficos cartesianos de duas funções inversas são simétricos em relação a reta y = x . 
 
 
Função Exponencial 
 
É a função f: lR→ lR definida por f(x) = ax, onde a∈ lR , a > 0 e a ≠ 1. 
 
O gráfico de f(x) = ax depende do valor da base a. 
 
 
 a > 1 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 função crescente função decrescente 
 
 
A fórmula f(t) = fo at gera uma família de funções exponenciais com parâmetro fo e base a. A 
base tem a mesma importância para uma função exponencial do que a declividade tem para uma 
função linear. O crescimento ou decaimento exponencial é descrito com freqüência em forma de 
porcentagem. Por exemplo, se uma população está aumentando 20% , o fator de crescimento é 
a = 1 +
100
20 = 1 + 0,20 = 1,2. De modo análogo, se uma população está diminuindo 20%; o fator de 
decaimento é a = 1 -
100
20 = 0,8. 
 
 
 
 
1/2 
1/2 x 
y 
-1 
-1 
f y = x 
f -1 
y y 
 y = ax 
1
x 
y = ax 
x 
1 
0 
0 
 
 
 
13
• Propriedades 
 
Para quaisquer x e y reais e k racional, temos: 
 
a) ax + y = ax. ay 
b) ax - y = y
x
a
a
 
c) ax . k = (ax)k 
d) a- x = xa
1
 
 
As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. 
A base mais usada é o número e = 2,71828 ..., número irracional chamado número de Euler. 
• Crescimento e Decrescimento ExponencialUma função f cresce exponencialmente se f (x) = foekx e decresce exponencialmente se f(x) = foe-kx 
onde fo é o valor f(0). 
Função logarítmica 
 
É a função f: (0;+ ∞) → lR definida por f(x) = loga x , onde a∈ lR, a > 0 e a ≠ 1. 
 
A função logarítmica de base a, é a inversa da função exponencial de base a. 
 
Assim temos 
 
 y = logax ⇔ ay = x 
 
 
 a > 1 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 função crescente função decrescente 
 
 
 
Se a = e = 2,718282 ... (Número de Euler) a função é chamada função logarítmica natural e é notada por: 
 
 
f(x) = ln x ou f(x) = L(x) 
 
y 
y = loga x 
y 
x 
y = loga x 
x 
1 
1 
0 
0 
 
 
 
14
 
Como a função logarítmica natural é a inversa da função exponencial, temos: 
 
y = ln x ⇔ ey = x 
 
 
• Propriedades 
 
Sendo x, y números reais positivos e k um real qualquer, temos: 
 
a) loga(x.y) = logax + logay 
b) loga ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y
x = logax - logay 
c) logaxk = k logax 
 
FUNÇÕES TRANSFORMADAS 
A partir do gráfico y = f(x) (função base), pode-se obter os gráficos de algumas funções transformadas da 
função f. 
 
a) Translação Vertical 
 
y = f(x) ⇒ g(x) = f(x) + k, k∈ lR 
 
k > 0 translação vertical para cima 
k < 0 translação vertical para baixo 
 
 
Observe o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f(x) = x2 
g1(x) = x2 + 2 
g2(x) = x2 - 2 
x 
y 
g2 
g1 
f 
 
 
 
15
 
 
b) Translação Horizontal 
 
y = f(x) ⇒ g(x) = f(x + k), k∈ lR 
 
k > 0 translação horizontal para esquerda 
k < 0 translação horizontal para direita 
 
Observe o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Reflexão em torno do eixo dos x 
 
 y = f(x) ⇒ g(x) = -f(x) 
Observe o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
f(x) = x2 
g1 (x) = (x - 2)2 
g2(x) = (x + 2)2 
y 
x 
y 
g1 g2 f 
f(x) = x 
g(x) = x− 
y 
x 
f 
g 
 
 
 
16
 d) Reflexão em torno do eixo dos y 
 
y = f(x) ⇒ g(x) = f(-x) 
 
Observe o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = x 
 g(x) = x- 
 
y 
f g 
x